类似地可以证明L[ab=L[ab 由Hahn- Banach定理,我们有 fll sup a(x(1dr Vxe Lp[a,b 凡s1 这里a∈"[a],p≥1,-+=1 p q 下面定理被称为 Riesz表现定理 定理3c[a,b=[b 证明1°对于每个a(t)∈[a,b],定义 f(x)=x(nda(), Exec[a,b ∫是C[ab]上的线性泛函,并且 (x)≤mx()()=(a) 所以f≤(a) 2°若∫∈C[b,考虑空间B[ab],B是[上有界函 数的全体.对于每个x∈B{ab],|=sp()显然,C[a小是 B[a,b的线性子空间.根据Hahn- Banach定理,对于∫,存在 F∈B[ab,在C[]上,F(x)=f(x),并且|F‖=f 设x是[a,小的特征函数,g(x)=F(x),若8 类似地可以证明 [ ] [ ] 1 L ab L ab , , ∗ ∞ = ． 由 Hahn－Banach 定理，我们有 () () 1 sup q b p a a x a t x t dt ≤ = ∫ ， [ , ] p ∀ ∈x L ab 这里 [ , ] q a L ab ∈ ， p ≥1， 1 1 1 p q + = . 下面定理被称为 Riesz 表现定理. 定理 3 C ab V ab [ , , ] 0 [ ] ∗ = . 证明 1° 对于每个 a t V ab ( )∈ 0 [ , ]，定义 ( ) () () b a f x x t da t = ∫ ， ∀ ∈x C ab [ , ] . ( ) 8 f 是 C ab [ , ] 上的线性泛函，并且 ( ) max , ( ) ( ) ( ) b b atb a a f x x t da t a x ≤ ≤ ≤ = ∫ ∨ 所以 ( ) b a f ≤∨ a . 2° 若 f C ab [ , ] ∗ ∈ ，考虑空间 B ab [ , ]， B ab [ , ]是 [a b, ] 上有界函 数的全体. 对于每个 x∈ B ab [ , ]， sup ( ) atb x x t ≤ ≤ = ． 显然，C ab [ , ] 是 B ab [ , ] 的线性子空间 . 根 据 Hahn－ Banach 定理，对于 f ，存在 F B ab [ , ] ∗ ∈ ，在 C ab [ , ] 上， Fx f x ( ) = ( ) ，并且 F f = . 设 χt 是 [a t, ] 的特征函数， gx F ( ) = (χt ) ，若