<b≤…≤an<bn=b 6=(g(b)-g(a)g(b)-g(a),则 ∑k()-g(a)=∑:(F(x)-F(x) n区(x-x g()是有界变差函数,并且V(g)sF=f.若x()∈C[ab], a=6<1<…<n=b是[ab]的任一分划x()在[ab]上一致连续 故VE>0,存在△>0,当max(-12)<6时,x()-x(-)<6.令 x=∑x()(x1-x) 则x∈B[ab]并且 lx-x=sup x((-x()<e 于是 2()-(么) ()-x() (g)≤Ef 同时9 1 1 n n aa b a b b ≤ ≤≤ = ＜ ＜ " , 令 ( ) () () () () 1 i i ii i ε gb ga gb ga − =− − ，则 () () ( ) () () 1 1 i i n n i i ib a i i gb ga F F εχ χ = = ∑ ∑ −= − ( ) 1 i i n ib a i F F εχ χ = ≤ −= ∑ . g t( ) 是有界变差函数，并且 ( ) b a ∨ gFf ≤ = . 若 x (t C ab )∈ [ , ] ， 0 1 n at t t b = = ＜＜ ＜" 是 [a b, ] 的任一分划. x(t) 在 [a b, ] 上一致连续， 故 ∀ε＞0，存在 δ＞0，当 ( 1 ) 1 max i i i n t t δ − ≤ ≤ − ＜ 时， xt xt ( i i ) ( 1 ) ε − − ＜ . 令 ( )( ) 1 1 i i n it t i x xt χ χ − = ′ = − ∑ ， 则 x′∈ B ab [ , ] 并且 ( ) ( ) 1 sup i i i t tt x x xt xt ε − ≤ ≤ −= − ′ ＜ . 于是 ( ) ( )( ) () ( ) 1 1 i i n b b it t a a i xdg F x xdg x t F F χ χ − = ∫ ∫ −= − − ′ ∑ () ( ) 1 1 i i n t i t i x t x t dg − = ≤ − ∑∫ ( ) , b a ≤ ≤ ε ε ∨ g f 同时