第一章矢量与张量 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算,作为后面章节的数学准备。 §1向量代数 1.1向量的定义 从几何观点来看,向量定义为有向线段。在三维欧氏空间E3中,建立直角坐标系 O;x1,x2,x3},沿坐标x方向的单位向量为e=12,3),即其标架为(1e2e3)。 设从坐标原点O至点A的向量为a,它在所述坐标系中的坐标为(a1a2a3),那么a 可写成 (1.1) 设在B中有另一个坐标系;,其标架为(e;e,e},它与(e,e,g 之间的关系为 e =Ce, Ce +c e2=C21+C22+C2 (1.2) e=c31+c32+C33 由于单位向量e=123)之间互相正交,e1=12)之间也互相正交,因此矩阵 11 22 将是正交矩阵,即有C-=Cr,其中上标?表示转置。从(1.2)可反解出 1.4) e3=Cei+C23e2+ C33e3
第一章 矢量与张量 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 §1 向量代数 1.1 向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。 设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成 (1.1) 设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为 （1.2） 由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵 (1.3) 将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4）
向量a在新坐标系(O;x1x2x3)中的分解记为 < t a2e2 t a3e: 将(1.4)代入(1.1),得到 a1=C11+C12a2+C1g3 公式(16)是向量a的新坐标a(=12,3)和旧坐标a3=123)之间的关系它是坐标 变换系数C(j=123)的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质(如 长度、角度)不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说,公式(1.6)表 示了向量在坐标变换下的不变性 这样,我们就从向量的几何定义,得到了向量的代数定义:一个有序数组 (a1a2a3),如果在坐标变换下为关于变换系数C(j=123)由(.6)所示的次 齐次式,则称之为向量 1.2 Einstein约定求和 用求和号,可将(1.1)写成 ; 所谓 Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号,例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和,而不管指标是什么字母,例如(1.8)也可写成 a-4ieiasaxek (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明,相同的英文指标总表示 从1至3求和。 按约定求和规则,(1.2)、(1.4)可写成 13
向量 在新坐标系 中的分解记为 (1.5) 将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6) 公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标 变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如： 长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表 示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次 齐次式，则称之为向量。 1.2 Einstein 约定求和 用求和号，可将(1.1)写成 (1.7) 所谓 Einstein 约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示 从 1 至 3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10)
e;=Ce; (1.11) 将(1.11)代入(1.8),得 (1.12) 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法, =1,2,3 (1.13) 今引入 Kronecker记号 (=12,3) 例如1=1,2=0。应用y,单位向量之间的内积可写成 e';=2; (1.15) 向量a=a11和向量b=b,之间的内积可写成 ab=4; e:be = a, b e2e,=ab,i-ab (1.16) 上式中最后一个等号是因为只有=时,y才不等于零,在这里的作用似乎是 将j换成了,因而也称;为“换标记号” 再引入 Levi-civita记号
(1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得 (1.12) 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， (1.13) 今引入 Kronecker 记号 ， (1.14) 例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成 (1.15) 向量 和向量 之间的内积可写成 (1.16) 上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是 将 换成了 ，因而也称 为“换标记号”。 再引入 Levi-Civita 记号
1,当,k为偶排列 38=-1,当;,k为奇排列 0,当,,中有相同者 其中,,k分别取1,2,3中的某一个值。例如123=21=212=1, 512=21=E213=-1,h12=33=0,…。利用气,向量之间的外积可写为 e2×=与 (1.18) a×b=ap1×b;=apb=;k (1.19) 1.36;与/之间的关系 Kronecker记号与 Levi-civita记号品之间有如下关系 E,,F,ks=Rdjs-disdjK (1.20) 证明1穷举法,先列出k,。所有可能的81种取值情况, 情形 2 然后逐个情形证明,例如,情形1,δ3,故此情形(1.20)成立, 证明2我们有双重外积公式 (1.21) 将23代入(1.21)左右两边,得到 将上述两式代入(1.21)两边,移项,得 (1.22) 由于,的任意性,从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明3利用 Lagrange公式 按证明2类似的步骤,从(1.23)可导出(1.20)
(1.17) 其中 分别取 1，2，3 中的某一个值。例如 ， ， ，…。利用 ，向量之间的外积可写为 (1.18) (1.19) 1.3 与 之间的关系 Kronecker 记号 与 Levi-Civita 记号 之间有如下关系 (1.20) 证明 1 穷举法，先列出 所有可能的 81 种取值情况， 情形 1 2 3 ┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 ┆ ┆ ┆ ┆ 然后逐个情形证明,例如，情形 1， ，故此情形(1.20)成立，…。 证明 2 我们有双重外积公式 (1.21) 将 代入(1.21)左右两边，得到 将上述两式代入(1.21)两边，移项，得 (1.22) 由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明 3 利用 Lagrange 公式 (1.23) 按证明 2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)
证明4从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示,有 (1.24) 其中,分别为向量62在6,中的坐标。按行列式的乘积法则,有 其中第二个等式应用了δ2等关系。将(1.25)最后一个行列式展开,得 注意到n,,以及换标记号S2和2的意义,从(1.26)即得(1.20)。证毕 §2张量代数 2.1张量的定义 设 A=4e; 其中ee;称为并矢基,它们共有9个, e1e11261 e2e e2e2 e2e e3 1 2263 e3e3 在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为 A= A, kCs eke,-Akseke 于是 A 从(2.4)可引出张量的定义:一个二阶有序数组4,=123),在坐标变换下, 关于变换系数C为二次齐次式,则称A,为张量,也记作A。冯y为其指标记号, A为其整体记号 张量A在并矢基ee下的9个分量,有一个矩阵A与之对应,记作
证明 4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有 (1.24) 其中 分别为向量 在 中的坐标。按行列式的乘积法则，有 (1.25) 其中第二个等式应用了 等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得 (1.26) 注意到 ，以及换标记号 和 的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。 §2 张量代数 2.1 张量的定义 设 (2.1) 其中 称为并矢基,它们共有 9 个, (2.2) 在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为 (2.3) 于是 (2.4) 从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组 ，在坐标变换下， 关于变换系数 为二次齐次式，则称 为张量，也记作 。 为其指标记号， 为其整体记号。 张量 在并矢基 下的 9 个分量，有一个矩阵 与之对应，记作
Au An2 An3 A~A=41A243 A31 A32 A33 同一个张量A在另一组并矢基ee下所对应的矩阵为A", A1A12413 A-414242 A32A33 按(2.4)可知,张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换, A=cac 其中C为坐标变换矩阵(1.3) 附注:上述张量的定义可以推广:一个r阶有序数组A-,在坐标变换(1.10)下,若服从C的 r次齐次式 41,C (2.8) 则称之为P阶张量。按照这种定义,标量可认为是零阶张量,向量可认为是一阶张量,(2.1)所述的张 量为二阶张量也可证明 Levi-Civita记号品为三阶张量.(28)式中的下标和jk(k=1,2,”;r) 取值范围也可不必限于从1到3,也可从1到,那么(2.8)式所定义的张量称为n维空间中的P阶张 量。本书所述张量,以后如不作说明均为三维二阶张量 2.2张量的运算 张量A=Ae与张量B=B2的和与差记为A±B, A±B=(A1±B3k 张量A的转置记为A A=Ane,, 不难验证,A±B和A2也是张量。例如, 4)=4=C1C243=C1C4 一个张量A称为对称张量,如果 与对称张量A所对应的矩阵A为对称矩阵 一个张量A称为反对称张量,如果 (2.13) 与反对称张量A所对应的矩阵A为反对称矩阵,我们将反对称矩阵A记成
(2.5) 同一个张量 在另一组并矢基 下所对应的矩阵为 ， (2.6) 按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换， (2.7) 其中 为坐标变换矩阵（1.3）。 附注：上述张量的定义可以推广：一个 阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从 的 次齐次式， (2.8) 则称之为 阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张 量为二阶张量，也可证明 Levi-Civita 记号 为三阶张量。(2.8)式中的下标 和 取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到 ，那么(2.8)式所定义的张量称为 维空间中的 阶张 量。本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。 2 .2 张量的运算 张量 与张量 的和与差记为 ， (2.9) 张量 的转置记为 ， (2.10) 不难验证， 和 也是张量。例如， (2.11) 一个张量 称为对称张量，如果 (2.12) 与对称张量 所对应的矩阵 为对称矩阵。 一个张量 称为反对称张量，如果 (2.13) 与反对称张量 所对应的矩阵 为反对称矩阵，我们将反对称矩阵 记成
A a2a10 从(2.14)可以得出 不难验证,由(2.16)所定义的m=吗e为向量,它称为相应于反对称张量A的轴向 由于 Sy=e'"=CC3° 所以 7=; e,=e,, (2.17) 为一张量,称之为单位张量 张量A的迹定义为 J(4)=A1 2.3张量与向量之间的运算 张量A=Ae1与向量a=a1有左右两种内积, Aa=411ae1=414e1(e)=4y1 19) aA=a, e, ARe er-a, A,(e, e,Ex=a, 4&, (2.20) 从(2.19)(2.19),可得左右两种内积之间有关系式 A=A (2.21) 如果A为反对称张量,由(2.19)(2.15),得 Aa=-af1=a×a (2.22) 张量A=4e;与向量a=a有左右两种外积
(2.14) 从(2.14)可以得出， (2.15) (2.16) 不难验证，由(2.16)所定义的 为向量，它称为相应于反对称张量 的轴向 量。 由于 所以 (2.17) 为一张量，称之为单位张量。 张量 的迹定义为 (2.18) 2.3 张量与向量之间的运算 张量 与向量 有左右两种内积， (2.19) (2.20) 从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式 (2.21) 如果 为反对称张量，由(2.19) (2.15),得 (2.22) 张量 与向量 有左右两种外积
Axa=4,e;×a==41ak5;只e (2.23) a×A=a1eA;e=a,A5n:e 24) 张量A与两个向量a和b之间有四种运算, a'Ab-a e, Age, x b, e, -a, A,rb,(e, e, ex'e, )=a, 4R E a:A×b=a3kb2sxp xA b-a ARbkEjirey axAxb-a A, Ei,, Eksger eg 2.4张量与张量之间的运算 两个张量A与B之间的内积和外积如下 AB=A,ee,, Bk, e2e,=,BRs ele, eke,=A, B, ee, 两个张量A与B之间有四种双重运算 AB-A, ee: Bg, e e,-4, B,(e, e, e, ' ek )=4, B, axB=Aee,xBR yB3(xe)()-4,B12 AB=4,日、Be,-A,B、e)e1xe)-41Be AB=4,日B1日=鸟,B2、x,)日1x日)鸟,B,yk 对于双重运算,先将外层的两个基e:和e按下面的符号进行运算,再将内层的两个基 e,和ek按上面的符号进行运算。 从双重运算可得两个有用的公式 A=4gea4=4,(a)e,xe)-4 (42-A3k1+(43-A2k2+(41-A2)e2 (2.25)
(2.23) (2.24) 张量 与两个向量 和 之间有四种运算， 2 .4 张量与张量之间的运算 两个张量 与 之间的内积和外积如下 两个张量 与 之间有四种双重运算 对于双重运算，先将外层的两个基 和 按下面的符号进行运算，再将内层的两个基 和 按上面的符号进行运算。 从双重运算可得两个有用的公式， (2.25)
了A=e41e=A1(exe)xe)-4s,鸟 36,-a,6,)A,en4,,-A21=(4)-A 此外,尚有关系式 AI=-AI (2.27) A=0 利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理 定理2.1A=0对称A=0 A=0 证明从(2.25)立即得到所需的结论。 定理2.2A=0A=0 A=0 证明首先,如果A=0,那么A=0,从(2.26)得到A=0。其次,如果A=0 (2.26)给出 A=0 对(2.29)取迹,得 A=0 将(2.30)代回(2.29),即得A=0。证毕 §3向量分析 3.1 Hamilton算子 (3.1) 由于 ax: ax, ax;ax
(2.26) 此外，尚有关系式 (2.27) (2.28) 利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理 定理 2.1 对称 证明 从(2.25)立即得到所需的结论。 定理 2.2 证明 首先，如果 ，那么 ，从(2.26)得到 。其次，如果 ， (2.26)给出 (2.29) 对(2.29)取迹，得 (2.30) 将(2.30)代回(2.29)，即得 。证毕。 §3 向量分析 3.1 Hamilton 算子 记 (3.1) 由于 (3.2)
可知算子V服从向量的定义。 设q(r)为三维区域中的标量场,关于g()的左右梯度为 Vq=ae卯=g2e;,@=q2= 其中-,下标中的逗号表示对其后坐标的微商,P再。从上述两式可以看 出标量的左右梯度相等 设a()为三维区域2中的向量场,关于a(r)的左右散度为 a=0 ei aye aV=ae3° 从上面两式可以看出向量的左右散度相等 关于向量场a(r)的左右旋度为 V×a=0 6×a,;=ay1k axV=a1e1×0,° 对于a的左右旋度,有关系式VXa=-a×V。 标量场q的 Laplace算子V2为, vg=VVq=13,°q=a,;=ga 向量场a的 Gauss公式为 卩·a (3.3) 其中a2为区域92的边界曲面,ds=ndl,n为2上的单位外法向量 向量场a的 Stokes公式为 x a ds= 这里S为任意曲面,S为S的边界曲线,在边界∂S上积分的环向与S的外法向n 依右手定向规则:n指向观察者,从观察者来看,曲线沿反时针为正 无旋场与标量势 对任意标量场q有下述关系
可知算子 服从向量的定义。 设 为三维区域 中的标量场，关于 的左右梯度为 ， 其中 ，下标中的逗号表示对其后坐标的微商， 。从上述两式可以看 出标量的左右梯度相等。 设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为 ， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。 关于向量场 的左右旋度为 ， 对于 的左右旋度，有关系式 。 标量场 的 Laplace 算子 为， 向量场 的 Gauss 公式为 (3.3) 其中 为区域 的边界曲面， ， 为 上的单位外法向量。 向量场 的 Stokes 公式为 (3.4) 这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。 3.2 无旋场与标量势 对任意标量场 有下述关系