·418· 北京科技大学学报 1997年第4期 3={x3-xeGF3"}. 定理1在有限域GF(3")上，设几)为迹多项式，对域上3次方程(1)有：1)当且仅当b= 0时，在GF(3"上具有3个相等的根：2)当且仅当b+0且T-cd3)=0,在有限域GF(3") 上，有3个不同的根：3)当且仅当b≠0且几-d-)=±1时，在有限域GF3m上没有根 证：1)=>，当h=0时，+c=0.由引理3知存在唯一aEGF(3的，使a3+c=0故真. ∈当方程()有3个相等的根七时，令F9=x3-b2x+c,有F(x)=-b-0,故b-0. 2)令x=b,则方程(1)变为3-y+b-3=0,故 3-r=-h-3 (Ia) 则方程(1)有解o=<=>式(l)有解<->-cben,<=>T(-cb3)=0.又因为方程(I)有 解<=>方程()有3个不同的解，故2)成立 3)由引理2及上面的证明过程知3)成立 2有限域GF(p)p≥3)上3p次方程根的状况 文献[I]中，对于p>3有限域GFp吟上的3次方程根的状况进行了讨论，现在在此基础上 讨论有限域GFpD≥3)上3p'次方程(1为非负整数).自然地当0时，即为Gp)上的3次 方程 引理4{P:uEGF(p'的}=GFpm)p≥3) 引理53p"-1时，任给aEGF(p',x=a,存在且仅存在一个解于GFp"mp>3). 引理63p"-1时(p>3),a为非零元，则xp4a有解<=>a”=e,(a,=a的，n-(0"-1)3. 定理23pm-1,令=(p”-1)2,p>3, 4=(1/4)'c+(1/27)b,则对于GFp中的 x+bxtc =0 (2) 有：1)4=1<=>m为偶数时，方程(2)有3组不同的p重根；m为奇数时，方程(2)有且仅有一 p'重根.2)4=0<=>方程(2)有一p重根和一2p重根.3)△=-1<=>方程(2)或无解或 当m为奇数时，方程(2)有3组不同的p重根；m为偶数时，有且仅有一p重根. 证：因3+b+=0,在不考虑重根时与X+bx+c-0的根相同，其中b=b,, c=(,,记4，=4+h/27,4=(1/4)2+(1/27)b,则=1.容易知道：1)4=0<=>4 =0:2)4=1<=>4°1；3)4=-1<=>4=-1. 由上面的性质及文献[1]中的定理3，容易得到结论是成立的， 定理33p”-1(p>3),+b+-0,(b≠0).则：1)4=0<=>方程(2)有一p'重根和 一2p重根；2)4=-1<=>方程(2)或无解或当k为奇数时，方程(2)有3组不同的p重根；m 为偶数时，有且仅有一p重根；3)4=1且4”=4，”=1，则方程(2)有3组不同的p重根.其 中n=pm-1)/3,4,=-b,/2+V44=-b,/2-V4,h,=b,4,=c/4+b/27、±VA,表 小方程=△，的2个解. 证：证法同定理2. 引理7设1为非负整数，则在G3”)上有几B)=T(8).下面将定理1推广.· · 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 。 犷 一 州正 ” ’ 定 理 在有 限域 尹 上 ， 设 双 为迹 多项 式 ， 对域 上 次方程 有 当且 仅 当 时 ， 在 勺上 具 有 个 相 等 的 根 当且 仅 当 羊 且 双一 一 ’ 一 ， 在有 限域 川 上 ， 有 个 不 同的根 当且 仅 当 羊 。 且 双 一 ， 一 ’ 一 士 时 ， 在有 限域 上 没有根 证 一 ， 当 一。 时 ， 万 〔 二 ， 由引理 知存 在 唯 一 “ ‘ 勺 ， 使 。 一 。 故真 令 当方程 有 个 相 等 的根 时 ， 令 一犷 一 。 ， 有 尸 一 一 ， 故 一 令 一 ， 则 方 程 变 为 厂一 歹 。 一 ’ ， 故 厂一 工 一 ， 一 ’ 则方 程 有解 。 一 一 式 有解 一 一 动 一 ’ 。 。 一 一 一 ’ 一 · 又 因为方 程 有 解 方 程 有 个不 同的解 ， 故 成 立 由引理 及 上 面 的证 明过 程 知 成 立 有 限域 丫今伽 之 上 助 ‘ 次方程根的状况 文 献 川 中 ， 对于 有 限域 孔 ，肾上 的 次方 程 根 的状 况 进 行 了讨论 ， 现 在在 此基 础 上 讨论 有 限域 即 ” 幼 全 上 ‘次方程 为非 负整数 自然地 当 时 ， 即为 沪勺上 的 次 方 程 引理 ‘ ’ “ ， 蹄 ” ’ 卜 阴 之 引理 切 ’” 一 时 ， 任 给 。 ‘ 即与 ， ’” ‘ 一“ ， 存在且仅存在 一个解 于 即与勿 引理 厂 ’ 一 ’时 印 ， “ 为非零元 ， 则 尸 。 有解 一 。 性 。 ， 一 。 刀勺 ， 一勿 ’ 一 · 定 理 尸 ‘” 一 ， 令 胜 ，，， 一 切 ， 。 一。 ‘ 场 ， 则 对 于 蹄 阴 中的 尸 占对 。 一 。 有 了一 ， 为偶 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 ‘重根 为奇数时 ， 方程 有且仅有 一 ‘ 重 根 。 去 方 程 有 一 厂重 根 和 一 重根 △性 一 二 方 程 或无解 或 当 为奇 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 ‘重 根 为偶 数 时 ， 有且 仅有 一 尸重 根 证 因 犷川 尸 一 ， 在 不 考 虑 重 根 时 与 犷 二 厅 的根 相 同 ， 其 中 一 ，’ 气 一 厂 ‘ ， 记 乙、一 川 ， 。 一 咋 ’ 场 ，， 则 。 一了 【‘ · 容 易 知 道 刁 一。 一 一 。 了 一 一 君 一 才一 一 由上 面 的性 质 及 文 献【 中的定理 ， 容 川 易一得 到 结论是 成立 的 定 理 厂 ’ 一 印 ， 户 〕 ‘ 尸 一。 ， 羊 则 才 方 程 有 一 厂重 根和 一 重 根 才 一 方 程 或 无解 或 当 为奇 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 尸重根 为偶 数 时 ， 有 且 仅 有 一 尸重 根 了一 且 。 性 。 “ 二 ， 则 方 程 有 组 不 同的 川重 根 · 其 中 一 ， 阴 一 ， 。 。一 。 ， 何 ， 。 一 。 ， 一 何 ， 。 ，川 一 。 ， 。 、 一 式 川 ， 士 何 表 示 方 程 犷 一 。 ，的 个解 · 证 证 法 同定理 引理 设 为非 负整 数 ， 则在 勺 上 有 邢 ‘ 一 价 下 面将定 理 推广