第二章应变分析 本章描述弹性体的变形,导出几何方程,并推出几何方程与应变协调方程的等价性。 §1.位移 设在三维欧氏空间(xy,z)中弹性体占有空间区域2,它在外界因素影响下产生 了变形,2内的点P(x,y,z)变成了点P(x,,2),其间的位置差异是位移向量 x,v),即有 x =x+u(x,y,2 x,y, (1.1) 2=z+w(x)y,2 图2.1 如图2.1所示,其中r=(x,y,z)F=(x,5,2)u=(u,v,)我们总假定u是单值函数, 并有所需的各阶连续偏导数 对(1.1)考察它的 Jacobi行列式 dx dy D(x,5,2 x,y,2 +a-8a8 十
第二章 应变分析 本章描述弹性体的变形，导出几何方程，并指出几何方程与应变协调方程的等价性。 §1. 位移 设在三维欧氏空间 中弹性体占有空间区域 ，它在外界因素影响下产生 了变形, 内的点 变成了点 ，其间的位置差异是位移向量 ，即有 （1.1） 图 2.1 如图 2.1 所示，其中 。我们总假定 是单值函数， 并有所需的各阶连续偏导数。 对(1.1)考察它的 Jacobi 行列式
2的高次项 (1.2) dx ay az 其中(41a243)={,1),(x1x2,x)=( 本书研究小变形,总假定v,为小量,即假定 0,这样从隐函数存在定理,在某个邻域内存在单 值连续可微的反函数 x1=x(元,y,2 于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数,且互为反函数 x1(x,y,z)单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点,这样弹性体不被撕裂: x3(,,2)单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点,或者说弹性体不会重叠 §2.几何方程 本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。 考察点P(xy,z)附近的点P(x+axy+如,z+如)的位移,按 Taylor展开,有 z+a)=(x,y,z)+ v(x+dx,y+dy, z+dz)=v(x, y, 2)+ ah 以(x+xy+的z+d)=w1、刚质、部 其中略去了ak3(=123)的高阶小量。利用右梯度的记号,可将(2.1)写成 (r+r)=()+()mr (2.2)
… … (1.2) 其中 , 。 本书研究小变形，总假定 为小量，即假定 ， (1.3) 在假定（1.3）之下，从(1.2)得 ，这样从隐函数存在定理，在某个邻域内存在单 值连续可微的反函数， (1.4) 于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数，且互为反函数。 单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点，这样弹性体不被撕裂； 单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点，或者说弹性体不会重叠。 §2. 几何方程 本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。 考察点 附近的点 的位移，按 Taylor 展开，有 (2.1) 其中略去了 的高阶小量。利用右梯度的记号，可将(2.1)写成 (2.2)
这里nV=4,e,=ae 我们引入对称张量r和反对称张量2 v+V 2=uv-VI (2.4) 此处F通常称为 Cauchy应变张量,或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程,它 是弹性力学三组方程中的第一组,它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起 来了。与应变张量r相应的矩阵F为, 132431 222 273 通常记r的分量为r (2.6) 有时将%1y273分别写成xy或5;2,的3,这三个分量称为正应变分量或正 应变;将y23y32分别写成 Yr,Yx,y,这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在 此种记号下,(2.6)可写成 与反对称张量相应的矩阵Ω为
这里 。 我们引入对称张量 和反对称张量 ， (2.3) (2.4) 此处 通常称为 Cauchy 应变张量，或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程，它 是弹性力学三组方程中的第一组，它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起 来了。与应变张量 相应的矩阵 为， (2.5) 通常记 的分量为 (2.6) 有时将 分别写成 或 ，这三个分量称为正应变分量或正 应变；将 分别写成 ，这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在 此种记号下，(2.6)可写成 (2.7) 与反对称张量 相应的矩阵 为
(u12-32)(432-23) 从(2.8)看出与Ω相应的轴矢量a为, =(V×n) 从(2.2),按照C和Ω的定义,得, 注意到反对称张量与其轴矢量的关系,即第一章(2.22)式,得到 ur+dr)=u(r)+adr+rdr (21)可以看作某点附近各点上位移的分解,它包含三部分:其一,以(r)相当于平动 其二,×ar相当于刚体转动;其三rdr为变形。下面将着重研究第三部分所表示 的变形。(2.11)也可写成, d=u(p+a)-u(r)=ax如+F· (2.12) §3.变形 变形是弹性体区别于刚体的基本之点,本节以二维变形为例,直观地考察长度和角 度这两个形状基本要素的变化
(2.8) 从(2.8)看出与 相应的轴矢量 为， (2.9) 从（2.2），按照 和 的定义，得， (2.10) 注意到反对称张量与其轴矢量的关系，即第一章(2.22)式，得到 (2.11) (2.11)可以看作某点附近各点上位移的分解，它包含三部分：其一， 相当于平动； 其二， 相当于刚体转动；其三 为变形。下面将着重研究第三部分所表示 的变形。(2.11)也可写成， (2.12) §3. 变形 变形是弹性体区别于刚体的基本之点，本节以二维变形为例，直观地考察长度和角 度这两个形状基本要素的变化
图2.2 如图22所示,点P(xy)及其附所的两个点Ax+axy)和B(xy+的y),它们 在外界因素影响下,变成了点芦、A、B,其坐标变化如下, P(x,y)→P(x+,y+y) Al(x+dx,y)->Ax+dx +u+edx,y+v+edx (3.1) 8(cy+6)→列x++by+句 a一 现在来看微线元PA的相对变化 dx +-dx - PA PA (3.2) 在得到上式时,略去了。和。的高阶小量。从(3.2)可知x=的几何意义为 方向上微线元的相对伸长。当E,>0时,线元伸长;当,<0时,线元缩短。同理 5b和”正分别为y方向和2方向上微线元的相对仲长 再来考虑角APB的变化,对图2.2中的角a和月,有
图 2.2 如图 2.2 所示，点 及其附所的两个点 和 ，它们 在外界因素影响下，变成了点 、 、 ，其坐标变化如下， (3.1) 现在来看微线元 的相对变化， (3.2) 在得到上式时，略去了 和 的高阶小量。从(3.2)可知 的几何意义为 方向上微线元的相对伸长。当 时，线元伸长；当 时，线元缩短。同理 和 分别为 方向和 方向上微线元的相对伸长。 再来考虑角 的变化，对图 2.2 中的角 和 ，有
tgo 其中略去了。的高阶小量。当变形很小时,a和B也很小,从(3.3)可近似地认为 有 (a+)(ga+据g) 1(a.a 2 ay ax 如图2.2所示,直角APB变形后成为了角A2B,二者之差为a+,按(34),y 表示角度改变之半。当y>0时,直角变成了锐角;当y<0时,直角变成了钝角 弹性变形一般很小,通常认为y<0.2%。 §4.应变分析 在上一节指出了y表示坐标方向上线元的伸长和其间角度的变化。本节将指出y 也可描述任意方向上微线元的长度相对变化,以及任意两个方向间夹角的变化。 4.1长度的变化 设有矢径为的点P,在外界因素作用下变至P,其间位移为。在P点附 近有矢径为 +a的点A, (dr)E (4.1) 其中E=(55,)为方向的单位向量。设A变至A,其间位移为=+an 那么向量A
(3.3) 其中略去了 的高阶小量。当变形很小时， 和 也很小，从(3.3)可近似地认为 有 (3.4) 如图 2.2 所示，直角 变形后成为了角 ，二者之差为 ，按(3.4), 表示角度改变之半。当 时，直角变成了锐角；当 时，直角变成了钝角。 弹性变形一般很小，通常认为 。 §4. 应变分析 在上一节指出了 表示坐标方向上线元的伸长和其间角度的变化。本节将指出 也可描述任意方向上微线元的长度相对变化，以及任意两个方向间夹角的变化。 4.1 长度的变化 设有矢径为 的点 ，在外界因素作用下变至 ，其间位移为 。在 点附 近有矢径为 的点 ， (4.1) 其中 为 方向的单位向量。设 变至 ，其间位移为 ， 那么向量
将为(见图2.3), dr=dr+du (4.2) 图2. 现在来考察dF的长度d,从(4.2)有, (dr)=dr dr= drdr+2dr du+du d i 将分解式(2.12)代入到(4,3),再注意到d=(uV)r=adr(a),得 (r=(dr/+2droxdr+r dr)+(dr (vu)] [uv).dr (a)2+2(a)2GE 其中G称为 Green应变张量 这里r为 Cauchy应变张量(2.3)。在导出(4.5)时利用了向量混合乘积的公式 dr(axar)=0。本书仅考虑小变形,忽略G中有关的二次项部分,(4.4)成为 ()2-=(an)2+2()F 设方向上的相对伸长为E,由(4.6)得 +2·r-1~·r·2=5r1点 (4.7)
将为（见图 2.3）， （4.2） 图 2.3 现在来考察 的长度 ，从(4.2)有， (4.3) 将分解式(2.12)代入到(4.3）,再注意到 ，得 (4.4) 其中 称为 Green 应变张量， (4.5) 这里 为 Cauchy 应变张量（2.3）。在导出（4.5）时利用了向量混合乘积的公式 。本书仅考虑小变形，忽略 中有关 的二次项部分，(4.4)成为 (4.6) 设 方向上的相对伸长为 ，由(4.6)得 (4.7)
上式导出时略去了的高阶小量。当5-(10)时,从(.7)有:s=n1,此即(3.2) 式。(4.7)式明确指出,只要知道某点的应变张量,就可以得到该点任意方向上线元 的伸长率 附注非线性大变形时,需要考虑 Green应变张量,它的分量为 a,1(a (时1(a〕 az 2 d2 (4.8) 1 dudu dy a dwdw G23 az ay 2ay a ay &z a z G31-5ax az 2az ay ay dwdw a122(a+a2a dx 4.2角度的变化 在矢径为P的P点附近有两个点A和B,它们的矢径分别为P+ar和r+ 设 a=(a),分=(am 式中一(与,5),=(mn2n)为两个互相垂直的单位向量。变形时,点P、A B分别变为芦、A、B,其间位移分别为H、+d、a+&,那么向量pA 和芦B将分别为 dr=dr +du, &r= d+ a (4.10)
上式导出时略去了 的高阶小量。当 时，从(4.7)有： ，此即(3.2) 式。（4.7）式明确指出，只要知道某点的应变张量，就可以得到该点任意方向上线元 的伸长率。 附注 非线性大变形时，需要考虑 Green 应变张量，它的分量为 (4.8) 4.2 角度的变化 在矢径为 的 点附近有两个点 和 ，它们的矢径分别为 和 ， 设 (4.9) 式中 ， 为两个互相垂直的单位向量。变形时，点 、 、 分别变为 、 、 ，其间位移分别为 、 、 ，那么向量 和 将分别为, （4.10）
为考察F和之间的夹角,作它们的内积,从(4.10)得 F·=dr分+drc+al分+dn'c (4.11) 将正交条件db=0,(2.12),d=air(Va),a=(aV)分代入(4.1),得 ·=(mx+r) +&(adr+rdr)+dr vu) .(uv)& (4.12) 由于d(aX)+(axmr)=0,从(4.12)得 ·=2 drars. G'7 (4.13) 在小变形时,有 r·a=2 drdr5'I丌 (4.14) 设和之间的夹角的夹角为一-2y,并设 d=(1+a,b=(1+a2) (4.15) 其中==|,和品分别为和方向上的相对伸长。将(4.15)代入 (4.14),得 (1+6)1+62)n2y=257 16) 对于小变形的情形,γ、与和均很小,略去高阶小量,从(4.16)得, y=507 (4.17) 当E=(100),η=(010)时,(4.17)给出y=y12= 此即为(3.4) 所描述的事实
为考察 和 之间的夹角，作它们的内积，从(4.10)得 （4.11） 将正交条件 ，(2.12), , 代入(4.11),得 （4.12） 由于 ，从(4.12)得 （4.13） 在小变形时，有 （4.14） 设 和 之间的夹角的夹角为 ，并设 （4.15） 其中 ， 和 分别为 和 方向上的相对伸长。将(4.15)代入 (4.14),得 （4.16） 对于小变形的情形， 、 和 均很小，略去高阶小量，从(4.16)得， （4.17） 当 ， 时，（4.17）给出 ，此即为(3.4) 所描述的事实
(4.17)表明,一旦有了应变张量y;,那么互相垂直的两方向夹角的变化即可算 出。类似地,对于不垂直的两任意方向间的夹角变化也不难求出。 综上所述,长度和角度这两个形状要素的变化都可以用应变张量来描述,一个点上 的的应变张量足以刻划该点附近微元的变形,也就是说,应变张量包含了变形的全部信 §5应变张量 5.1张量F 设厂在标架(1ee3)下的分量为,今有一个新的标架1e,e3),基向量e 和e:的关系为 按(4.7)式,在e1方向上的伸长r1为 按(4.17)式,在e1和e2间的角度变化y12为 综合(5.2)(5.3),以及关于y2、y3、y和%1类似的式子,可得 另一方面,按前面两节的几何解释,r1、y和r分别为F在新标架下的正 应变,n2、y3和r1分别为r在新标架下的剪应变,也就是说,y为r在新 标架下的分量。从(54)看出,T在新旧标架下的分量r与%;服从关于C的二 次齐次式,因此r是一个张量。这样,我们从几何解释给出了F为张量的一种证明
（4.17）表明，一旦有了应变张量 ，那么互相垂直的两方向夹角的变化即可算 出。类似地，对于不垂直的两任意方向间的夹角变化也不难求出。 综上所述，长度和角度这两个形状要素的变化都可以用应变张量来描述，一个点上 的的应变张量足以刻划该点附近微元的变形，也就是说，应变张量包含了变形的全部信 息。 §5 应变张量 5.1 张量 设 在标架 下的分量为 ,今有一个新的标架 ，基向量 和 的关系为 (5.1) 按(4.7)式，在 方向上的伸长 为 (5.2) 按(4.17)式，在 和 间的角度变化 为 (5.3) 综合(5.2) (5.3)，以及关于 、 、 和 类似的式子，可得 (5.4) 另一方面，按前面两节的几何解释， 、 和 分别为 在新标架下的正 应变， 、 和 分别为 在新标架下的剪应变，也就是说， 为 在新 标架下的分量。从(5.4)看出， 在新旧标架下的分量 与 服从关于 的二 次齐次式，因此 是一个张量。这样，我们从几何解释给出了 为张量的一种证明