1 f)=1√2 e， y>0 0 y≤0 此时称Y服从自由度为1的X2分布 例4设随机变量X具有概率密度函数f(x(-0<x<+∞)，g(x)为(-∞，+o)内 的严格单调的可导函数，试证随机变量Y=g)的概率密度函数为 f)= ()a<y<B; 0 其他 其中风)是g(x)的反函数， a=min{g(-o),g(+oo)),B=maxig(-o),g(+o)). 证不妨设y=g(x)严格单调增加，则它的反函数x=()存在，且也严格单调 增加。因为Y=g()在区间(@=g(-o),B=g(+∞)》之间取值，所以当 y≤时，F()=PY≤)=0；当y≥B时，F()=PY≤y)=l,当<y<B时 F)=r≤)=Agh≤)=r≤M)=”/(k 于是，'的概率密度函数为 o)ayeB: 0, 其他 y=g(x)严格单调下降的情形可以类似证明。见文字教材。 例5设随机变量X~W(μ，o2),证明X的线性函数Y=aX+a≠0)也服从正 态分布。 证厂概率密度函数为 1-r)2 L(x)=- 2π0 ,-00<x<+0. 因为y=g)=ar+b是严格单调函数，且当x∈(-o,+oo)时， 有y∈(-0，+∞)又其反函数及反函数的导数分别为 x=y)=(Uy-/a,h(y)=1/a, 2121           0, 0. , 0; 2 1 ( ) 2 2 1 y y e y f y y Y  此时称 服从自由度为 1 的 分布. . Y 2  例 4 4 设随机变量 X 具有概率密度函数 f X ( x)(  x  ), g(x) 为 (,)内 的严格单调的可导函数，试证随机变量Y  g(X )的概率密度函数为       , . [ ( )]| ( ) |, ; ( ) ' o 其他 f h y h y y f y X Y   其中 h( y) 是 g( x)的反函数，   min{ g(),g()},  max{g(), g()}. 证 不妨设 y  g( x)严格单调增加，则它的反函数 x  h( y) 存在，且也严格单调 增 加 。 因 为 Y  g(X ) 在 区 间 (  g(),   g()) 之 间 取 值 ， 所 以 当 y  时, FY ( y)  P(Y  y)  0;当 y   时,FY ( y)  P(Y  y) 1;当  y   时         ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) , h y FY y P Y y P g X y P X h y f X x dx 于是，Y 的概率密度函数为       0, . ( ( )) ( ), ; ( ) ' 其他 f h y h y  y  f y X Y y  g( x)严格单调下降的情形可以类似证明。见文字教材。 例 5 5 设随机变量 X ~ N ( , 2 ), 证明 X 的线性函数 Y  aX  b(a  0)也服从正 态分布。 证 X 概率密度函数为 , . 2 1 ( ) 2 2 2 ( )        f x e x x X    因为 y  g( x)  ax  b是严格单调函数，且当 x (,)时， 有 y (,) 又其反函数及反函数的导数分别为 ( ) ( ) , ( ) 1 , ' x  h y  y  b a h y  a