(-1)题以A的所有k位根体式要无因此ak为A的所有k位根体式要无. 9.设A∈M.(K).证明：存在K上的一个次数不定过n2的多项式fc),使f(4)=0. 证明因为M(K)是K上n2维线性空间，故E,A,A2,…,Am-1,Am线性4关于是存在不全为 到的a:∈K,i=1,…,n2使得 aoE+aA+..+anAm-1+an2A=0. f(r)=+ana-1m1+...+az+aor 则f(4)=0. 10.设A∈Mn(C).证明：存在可逆矩阵T∈GL(n,C),使T1AT为上两变矩阵 证明：是n换数使与纳令.于n-1多次数有然成似.现设次数是n-1位矩阵成似 设d是A的一个标因则，所的标因向量是a∈C”.关1皆充成C”的基a1,a2,…,an:令 =(1,2，…，an),则可逆，且 如=（）即=（太） 其中A1∈山n-1(C).由与纳义设，存在可逆矩阵T2∈Mn-1(C),使得 /入2 0λ。 令T=n(0分)则T可逆且 0 入* T-IAT= 11.设A∈M.(C),f(工)为一下矩数多项式.证明：如果A的全部标因则为X1,2,·,入n,则f(4) 的全部标因则为f(),f(2),…,fn). 证明：由示题10，存在可逆矩阵T,使 入 T-AT= 此其，…，n是A的全部标因则从而 T-'f(A)T=f(T-'AT) 所以fA,f(2),…,f(入n)为f(A)的全部标因则. 习题7-4 1.示题7-3小一题中的矩阵仍些是可以是变化的？在可是变化的必况下，求出所的过渡矩阵 无是变矩阵 9(−1)k /' A &g k GHE;JK. X ak  A &g k GHE;JK. 9.  A ∈ Mn(K). : h K .56@_ n 2 9:; f(x), c f(A) = 0. :  Mn(K) 1 K . n 2  , S E, A, A2 , · · · , An 2−1 , An 2 AL. 81h@D  ai ∈ K, i = 1, · · · , n2 cR a0E + a1A + · · · + an2−1A n 2−1 + an2A n 2 = 0. f f(x) = an2 x n 2 + an2−1x n 2−1 + · · · + a1x + a0, f(A) = 0. ∗10.  A ∈ Mn(C). : h!" T ∈ GL(n, C), c T −1AT .`a. : 1 n b6cdef. 8 n = 1 956gh=i. j561 n − 1 G=i.  λ1 1 A  , A&*+1 α1 ∈ C n. L α1 kl= C n  α1, α2, · · · , αn. f T1 = (α1, α2, · · · , αn), T1 !", % AT1 = T1 µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , M T −1 1 AT1 = µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , >( A1 ∈ Mn−1(C). dem, h!" T2 ∈ Mn−1(C), cR T −1 2 A1T2 =   λ2 ∗ . . . 0 λn   , f T = T1 µ 1 0 0 T2 ¶ , T !", % T −1AT =   λ1 ∗ . . . 0 λn   . 11.  A ∈ Mn(C), f(x) 69:;. : op A DV  λ1, λ2, · · · , λn, f(A) DV  f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn). : 4/ 10, h!" T, c T −1AT =   λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn   , X> λ1, · · · , λn 1 A DV . #$ T −1 f(A)T = f(T −1AT) = f     λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn     =   f(λ1) ∗ f(λ2) . . . 0 f(λn)   . &' f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn)  f(A) DV . ￾
7–4 1. 4/ 7–3 7/(, no1!'1ap? !1apqr, ZA& K1a. · 9 ·