用(3.24)的,按(3.13)计算应力,即得(3.3)式,而(3.23)即为(3.5)式 证毕 如果用(3.19)计算应力分量,得 v-22U 2(1 2 VUo 2(1+v) -z22 axa 2(1+v) 若在(3.3)(3.4)或(3.25)式中略去z的二阶小量,可导致平面应变时的 应力与Airy应力函数表达式(2.7)。从(3.3),(3.25)还可以看出,如果侧面边 界上的应力恰有如同两式之一所示的抛物线分布,则所得的解为精确解。此外, 有几点是不言而喻的:在假定(3.2)之下,侧面外力的z向分量tn应为零;为 了使问题有解,外力的合力和合力矩应为零。 §4广义平面应力问题 4.1无体力情形 本节所处理问题的几何特点和物理特点与上节相同,但在整个板内,按半逆解法所 预先假定的条件将比(3.2)弱,设为 σx(x,y,z)=0,(x,y,z)∈品2, 满足条件(4.1)的问题,按 Filon的说法,称为广义平面应力问题,其应力场称为广义 平面应力状态 定理4.1假设 1°.在弹性体中不受体力,侧面外力关于z=0对称, 2°.Ω2的表面无外力,即 ax=0,(xy)∈G,z=土 3°.条件(4.1)成立。 则广义平面应力问题的应力场为 q=3+5,(,J=123 (4.3)用(3.24)的 ，按(3.13)计算应力，即得(3.3)式，而(3.23)即为(3.5)式。 证毕。 如果用(3.19)计算应力分量，得 (3.25) 若在（3.3）（3.4）或（3.25）式中略去 的二阶小量，可导致平面应变时的 应力与 Airy 应力函数表达式(2.7)。从(3.3)，(3.25)还可以看出，如果侧面边 界上的应力恰有如同两式之一所示的抛物线分布，则所得的解为精确解。此外， 有几点是不言而喻的：在假定(3.2)之下，侧面外力的 向分量 应为零；为 了使问题有解，外力的合力和合力矩应为零。 §4 广义平面应力问题 4.1 无体力情形 本节所处理问题的几何特点和物理特点与上节相同，但在整个板内，按半逆解法所 预先假定的条件将比(3.2)弱，设为 (4.1) 满足条件(4.1)的问题，按 Filon 的说法，称为广义平面应力问题，其应力场称为广义 平面应力状态。 定理 4.1 假设 .在弹性体 中不受体力，侧面外力关于 对称， . 的表面无外力，即 (4.2) .条件(4.1)成立。 则广义平面应力问题的应力场为 (4.3)