D0:10.13374/11ssn1001-053x.1997.04.044 第19卷第4期 北京科技大学学报 Vol.19 No.4 1997年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1997 有限域GF(p"p≥3)上p、p+1p 3次方程的根 王兵团)杨晓明)王萍)王军团) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)东风汽车公司枝工学校 摘要提出了GF3")上3次方程根的判别方法，讨论了有限域Gnm)(p≥3)上3p次方程根的 状况，给出了GFpm上p次和p+'次方程根的判别方法. 关键词有限域，方程的根，判别 中图分类号0122 设元素个数为pm的有限域为GF(pm.文献[1]中，对于p>3有限域GFpm上的3次方程 根的状况进行了讨论，对于p=3的情况，没有解决.本文将讨论p=3的情形，提出GF(3")上3 次方程x3-b2x+c=0的根的判别方法；讨论有限域Gp"mp≥3)上3p次方程根的状况； 讨论GF)上p次和p+'次方程的根的判别方法. 1有限域GF(3m上3次方程根的判别 设有限域GF(3m)上的3次方程的形式为： x3-b2x+c=0 (1) 引理1在有限域GF3”)中，若方程x-x=d有解x。,则方程x-x=d有3个不同的根 x。+1,-1,其中1为GF3m中的单位元. 证：因为x是x-x=d的解，所以有d=x后-，方程变为x一x=一 即(x-)3=(x-),(x-)(x-x-1】=0,所以x=xox=x。+1或x=X-1,故命 题成立. 引理2在有限域GF3")上，迹多项式为： T()=Xm-1+X-2+…+X+x0=3). 具有性质：对于域上的任何元素d或)=0或d④=-1或Td)=1(1为GF(3")中的单位元). T(d类似表示Xm1+Xm-2+…+X+x. 证：d=d+d+…+d+d T(dd)∴.d=0或d)=±1. 引理3在有限域GF(3)中，{xxEGF(3}=GF3), 1996-07-01收稿 第一作者男40岁副教授硕士
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 段 一 一 有 限域 勿 之 上 ，‘ 、 尸‘ ‘ 、 尸 次方程 的根 王兵 团 ’ 杨 晓 明“ 北京科技 大学应用 科学学 院 ， 北京 王 萍 ’ 王 军 团 东风 汽车公 司枝工学校 摘要 提 出了 日 与上 次方程根 的判别方法 ， 讨论 了有 限域 沪 ’ 勿 之 上 ‘ 次方程根 的 状况 ， 给出了 孙与上 次和 ‘ ’次方程根 的判别方法 关健词 有限域 ， 方程 的根 ， 判别 中图分类号 设元 素个数为 爪 的有 限域 为 沪勺 文 献 」中 ， 对于 有 限域 沪与上 的 次方程 根 的状况进行 了讨论 ， 对 于 的情 况 ， 没有 解 决 本文将讨论 的情 形 ， 提 出 与上 次方程 ’ 一 。 的根 的判别 方 法 讨论有 限域 沪勺勿 全 上 ‘ 次方 程 根 的状况 讨论 沪今上 次和 尸 ’ 次方程 的根 的判别方 法 有 限域 勺上 次方程根的判别 设有 限域 上 的 次方 程 的形式 为 护 一 石 引理 在 有 限域 明 用 中 ， 若方程 犷 一 二 有 解 ， 则 方 程 尸 一 二 有 个不 同的根 ， 。 十 ， 一 ， 其 中 为 勺中的单位元 证 因 为 是 犷 一 二 一 的 解 ， 所 以 有 一 式 一 ， 方 程 变 为 尸 一 二 一 铭 一 即 一 ， 一 一 动 ， 一 一 一 一 ， 所 以 一 二 ’ 一 二 。 或 二 一 一 ， 故命 题成立 引理 在有 限域 ， 上 ， 迹 多项 式 为 一 丫’ 一 ’ 丫。 一 ” ” ” 丫 勿 一 · 具有性 质 对于 域 上 的任何元 素 或 双内二 或 双内一 或 双内 为 与中的单位元 力 类似 表示 丫’ 一 ’ 了’ 一 ， … 丫 证 双刃一护 ’ 一 ’ ’ 一 ’ … 护 洁 ，’ 尸 内双力 … 双内一 。 或 双内一 士 引理 在有 限域 日 ， 中 ， ’…〔 勺卜 ， ， 一 一 收稿 第一作者 男 岁 副教授 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1997．04．044
·418· 北京科技大学学报 1997年第4期 3={x3-xeGF3"}. 定理1在有限域GF(3")上，设几)为迹多项式，对域上3次方程(1)有：1)当且仅当b= 0时，在GF(3"上具有3个相等的根：2)当且仅当b+0且T-cd3)=0,在有限域GF(3") 上，有3个不同的根：3)当且仅当b≠0且几-d-)=±1时，在有限域GF3m上没有根 证：1)=>，当h=0时，+c=0.由引理3知存在唯一aEGF(3的，使a3+c=0故真. ∈当方程()有3个相等的根七时，令F9=x3-b2x+c,有F(x)=-b-0,故b-0. 2)令x=b,则方程(1)变为3-y+b-3=0,故 3-r=-h-3 (Ia) 则方程(1)有解o=式(l)有解-cben,T(-cb3)=0.又因为方程(I)有 解方程()有3个不同的解，故2)成立 3)由引理2及上面的证明过程知3)成立 2有限域GF(p)p≥3)上3p次方程根的状况 文献[I]中，对于p>3有限域GFp吟上的3次方程根的状况进行了讨论，现在在此基础上 讨论有限域GFpD≥3)上3p'次方程(1为非负整数).自然地当0时，即为Gp)上的3次 方程 引理4{P:uEGF(p'的}=GFpm)p≥3) 引理53p"-1时，任给aEGF(p',x=a,存在且仅存在一个解于GFp"mp>3). 引理63p"-1时(p>3),a为非零元，则xp4a有解a”=e,(a,=a的，n-(0"-1)3. 定理23pm-1,令=(p”-1)2,p>3, 4=(1/4)'c+(1/27)b,则对于GFp中的 x+bxtc =0 (2) 有：1)4=1m为偶数时，方程(2)有3组不同的p重根；m为奇数时，方程(2)有且仅有一 p'重根.2)4=0方程(2)有一p重根和一2p重根.3)△=-1方程(2)或无解或 当m为奇数时，方程(2)有3组不同的p重根；m为偶数时，有且仅有一p重根. 证：因3+b+=0,在不考虑重根时与X+bx+c-0的根相同，其中b=b,, c=(,,记4，=4+h/27,4=(1/4)2+(1/27)b,则=1.容易知道：1)4=04 =0:2)4=14°1；3)4=-14=-1. 由上面的性质及文献[1]中的定理3，容易得到结论是成立的， 定理33p”-1(p>3),+b+-0,(b≠0).则：1)4=0方程(2)有一p'重根和 一2p重根；2)4=-1方程(2)或无解或当k为奇数时，方程(2)有3组不同的p重根；m 为偶数时，有且仅有一p重根；3)4=1且4”=4，”=1，则方程(2)有3组不同的p重根.其 中n=pm-1)/3,4,=-b,/2+V44=-b,/2-V4,h,=b,4,=c/4+b/27、±VA,表 小方程=△，的2个解. 证：证法同定理2. 引理7设1为非负整数，则在G3”)上有几B)=T(8).下面将定理1推广
· · 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 。 犷 一 州正 ” ’ 定 理 在有 限域 尹 上 ， 设 双 为迹 多项 式 ， 对域 上 次方程 有 当且 仅 当 时 ， 在 勺上 具 有 个 相 等 的 根 当且 仅 当 羊 且 双一 一 ’ 一 ， 在有 限域 川 上 ， 有 个 不 同的根 当且 仅 当 羊 。 且 双 一 ， 一 ’ 一 士 时 ， 在有 限域 上 没有根 证 一 ， 当 一。 时 ， 万 〔 二 ， 由引理 知存 在 唯 一 “ ‘ 勺 ， 使 。 一 。 故真 令 当方程 有 个 相 等 的根 时 ， 令 一犷 一 。 ， 有 尸 一 一 ， 故 一 令 一 ， 则 方 程 变 为 厂一 歹 。 一 ’ ， 故 厂一 工 一 ， 一 ’ 则方 程 有解 。 一 一 式 有解 一 一 动 一 ’ 。 。 一 一 一 ’ 一 · 又 因为方 程 有 解 方 程 有 个不 同的解 ， 故 成 立 由引理 及 上 面 的证 明过 程 知 成 立 有 限域 丫今伽 之 上 助 ‘ 次方程根的状况 文 献 川 中 ， 对于 有 限域 孔 ，肾上 的 次方 程 根 的状 况 进 行 了讨论 ， 现 在在 此基 础 上 讨论 有 限域 即 ” 幼 全 上 ‘次方程 为非 负整数 自然地 当 时 ， 即为 沪勺上 的 次 方 程 引理 ‘ ’ “ ， 蹄 ” ’ 卜 阴 之 引理 切 ’” 一 时 ， 任 给 。 ‘ 即与 ， ’” ‘ 一“ ， 存在且仅存在 一个解 于 即与勿 引理 厂 ’ 一 ’时 印 ， “ 为非零元 ， 则 尸 。 有解 一 。 性 。 ， 一 。 刀勺 ， 一勿 ’ 一 · 定 理 尸 ‘” 一 ， 令 胜 ，，， 一 切 ， 。 一。 ‘ 场 ， 则 对 于 蹄 阴 中的 尸 占对 。 一 。 有 了一 ， 为偶 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 ‘重根 为奇数时 ， 方程 有且仅有 一 ‘ 重 根 。 去 方 程 有 一 厂重 根 和 一 重根 △性 一 二 方 程 或无解 或 当 为奇 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 ‘重 根 为偶 数 时 ， 有且 仅有 一 尸重 根 证 因 犷川 尸 一 ， 在 不 考 虑 重 根 时 与 犷 二 厅 的根 相 同 ， 其 中 一 ，’ 气 一 厂 ‘ ， 记 乙、一 川 ， 。 一 咋 ’ 场 ，， 则 。 一了 【‘ · 容 易 知 道 刁 一。 一 一 。 了 一 一 君 一 才一 一 由上 面 的性 质 及 文 献【 中的定理 ， 容 川 易一得 到 结论是 成立 的 定 理 厂 ’ 一 印 ， 户 〕 ‘ 尸 一。 ， 羊 则 才 方 程 有 一 厂重 根和 一 重 根 才 一 方 程 或 无解 或 当 为奇 数 时 ， 方 程 有 组 不 同的 尸重根 为偶 数 时 ， 有 且 仅 有 一 尸重 根 了一 且 。 性 。 “ 二 ， 则 方 程 有 组 不 同的 川重 根 · 其 中 一 ， 阴 一 ， 。 。一 。 ， 何 ， 。 一 。 ， 一 何 ， 。 ，川 一 。 ， 。 、 一 式 川 ， 士 何 表 示 方 程 犷 一 。 ，的 个解 · 证 证 法 同定理 引理 设 为非 负整 数 ， 则在 勺 上 有 邢 ‘ 一 价 下 面将定 理 推广
Vol.19 No.4 王兵团等：有限域GF(pp≥3)上3p、p'、p次方程的根 ·419· 定理4 xp!-b2x+c=0 (2a) 为GF3"p=3)上3p'次方程(I为非负整数)，则：1)当且仅当b=0时，在GF3)上具有一 3重根；2)当且仅当T-cb3)=0,在GF(3")上，有3组不同的p重根；3)当且仅当T-d-) -±】时，在有限域GF(3上没有根. 证：在不考虑重根时，式(2a)与X-bx+c,=0的根相同，b-b,',c=c,”,-ch-3)0 T(-c,b,)=0,T(-cb-)=±1T(-c,b,)=±1，根据这些容易得到的结论是成立的. 3有限域GFp"上p次和p+次方程根的判别 引理8P-x=d,de GF(p',则方程有解方程有p个不同的解. 证：=>设x是犬-x=d的解，所以有d=光-，方程变为-x=公-(x-xP=x- ,而方程有p个不同的解，所以xP-x=d有p个不同的根-y= -cb-P有解-cb"PEn={X-对xEGF(p)}T(-cb-)=0,而式(2b)有解 式(2b)有p个不同的解，故2)成立.对于)也易证出.由引理9知3)成立.很显然此定理是定 理1和文献[2]中定理3的推广，下面将上定理进一步推广就得到下定理. 定理6设)为迹多项式，在GF(p上，有 x-bP-'X+c=0,(I为非负整数) (3) 则：1)当且仅当b=0时，方程(3)具有p+个相等的根；2)当且仅当T(-cb-)=0,方程(3) 有p组不同的p重根；3)当且仅当T(~cb~P)p-1=1时，域上没有根. 证：在不考虑重根时方程(3)与X-x+c=0的根相同，b以=b,=c,又T(-cb0T(-cb,=0,T(-ch-Y-'=1T(-cb,y-1=1. 对于有限域GF(2m上的3次方程有下列命题： 1)x3+b2x+c=0有解+b+=0有解x为X+b2x+c=0的根x+ b为x+b2+c=0的根. 2)c+0,若x+bx+c=0没有重根. 3)x+bx+c=0有解x+bx+c=0有3个不同的解(b≠0). 证：I)x+b2x+c=x+3b2x+3bx+c-b3+bx2=(x+b)3+bX2+c-b',令x+ b=y,x+bx+c=y3+b0-b)2+c-b3=y3+w2+c.1)成立. 2)c+0,若x+b2x+c=0有重根，则有.x3+bx+c=0有重根x+b,令F()=x+ bx+c=0,F′()=推出F'(3+b)=0·c=0+b=0,xb得0，矛盾. 3)若x为x3+bx+c=0的解，则c=x。+b2x0x3+b2x+x+b2x。=0,x3-b
王 兵 团等 有 限域 份今印 一 、 、 次方程 的根 · · 定 理 犷 ‘ 一 石汾 ‘ 。 为 勺勿二 上 ‘次方 程 为非 负整数 ， 则 当且 仅 当 二 时 ， 在 ’ 上 具有 一 测 重根 当且仅 当 万一 ， 一 ’ 一 。 ， 在 ’ 上 ， 有 组 不 同的 川重 根 当且 仅 当 双 一 一 ’ 一 士 时 ， 在有 限域 与上 没有根 证 在 不 考 虑 重 根 时 ， 式 与 护 一 材 二 十 。 一 的 根 相 同 ， 一 尸‘ ， 一。 ， 尸‘ ， 双 一 动 一 ’ 一。 一 一 。 叮 ’ ， 一 一 ’ 一 士 一 。 叮 ’ 一 士 ， 根 据这 些容 易得 到 的结 论是 成 立 的 · 有 限域 勿与上 次和 夕 十 ’次方程根的判别 引理 犷 一 二 ， 〔 沪与 ， 则方 程有 解 方 程 有 个 不 同的解 证 二 设 是 了 一 二 的解 ， 所 以 有 写一 ， 方 程 变 为 犷 一 二 减一 ， 一 丫二 ， 而 方程 有 个不 同的解 ， 所 以 尸 一 有 个不 同的根 显然 引理 在有 限域 饰勺上 ， 迹 多 项 式 双 具 有性 质 对于 域 上 的任何元 素 或 双力 一 或 力 刀 一 ’二 定 理 在有 限域 勺上 ， 设 双 为迹 多项 式 ， 对于 域 上 一 一 ’ ‘ 则有 当且 仅 当 时 ， 式 有 个 相 等 的根 当且 仅 当 一 一 ， ， 式 有 个不 同 的 根 当且仅 当 一 一 尸丫 一 ’ 时 ， 式 没 有 根 证 令 二 勿 ， 则方程 变 为 尹 一 二 一 一 刀故 犷 一 夕 一 ’ ‘ 二 有 解 尹 一 二 一 一 尸有解 一 一 ’ 叮， 二 犷 一 川正 沪 ’ 二 一 一 尸 ， 而 式 有解 式 有 个不 同的解 ， 故 成立 对 于 也 易证 出 由引理 知 成 立 很显然 此 定 理是 定 理 和 文献 〔 中定理 的推广 下 面将上 定理 进 一步 推广就得 到下 定理 定 理 设 双 为迹多项 式 ， 在 沪勺上 ， 有 丫“ ’ 一 夕 一 份 ‘ 。 ， 为非 负整 数 则 当且 仅 当 时 ， 方程 具有 尸 ’个相 等 的根 当且 仅 当 一 一 尸 ， 方程 有 组 不 同的 川重 根 当且仅 当 一 。 一 “ 一 卜 时 ， 域 上没 有根 证 在 不 考虑 重 根 时方 程 与 犷 一 丁 一 ’二 十 。 一 。 的根相 同 ， 歼 一 ， 砰 一 。 ， 又 一 一 “ 一 一 ，一 尸 一 ， 一 一 尸丫 一 ’一 一 一 ，一 “ 丫 一 ’ 一 · 对于 有 限域 ’， 上 的 次方程 有下列命题 犷 扩二 。 一 有 解 一 尸 尹 一 有解 为 护 二 一 的根 、 一 为 尸 尹 。 的根 。 羊 。 ， 若 犷 十 少 。 二 没有重 根 ’ 扩 。 二 有解 二 分 扩 十 ‘ 二 有 个不 同的解 羊 证 犷 ， 。 犷 ， 犷 一 ， 犷 ’ 犷 一 ，， 令 二 ， 尹 扩 ‘ 尹 妙 一 ’ 十 一 夕 少， 勿 ， ‘ … 成 立 羊 ， 若 犷 十 扩 十 。 一 有 重根 ， 则有 ， ， 十 。 一 有重 根 ， 令 一 尸 夕 。 ， ’ 二 犷推 出 ‘ 句 一 ’ 一 ’ 一 ， 一 得 一， 矛 盾 若 。 为 ’ ’ 一 的解 ， 则 ‘ 一 。 ， ’ ’ ’ 。 一 ， ’ 一
·420· 北京科技大学学报 1997年第4期 2x=+b,(x-x)3-b'气x-x)=0,x=x或x=x0±b,b+0,xox0±b为 x+bx+c=0的3个不同的解. 参考文献 1宋雪清.p(p>3)元域上的三次方程.数学的实践与认识，1986(4)：33 2唐俊杰.有限域G2上的二次方程根的判别.数学的实践与认识，1986(2)：57 3孙宗明，p元域上的2p次方程根的状况.数学的实践与认识，1987(1)：43 4孙宗明.p(p>3)元域上的2次方程根的状况.数学的实践与认识，1983(4)：29 5熊全淹.近世代数.上海：上海科学技术出版社，1987 Roots of Equations of Degrees 3p,pp,3 Over Finite Field GF(p)(p >3) Wang Bingtuan Yang Xiaoming Wang Ping Wang Juntuan 1)Applied Science School UST Beijing,Beijing 100083,China 2)Dong Feng Auto Co Polyteshnic ABSTRACT A method for distingushing the root of an equation of degree 3 over finite field GF(3")is suggested and the state of root of equation of degree 3p'over finite field GF(p)(p3)is discussed.The method for distingushing the roots of degree pand pover GF(p")is also discussed. KEY WORDS finite field,root of equation,distingush
一 减 扩凡 北 京 科 技 大 学 学 报 一 二 ， 一 一 。 一 ， 二 一 。 或 一 。 士 ， ’ 羊 ， ’ 年 第 期 。 ， 。 士 为 尹 十 。 二 的 个不 同的解 参 考 文 献 宋雪 清 知 元域 上 的三次方程 数学 的实践 与认识 ， 唐俊杰 有 限域 上 的二 次方程 根 的判别 数学 的实践与认 识 ， 孙宗 明 尤元域上 的 ‘ 次方程 根 的状况 数学 的实践与认 识 ， 孙宗 明 知 元域上 的 次方程 根 的状况 数学 的实践 与认 识 ， 熊全淹 近世代数 上 海 上 海科学技术 出版 社 ， ‘ ， 夕‘ 十 ， 勿 勿 之 为 肋 月 肋 九 ， ， 俪 ’ ‘ 饰 川 印 七 夕‘ ’ 沪勺 ，