D0:10.13374/11ssn1001-053x.1997.04.044 第19卷第4期 北京科技大学学报 Vol.19 No.4 1997年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1997 有限域GF(p"p≥3)上p、p+1p 3次方程的根 王兵团)杨晓明)王萍)王军团) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)东风汽车公司枝工学校 摘要提出了GF3")上3次方程根的判别方法，讨论了有限域Gnm)(p≥3)上3p次方程根的 状况，给出了GFpm上p次和p+'次方程根的判别方法. 关键词有限域，方程的根，判别 中图分类号0122 设元素个数为pm的有限域为GF(pm.文献[1]中，对于p>3有限域GFpm上的3次方程 根的状况进行了讨论，对于p=3的情况，没有解决.本文将讨论p=3的情形，提出GF(3")上3 次方程x3-b2x+c=0的根的判别方法；讨论有限域Gp"mp≥3)上3p次方程根的状况； 讨论GF)上p次和p+'次方程的根的判别方法. 1有限域GF(3m上3次方程根的判别 设有限域GF(3m)上的3次方程的形式为： x3-b2x+c=0 (1) 引理1在有限域GF3”)中，若方程x-x=d有解x。,则方程x-x=d有3个不同的根 x。+1,-1,其中1为GF3m中的单位元. 证：因为x是x-x=d的解，所以有d=x后-，方程变为x一x=一 即(x-)3=(x-),(x-)(x-x-1】=0,所以x=xox=x。+1或x=X-1,故命 题成立. 引理2在有限域GF3")上，迹多项式为： T()=Xm-1+X-2+…+X+x0=3). 具有性质：对于域上的任何元素d或)=0或d④=-1或Td)=1(1为GF(3")中的单位元). T(d类似表示Xm1+Xm-2+…+X+x. 证：d=d+d+…+d+d T(dd)∴.d=0或d)=±1. 引理3在有限域GF(3)中，{xxEGF(3}=GF3), 1996-07-01收稿 第一作者男40岁副教授硕士第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 段 一 一 有 限域 勿 之 上 ，‘ 、 尸‘ ‘ 、 尸 次方程 的根 王兵 团 ’ 杨 晓 明“ 北京科技 大学应用 科学学 院 ， 北京 王 萍 ’ 王 军 团 东风 汽车公 司枝工学校 摘要 提 出了 日 与上 次方程根 的判别方法 ， 讨论 了有 限域 沪 ’ 勿 之 上 ‘ 次方程根 的 状况 ， 给出了 孙与上 次和 ‘ ’次方程根 的判别方法 关健词 有限域 ， 方程 的根 ， 判别 中图分类号 设元 素个数为 爪 的有 限域 为 沪勺 文 献 」中 ， 对于 有 限域 沪与上 的 次方程 根 的状况进行 了讨论 ， 对 于 的情 况 ， 没有 解 决 本文将讨论 的情 形 ， 提 出 与上 次方程 ’ 一 。 的根 的判别 方 法 讨论有 限域 沪勺勿 全 上 ‘ 次方 程 根 的状况 讨论 沪今上 次和 尸 ’ 次方程 的根 的判别方 法 有 限域 勺上 次方程根的判别 设有 限域 上 的 次方 程 的形式 为 护 一 石 引理 在 有 限域 明 用 中 ， 若方程 犷 一 二 有 解 ， 则 方 程 尸 一 二 有 个不 同的根 ， 。 十 ， 一 ， 其 中 为 勺中的单位元 证 因 为 是 犷 一 二 一 的 解 ， 所 以 有 一 式 一 ， 方 程 变 为 尸 一 二 一 铭 一 即 一 ， 一 一 动 ， 一 一 一 一 ， 所 以 一 二 ’ 一 二 。 或 二 一 一 ， 故命 题成立 引理 在有 限域 ， 上 ， 迹 多项 式 为 一 丫’ 一 ’ 丫。 一 ” ” ” 丫 勿 一 · 具有性 质 对于 域 上 的任何元 素 或 双内二 或 双内一 或 双内 为 与中的单位元 力 类似 表示 丫’ 一 ’ 了’ 一 ， … 丫 证 双刃一护 ’ 一 ’ ’ 一 ’ … 护 洁 ，’ 尸 内双力 … 双内一 。 或 双内一 士 引理 在有 限域 日 ， 中 ， ’…〔 勺卜 ， ， 一 一 收稿 第一作者 男 岁 副教授 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1997．04．044