《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 h w 高子会 j (c sin'x 凑微分法3：f(sinx)cosxdx=fsnx)dsnx=fu)dh f(cosx)sin xdx=-f(cosx)dcosx=-f(u)du. f(igx)secxdx=f(igx)digx=f(u)du. 例5、对于5厂s血'迹与厂cos (n∈川形式的积分，当”是偶数，时可利用三角恒等式 sinx=(1-cos2x)cosx=(1+cos2x) 来降低三角函数的幂，当”是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 0jsn达=月-cos2jk-=0-2os2x+os2h -2oas2h++cas4树] -sin2xsind C 追x-sm2x+安m4c 《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 dx dx a x a a x a x   = + =   − − +     1 1 ( ) ( ) ln 2 2 d x a d x a x a C a x a x a a x a   + − +   − = +   + − −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x dx e e dx d e dx e e e e + − + = = − = + + + +     1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 x x x x x x x e e d e dx dx e e e e + − + + = − + = + + + +    ( ) 2 1 ln 1 1 x x e C e − + + + + ( ) 2 2 2 2 2 sin 1 1 1 3 1 1 sin 1 sin sin 1 1 sin x dx dx dx dx x x x x   = − = −   + +   +     ＝ 2 cot cot 1 2 2 cot 2 cot 1 2 x d d x x x x x + = + +   +       ＝ 1 cot arctan 2 2 x x C   + +     凑微分法 3： f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du; f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d cos x = − f (u)du; ( )sec ( ) ( ) . 2 f tgx xdx = f tgx dtgx = f u du 例５、对于 sinn xdx  与 cosn xdx  (n N  ) 形式的积分，当 n 是偶数时，可利用三角恒等式 ( ) ( ) 2 2 1 1 sin 1 cos 2 cos 1 cos 2 2 2 x x x x = − = + 来降低三角函数的幂，当 n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 sin 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2 2 4 xdx x dx x x dx   = − = − +        ＝ ( ) 1 1 2 cos 2 1 cos 4 4 2 dx xdx x dx   − + + =        1 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x x C     − + + +   ＝ 1 3 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x C     − + +  