解四T=( ,T-AT=diag(ai,-ai). 111 (3)T= 100 ,T-1AT=diag(-2,2,2,2). 1010 1001 -2 -3 -31 (4)T=1 1 1 ,T-1AT=diag(2,1+V,1-V3. 0 -2+V3-2-3 /-110八 (⑤)T=001,T-1AT=diag(-1,1,1). 110/ (6),()不可是变化 2.递K[可n中，察微分变换全： 全(f()=fx) 的标因多项式并证考：全递故何一个基复的系传即不可同是是变系传， 解取Kn的基1，工，x2,…,xn-1.值全递此个基复的系传是 /010·0 D= 002.0 000…0/ 从而全的标因多项式为XD()=”.如果全可是变化值存递可逆系传T使得T-1AT=0,即D=0, 而全不是到变换，向量。 *3.设A∈Mn(K),证考：如果rankA+rank(A-E)=n,值A可是变化 证明：说示题4-8.13处rank A+rank(A-E)=n的充分必之条件是A2=A.即是A的故一列向 量a有Aa=a.又A(4-E)=0,任是A-E的故一列向量B有A3=0. 设A的列向量欧的极大无关欧为a1,·,r,A-E的极大无关列向量欧为3，·，3n-,(征为 rank A+rank(A-E)=n.复证a1,…,ar,，…，n-,线性无关 设有 之a,+∑A-a-2a,= 于是1=…=k,=0,进而m1=…=mn-r=0.所以a1,…,0,风，…，-r线性无关 令T=(a1,…,ar,,…,月-r,值T可逆就 Ar=4a…iA--a…aA-(68） 即 Ar=r(68) 10 : (1) T = µ 1 5 1 −4 ¶ , T −1AT = diag(7, −2). (2) T = µ 1 i i 1 ¶ , T −1AT = diag(ai, −ai). (3) T =   −1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1   , T −1AT = diag(−2, 2, 2, 2). (4) T =   −2 −3 −3 1 1 1 0 −2 + √ 3 −2 − √ 3  , T −1AT = diag(2, 1 + √ 3, 1 − √ 3). (5) T =   −1 1 0 0 0 1 1 1 0  , T −1AT = diag(−1, 1, 1). (6), (7) @!1ap. 2.  K[x]n (, sNab D: D(f(x)) = f 0 (x) 9:;, ): D StM@!B11a. : C K[x]n  1, x, x2 , · · · , xn−1 . D X1 D =   0 1 0 · · · 0 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0   . #$ D 9:; χD(λ) = λ n. op D !1ap, h!" T cR T −1AT = 0, M D = 0, $ D @1ab, *+. ∗3.  A ∈ Mn(K), : op rank A + rank(A − E) = n, A !1ap. : 4/ 4–8.13 U, rank A + rank(A − E) = n lNqJuv1 A2 = A. M1 A S[* + α g Aα = α. T A(A − E) = 0, S1 A − E S[*+ β g Aβ = 0.  A [*+<wxKL< α1, · · · , αr, A − E wxKL[*+< β1, · · · , βn−r ( rank A + rank(A − E) = n).  α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. g Xr i=1 kiαi + nX−r j=1 mjβj = 0. Xr i=1 kiAαi + nX−r j=1 mjAβj = Xr i=1 kiAαi = Xr i=1 kiαi = 0. 81 k1 = · · · = kr = 0, y$ m1 = · · · = mn−r = 0. &' α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. f T = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r), T !", % AT = A(α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) µ Er 0 0 0 ¶ , M AT = T µ Er 0 0 0 ¶ , · 10 ·