Vol.19 No.4 王兵团等：有限域GF(pp≥3)上3p、p'、p次方程的根 ·419· 定理4 xp!-b2x+c=0 (2a) 为GF3"p=3)上3p'次方程(I为非负整数)，则：1)当且仅当b=0时，在GF3)上具有一 3重根；2)当且仅当T-cb3)=0,在GF(3")上，有3组不同的p重根；3)当且仅当T-d-) -±】时，在有限域GF(3上没有根. 证：在不考虑重根时，式(2a)与X-bx+c,=0的根相同，b-b,',c=c,”,-ch-3)0<=> T(-c,b,)=0,T(-cb-)=±1<=>T(-c,b,)=±1，根据这些容易得到的结论是成立的. 3有限域GFp"上p次和p+次方程根的判别 引理8P-x=d,de GF(p',则方程有解<=>方程有p个不同的解. 证：=>设x是犬-x=d的解，所以有d=光-，方程变为-x=公-(x-xP=x- ,而方程有p个不同的解，所以xP-x=d有p个不同的根<=显然. 引理9在有限域G℉p上，迹多项式T)具有性质：对于域上的任何元素d或几d④-0 或T(d)-=1. 定理5在有限域GFp上，设T)为迹多项式，对于域上 xP-bP-x +c=0 (2b) 则有：1)当且仅当b=0时，式(2b)有p个相等的根；2)当且仅当T(-cb-)=0,式(2b)有p 个不同的根；3)当且仅当T-cb)P-1=1时，式(2b)没有根. 证：令x=y,则方程(2b)变为y-y=-cb故X-b-'x+c=0有解<=>-y= -cb-P有解<=>-cb"PEn={X-对xEGF(p)}<=>T(-cb-)=0,而式(2b)有解<=> 式(2b)有p个不同的解，故2)成立.对于)也易证出.由引理9知3)成立.很显然此定理是定 理1和文献[2]中定理3的推广，下面将上定理进一步推广就得到下定理. 定理6设)为迹多项式，在GF(p上，有 x-bP-'X+c=0,(I为非负整数) (3) 则：1)当且仅当b=0时，方程(3)具有p+个相等的根；2)当且仅当T(-cb-)=0,方程(3) 有p组不同的p重根；3)当且仅当T(~cb~P)p-1=1时，域上没有根. 证：在不考虑重根时方程(3)与X-x+c=0的根相同，b以=b,=c,又T(-cb0< =>T(-cb,=0,T(-ch-Y-'=1<=>T(-cb,y-1=1. 对于有限域GF(2m上的3次方程有下列命题： 1)x3+b2x+c=0有解<=>+b+=0有解x为X+b2x+c=0的根<=>x+ b为x+b2+c=0的根. 2)c+0,若x+bx+c=0没有重根. 3)x+bx+c=0有解<=>x+bx+c=0有3个不同的解(b≠0). 证：I)x+b2x+c=x+3b2x+3bx+c-b3+bx2=(x+b)3+bX2+c-b',令x+ b=y,x+bx+c=y3+b0-b)2+c-b3=y3+w2+c.1)成立. 2)c+0,若x+b2x+c=0有重根，则有.x3+bx+c=0有重根x+b,令F()=x+ bx+c=0,F′()=推出F'(3+b)=0·c=0+b=0,xb得0，矛盾. 3)若x为x3+bx+c=0的解，则c=x。+b2x0x3+b2x+x+b2x。=0,x3-b王 兵 团等 有 限域 份今印 一 、 、 次方程 的根 · · 定 理 犷 ‘ 一 石汾 ‘ 。 为 勺勿二 上 ‘次方 程 为非 负整数 ， 则 当且 仅 当 二 时 ， 在 ’ 上 具有 一 测 重根 当且仅 当 万一 ， 一 ’ 一 。 ， 在 ’ 上 ， 有 组 不 同的 川重 根 当且 仅 当 双 一 一 ’ 一 士 时 ， 在有 限域 与上 没有根 证 在 不 考 虑 重 根 时 ， 式 与 护 一 材 二 十 。 一 的 根 相 同 ， 一 尸‘ ， 一。 ， 尸‘ ， 双 一 动 一 ’ 一。 一 一 。 叮 ’ ， 一 一 ’ 一 士 一 。 叮 ’ 一 士 ， 根 据这 些容 易得 到 的结 论是 成 立 的 · 有 限域 勿与上 次和 夕 十 ’次方程根的判别 引理 犷 一 二 ， 〔 沪与 ， 则方 程有 解 方 程 有 个 不 同的解 证 二 设 是 了 一 二 的解 ， 所 以 有 写一 ， 方 程 变 为 犷 一 二 减一 ， 一 丫二 ， 而 方程 有 个不 同的解 ， 所 以 尸 一 有 个不 同的根 显然 引理 在有 限域 饰勺上 ， 迹 多 项 式 双 具 有性 质 对于 域 上 的任何元 素 或 双力 一 或 力 刀 一 ’二 定 理 在有 限域 勺上 ， 设 双 为迹 多项 式 ， 对于 域 上 一 一 ’ ‘ 则有 当且 仅 当 时 ， 式 有 个 相 等 的根 当且 仅 当 一 一 ， ， 式 有 个不 同 的 根 当且仅 当 一 一 尸丫 一 ’ 时 ， 式 没 有 根 证 令 二 勿 ， 则方程 变 为 尹 一 二 一 一 刀故 犷 一 夕 一 ’ ‘ 二 有 解 尹 一 二 一 一 尸有解 一 一 ’ 叮， 二 犷 一 川正 沪 ’ 二 一 一 尸 ， 而 式 有解 式 有 个不 同的解 ， 故 成立 对 于 也 易证 出 由引理 知 成 立 很显然 此 定 理是 定 理 和 文献 〔 中定理 的推广 下 面将上 定理 进 一步 推广就得 到下 定理 定 理 设 双 为迹多项 式 ， 在 沪勺上 ， 有 丫“ ’ 一 夕 一 份 ‘ 。 ， 为非 负整 数 则 当且 仅 当 时 ， 方程 具有 尸 ’个相 等 的根 当且 仅 当 一 一 尸 ， 方程 有 组 不 同的 川重 根 当且仅 当 一 。 一 “ 一 卜 时 ， 域 上没 有根 证 在 不 考虑 重 根 时方 程 与 犷 一 丁 一 ’二 十 。 一 。 的根相 同 ， 歼 一 ， 砰 一 。 ， 又 一 一 “ 一 一 ，一 尸 一 ， 一 一 尸丫 一 ’一 一 一 ，一 “ 丫 一 ’ 一 · 对于 有 限域 ’， 上 的 次方程 有下列命题 犷 扩二 。 一 有 解 一 尸 尹 一 有解 为 护 二 一 的根 、 一 为 尸 尹 。 的根 。 羊 。 ， 若 犷 十 少 。 二 没有重 根 ’ 扩 。 二 有解 二 分 扩 十 ‘ 二 有 个不 同的解 羊 证 犷 ， 。 犷 ， 犷 一 ， 犷 ’ 犷 一 ，， 令 二 ， 尹 扩 ‘ 尹 妙 一 ’ 十 一 夕 少， 勿 ， ‘ … 成 立 羊 ， 若 犷 十 扩 十 。 一 有 重根 ， 则有 ， ， 十 。 一 有重 根 ， 令 一 尸 夕 。 ， ’ 二 犷推 出 ‘ 句 一 ’ 一 ’ 一 ， 一 得 一， 矛 盾 若 。 为 ’ ’ 一 的解 ， 则 ‘ 一 。 ， ’ ’ ’ 。 一 ， ’ 一