第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法 真实的弹性体都是空间物体,但当其形状和受力情况具有某些特点时,在数学上可按平 面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题,然后在直 角坐标系中来解平面问题 §1平面应变问题 11基本定理及其推论 平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。 几何特点:弹性体为母线与z轴平行的长柱体 物理特点:弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于xy平面,全与z无关,且它 们在xy平面内构成平衡力系 许多重要的工程 贝、涵洞和受内压 的圆管等。 图7.1 如同第六章的 Saint- Venant问题一样,我们仍采用半逆解法。对于本节的问题,既然弹 性体的形状和所受外力都不依赖于坐标z,可以想象弹性体中的变形也与坐标z无关 于是位移场(ux,vw)可作如下的预先假定 u=u(x,y, v=vx,y), w=0, (X,EG 其中G为柱体g的横截面。 满足条件(1.1)的弹性力学问题,通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建 立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(1.1),几何方程成为 E。= 从(1.2)可知,应变仅有“平面”上的分量sx、5,和y,且不依赖于z:而应变的三 个“z向”分量yx、yy和Er全部自动消失
第七章 弹性力学平面问题的直角坐标解法 真实的弹性体都是空间物体，但当其形状和受力情况具有某些特点时，在数学上可按平 面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题，然后在直 角坐标系中来解平面问题。 §1 平面应变问题 1.1 基本定理及其推论 平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。 几何特点：弹性体为母线与 轴平行的长柱体。 物理特点：弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于 平面，全与 无关，且它 们在 平面内构成平衡力系。 许多重要的工程实际问题都具有上述两个特点，例如图 7.1 所示的水坝、涵洞和受内压 的圆管等。 图 7.1 如同第六章的 Saint-Venant 问题一样，我们仍采用半逆解法。对于本节的问题，既然弹 性体的形状和所受外力都不依赖于坐标 ，可以想象弹性体中的变形也与坐标 无关， 于是位移场 可作如下的预先假定 (1.1) 其中 为柱体 的横截面。 满足条件(1.1)的弹性力学问题，通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建 立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(1.1)，几何方程成为 (1.2) 从(1.2)可知，应变仅有“平面”上的分量 、 和 ，且不依赖于 ；而应变的三 个“ 向”分量 、 和 全部自动消失
在(1.2)之下,本构方程为 x=(2x+E,)+2 C,=A(Ex+E,)+2uey (x,y)∈G 可以看出,or、y和三个应力分量都是x、y的函数,两个与z向有关的剪应 力z,、τ都为零,但z向的正应力a,却不为零。也就是说平面应变问题的应力可不 是“平面”的。此时,平衡方程为 ar fr =0, araσ, Ox+Oy +y-0, (D)eG (14) J2=0 按问题的特点,式中J和与z无关,而应为零 由于柱体侧面S上的外法向总与z轴垂直,其时S上的应力边界条件为 Tx cos(n, x)+o, cos(n, y)=ty, (x,y)EL 这里L为G的边界曲线。另外,按问题的物理特点,面力分量tx和,与z无关,t2应 为零。 我们知道,弹性力学的边值问题的解存在且唯一,而假定(11)是在边值问题的方程和 边界条件以外又加上了新的限制。那么在这种限制之下,问题是否可能还有解?或者说,这 种限制与其几何特点物理特点是否相容?答案是肯定的,先有下述定理: 定理1如果体力(x,y)、(x,)和面力tx(x,y)、(xy)构成平衡力系 faddy+ftds=0,a=1,2 川j(x-)x+(x,-y)d=0. (16) 则下述边值问题的解存在且唯一(位移精确到刚体位移)
在(1.2)之下，本构方程为 (1.3) 可以看出， 、 和 三个应力分量都是 、 的函数，两个与 向有关的剪应 力 、 都为零，但 向的正应力 却不为零。也就是说平面应变问题的应力可不 是“平面”的。此时，平衡方程为 (1.4) 按问题的特点，式中 和 与 无关，而 应为零。 由于柱体侧面 上的外法向总与 轴垂直，其时 上的应力边界条件为 (1.5) 这里 为 的边界曲线。另外，按问题的物理特点，面力分量 和 与 无关， 应 为零。 我们知道，弹性力学的边值问题的解存在且唯一，而假定(1.1)是在边值问题的方程和 边界条件以外又加上了新的限制。那么在这种限制之下，问题是否可能还有解？或者说，这 种限制与其几何特点物理特点是否相容？答案是肯定的，先有下述定理： 定理 1.1 如果体力 、 和面力 、 构成平衡力系， 即： (1.6) 则下述边值问题的解存在且唯一(位移精确到刚体位移)
,12o+,(x,y)∈G 1.7) ox=I(Er+E,)+2uEx =(E2+Ey)+2Ey,(xy)∈G (1.8) ao ar +f=0 (x,y)∈G (1.9) ox cos( n, x)+Tw cos(n, y)=tx (x,y)∈L (1.10) x cos(, x)+o, cos( n, y)=ty 其中G为平面区域,L为其边界,,v,n,Ey,,Ox,Oy,初均为(x,y)的函数。 定理1.1的存在性类似于三维的证明,可按 Fichera(1972)的 Soboley空间方法,或 Kupradze(1978)的弹性势论方法得到,也可按复变函数的方法证明,参见 MycXeJNIl BHH(1958)一书的312页至321页。关于上述定理的唯一性部分,类似于第五章第二节 的唯一性定理的证明 定理1.1仅考虑了应力边值问题,当然也可考虑位移边值问题和混合边值问题,限于篇 幅不再叙述相应的定理了。从定理1.1可以得到下面三个显然的,却非常有用的推论 推论1.1若 D·z 是问题(1.7(1.10)在平面区域G上的解,则 u.v. w=0 Ex,B,,Ym,Yx=Y=Ex=0 (1.12) 0,0=(sx+sy) 是弹性力学问题(1.2)-(15)在无限柱体2=Gx(-+)上的解。 推论12设Q=Gx[0,4为有限柱体,其两端的边界条件分别为下列三种情况之
(1.7) (1.8) (1.9) (1.10) 其中 为平面区域， 为其边界， 均为 的函数。 定理 1.1 的存在性类似于三维的证明，可按 Fichera(1972)的 Sobolev 空间方法，或 Kupradze(1978)的弹性势论方法得到，也可按复变函数的方法证明,参见Мусхелиш вили(1958)一书的 312 页至 321 页。关于上述定理的唯一性部分，类似于第五章第二节 的唯一性定理的证明。 定理 1.1 仅考虑了应力边值问题，当然也可考虑位移边值问题和混合边值问题，限于篇 幅不再叙述相应的定理了。从定理 1.1 可以得到下面三个显然的，却非常有用的推论。 推论 1.1 若 (1.11) 是问题(1.7)-(1.10)在平面区域 上的解，则 (1.12) 是弹性力学问题(1.2)-(1.5)在无限柱体 上的解。 推论 1.2 设 为有限柱体，其两端的边界条件分别为下列三种情况之一：
a(E,+Ey, 2.,v,=0, (1.13) 3. 其中Ex,Ey,是问题(.7-(1.10)的解。则(1.12)为有限柱体C上弹性力学问题(1.2)-(1.5) 和(1.13)条件之一的解 推论13设2=Gx[0,月为长柱体(即冫比G的特征尺寸大得多),在的端部 =l上给定合力和合力矩, Rx, Ry, Rz, Mn,My, Ma (1.14) 在Q上,z=端具下述合力和合力矩 R,凡,凡-可∫(+川减, 4-“0+,)减4++)减M,1 的Sant- Venant问题的解,记为zx、z、 则长柱体!上,弹性力学问题(1.2)(1.5)(1.14)在 Saint-Venant意义下的一个解为 这里σ,、ay、τm为问题(1.7)-(1.10)的解。 s2Ary应力函数 2.1无体力情形 若无体力,平衡方程(1.9)和应力协调方程(1.31),分别为 物-0数,物0 (2.1) 0, 以应力为未知量的平面应变问题,归结为求解方程(2.1)(2.2)
(1.13) 其中 是问题(1.7)-(1.10)的解。则(1.12)为有限柱体 上弹性力学问题(1.2)- (1.5) 和(1.13)条件之一的解。 推论 1.3 设 为长柱体(即 比 的特征尺寸大得多)，在 的端部 上给定合力和合力矩， (1.14) 在 上， 端具下述合力和合力矩 (1.15) 的 Saint-Venant 问题的解，记为 、 、 。 则长柱体 上，弹性力学问题(1.2)-(1.5)(1.14)在 Saint-Venant 意义下的一个解为 (1.16) 这里 、 、 为问题(1.7)-(1.10)的解。 §2 Airy 应力函数 2.1 无体力情形 若无体力，平衡方程(1.9)和应力协调方程(1.31)，分别为 (2.1) (2.2) 以应力为未知量的平面应变问题，归结为求解方程(2.1)(2.2)
由于平衡方程(2.1),我们可定义两个与路径无关的线积分, A(xy)-C3)-(5m)+,(5n) (2.3) B(x, y)= op(5,n)d5+和(5,n)dn, 其中(x0,y0)为G中的某个固定点,(x,y)为G中的任意点。从(2.3),得 在(2.4)中,关于的两个式子应一致,有 OA aB 类似地,从(2.5)可知存在函数U(x,y),使 (2.6) 将(2.6)代入(2.4),得到 22 2 (2.7) andy 通常称(2.7)中的U为Airy应力函数。从上面的推导可知,只要应力分量r、ay和 o满足平衡方程(2.1),就存在Airy函数U使(2.7)成立;反之,对于任意函数U 按(②2.7)所求出的应力分量都满足平衡方程(2.11)。这样可以说,(2.7)为平衡方程(2.1) 的通解。在应力协调方程(2.2)中引入Airy应力函数,得 VVU=O 由于(2.7)已使平衡方程自动满足,因此平面应变问题归结为:在给定的边界条件下求 解双调和方程: atu a+u afu V-V-U axax2ay2 (2.9)
由于平衡方程(2.1)，我们可定义两个与路径无关的线积分， (2.3) 其中 为 中的某个固定点， 为 中的任意点。从(2.3)，得 (2.4) 在(2.4)中，关于 的两个式子应一致，有 (2.5) 类似地，从(2.5)可知存在函数 ，使 (2.6) 将(2.6)代入(2.4)，得到 (2.7) 通常称(2.7)中的 为 Airy 应力函数。从上面的推导可知，只要应力分量 、 和 满足平衡方程(2.1)，就存在 Airy 函数 使(2.7)成立；反之，对于任意函数 ， 按(2.7)所求出的应力分量都满足平衡方程(2.11)。这样可以说，(2.7)为平衡方程(2.1) 的通解。在应力协调方程(2.2)中引入 Airy 应力函数，得 (2.8) 由于(2.7)已使平衡方程自动满足，因此平面应变问题归结为：在给定的边界条件下求 解双调和方程： (2.9)
2.4有体力的情形 对于有体力的弹性力学问题,通常将其分为两个问题来解,先求有体力的特解,再 求无体力的齐次方程的解,然后将二者叠加可得到原问题的解,平面问题的特解将在第 八章中给出。本段,按另一种方式考虑体力。首先,注意下述引理。 引理2.1若f(x,y)和(x,y)为G上给定的函数,则存在q(x,y)和 F(xy),使 do dF do dF fr ax ay J 证明:令A和B分别为J和fy的对数位势, A=(5m)dn,EDS)加p 其中p 因此,有 J彡 这儿V2=2+02。改写(2.1)为 B、a;A.aB、 00A0B、0.0AaB (2.12) 这样 aA aB dA aB R e xeb 0y0 即合所求。引理得证 将(2.12)代入平衡方程(1.9)和协调方程(1.31),得 ax ay ax a aaσ v2(2+ay)+(1+1)V2p=0
2.4 有体力的情形 对于有体力的弹性力学问题，通常将其分为两个问题来解，先求有体力的特解，再 求无体力的齐次方程的解，然后将二者叠加可得到原问题的解，平面问题的特解将在第 八章中给出。本段，按另一种方式考虑体力。首先，注意下述引理。 引理 2.1 若 和 为 上给定的函数，则存在 和 ，使 (2.10) 证明：令 和 分别为 和 的对数位势， 其中 。因此，有 (2.11) 这儿 。改写(2.11)为 (2.12) 这样 即合所求。引理得证。 将(2.12)代入平衡方程(1.9)和协调方程(1.31)，得 (2.13) (2.14)
了2K=F (2.15) 如果令 a2K +卯+ 2 away a2k aK 则(2.13)(2.14)成为 0,2=0, (2.17 V(a+,)-(1-v1Vq=0 (2.18) (2.17)与无体力的(2.1)在形式上完全一致,按前面的推导,类似于(2.7)有, 22 将(2.19)前两式代入(2.18),得 =(1-v1 如果势函数q为调和函数,那么有体力的(2.20)与无体力的(2.2)相同。 §3平面应力问题 3.1无体力情形 几何特点:弹性体占有的区域为一薄板Ω, 其中z垂直于板面,G为二维区域,板的厚度为2,并假定比G的特征 尺寸小得多。 物理特点:在板的侧面受有关于z=0的对称外力,在板内无体力,在板的 上下表面也无外力,即
设 (2.15) 如果令 (2.16) 则(2.13)(2.14)成为 (2.17) (2.18) (2.17)与无体力的(2.1) 在形式上完全一致,按前面的推导，类似于（2.7）有， (2.19) 将(2.19)前两式代入(2.18)，得 (2.20) 如果势函数 为调和函数，那么有体力的(2.20)与无体力的(2.2)相同。 §3 平面应力问题 3.1 无体力情形 几何特点：弹性体占有的区域为一薄板 ， 其中 垂直于板面， 为二维区域，板的厚度为 ，并假定 比 的特征 尺寸小得多。 物理特点：在板的侧面受有关于 的对称外力，在板内无体力，在板的 上下表面也无外力，即
x=x=cx=0,z=±,(xy)∈G 为了求解本节的问题,仍采用半逆解法。既然板很薄,我们将认定板面条件 (3.1)可扩展到整个!2中,即假定 ax=0,(x,y,z)∈s, 在上述几何和物理特点之下,符合条件(3.2)的弹性力学问题将称为平面应 力问题,其应力场称为平面应力状态。本节来求平面应力问题的一般解,并考察 它的近似解。下面的基本定理属于 Michell(参见Love,1927,§145:或铁摩辛 柯与古地尔,1990,§98)。 定理3.1假设 1°.弹性体在Ω中不受体力,侧面外力关于z=0对称, 2°.条件(3.2)成立, 则σ,、σ、τx在!2上有表达式 22② ay2, a w axa 其中 ④=U+ 这里v2=a2+02为二维 Laplace算子,U(x,y)为双调和函数,即 72V2U=0 (3.5) 证明:在假定(3.2)之下,第五章第4节中以应力表示的弹性力学方程组成 为 xx+v,y=0, vx +o,y=0, (3.6) VOOx +r(ox+o,xx=0, any
(3.1) 为了求解本节的问题，仍采用半逆解法。既然板很薄，我们将认定板面条件 (3.1)可扩展到整个 中，即假定 (3.2) 在上述几何和物理特点之下，符合条件(3.2)的弹性力学问题将称为平面应 力问题，其应力场称为平面应力状态。本节来求平面应力问题的一般解，并考察 它的近似解。下面的基本定理属于 Michell(参见 Love，1927，§145；或铁摩辛 柯与古地尔，1990，§98)。 定理 3.1 假设 ．弹性体在 中不受体力，侧面外力关于 对称， ．条件(3.2)成立， 则 、 、 在 上有表达式 (3.3) 其中 (3.4) 这里 为二维 Laplace 算子， 为双调和函数，即 (3.5) 证明： 在假定(3.2)之下，第五章第 4 节中以应力表示的弹性力学方程组成 为 (3.6) (3.7)
其中v=V2+a2为三维 Laplace算子,下标中的逗号表示对其后变量的微商。 从(3.8),可得 k 其中k为常量。将上式积分,得 kz+码(xy) 考虑到Q的形状和受力情况均关于z=0对称,那么an、,和都应为z 的偶函数,这样(3.10)中的常数k应为零,(3.10)成为 0x+0,=e(x y), 3.11) 将(3.7a,b)两式相加,注意到仅为x和y的函数,可得 b=0 3.12) 按照上一节获得Ary应力函数的方法,从平衡方程(3.6)出发,将z看作 参数,可知存在函数(xy,z),使得 R, I 利用(3.13)的表示,(3.11)成为 v=鸟 (3.14) 将(3.13)和(3.11)代入(3.7),得到 ax=0, (V+x)x+;y=0 (3.15) a.m=0 既然码(x,y)为调和函数,就有a=-y,将此关系式和(3.14)代入 (3.15),得
(3.8) 其中 为三维 Laplace 算子，下标中的逗号表示对其后变量的微商。 从(3.8)，可得 (3.9) 其中 为常量。将上式积分，得 (3.10) 考虑到 的形状和受力情况均关于 对称，那么 、 和 都应为 的偶函数，这样(3.10)中的常数 应为零，(3.10)成为 (3.11) 将(3.7a,b)两式相加，注意到 仅为 和 的函数，可得 (3.12) 按照上一节获得 Airy 应力函数的方法，从平衡方程(3.6)出发，将 看作 参数，可知存在函数 ，使得 (3.13) 利用(3.13)的表示，(3.11)成为 (3.14) 将(3.13)和(3.11)代入(3.7)，得到 (3.15) 既然 为调和函数，就有 ，将此关系式和(3.14)代入 (3.15)，得
1+ )=0 从(3.16)可以得到 1+2一口+bx+y (3.17) 其中a、b和c为z的函数。将(3.17)对z积分两次,得 D一A+Bx+6+6+012-24+, (3.18) 这里A、B和C分别是a、b和c的两次积分,U和乙1为x、y的函 数。如按表示式(3.13)计算应力分量,可知A+Bx+不产生应力,故可略去。 此外,由于σx、a和为z的偶函数,1应取为零。这样(3.18)成为 2(1+v 对(3.19)取二维 Laplace算子v2,考虑到(3.14)和(3.12),得 再对(3.20)取 Laplace算子V,由于码调和,得 2 (3.22) 同样有 72U-V2U. V2y2U-0 把(3.22)(3.20)代入(3.19),得 (3.24) 6(1
(3.16) 从(3.16)可以得到 (3.17) 其中 、 和 为 的函数。将(3.17)对 积分两次，得 (3.18) 这里 、 和 分别是 、 和 的两次积分， 和 为 、 的函 数。如按表示式(3.13)计算应力分量，可知 不产生应力，故可略去。 此外，由于 、 和 为 的偶函数， 应取为零。这样(3.18)成为 (3.19) 对(3.19)取二维 Laplace 算子 ，考虑到(3.14)和(3.12)，得 (3.20) 再对(3.20)取 Laplace 算子 ，由于 调和，得 (3.21) 令 (3.22) 同样有， (3.23) 把(3.22)(3.20)代入(3.19)，得 (3.24)
