2弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容: 21弹性力学平面问题的基本方程 22单元位移函数 2.3单元载荷移置 24单元刚度矩阵 25单元刚度矩阵的性质与物理意义 2.6整体分析 27约束条件的处理 2.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 29方程组解法 21弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门 学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程,把复杂形状弹性体的受力 和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡 方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下 1)完全弹性,2)连续,3)均匀,4)各向同性,5)小变形 211基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变,各自的定义如下 1)体力 体力是分布在物体体积内的力,例如重力和惯性力 2)面力 面力是分布在物体表面上的力,例如接触压力、流体压力 3)应力 物体受到约束和外力作用,其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 p 图21应力定义 如图21假想用通过物体内任意一点p的一个截面mn将物理分为I、Ⅱ两
2 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容： 2.1 弹性力学平面问题的基本方程 2.2 单元位移函数 2.3 单元载荷移置 2.4 单元刚度矩阵 2.5 单元刚度矩阵的性质与物理意义 2.6 整体分析 2.7 约束条件的处理 2.8 整体刚度矩阵的特点与存储方法 2.9 方程组解法 2.1 弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门 学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力 和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡 方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下： 1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。 2.1.1 基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 1）体力 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 2）面力 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 3）应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 图 2.1 应力定义 如图 2.1 假想用通过物体内任意一点 p 的一个截面 mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两
部分。将部分Ⅱ撇开,根据力的平衡原则,部分Ⅱ将在截面m上作用一定的内 力。在m截面上取包含p点的微小面积△A,作用于△A面积上的内力为△Q。 令AA无限减小而趋于p点时,ΔO的极限S就是物体在p点的应力。 S △A→0△A 应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力,用0表示;在作用截面上的 切向分量称为剪应力,用τ表示 显然,如果通过p点的截面方向不同,p点在不同截面上的应力是不同的。 为分析p点的应力状态,即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向,在p 点取出的一个平行六面体,六面体的各楞边平行于坐标轴。 图22应力分量 将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力,分别与三个坐标轴平 行。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态 剪应力互等:z=r,r 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量σ、σn、σ、τ、 r、τ来表示。 应力分量的下标约定如下: 第一个下标表示应力的作用面的法线方向,第二个下标表示应力的作用方 向。例如τx,第一个下标x表示剪应力作用在垂直于X轴的面上,第二个下标 y表示剪应力指向Y轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直,用一个下标。例如,σ2表示的正应力
部分。将部分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面 mn 上作用一定的内 力。在 mn 截面上取包含 p 点的微小面积 A ，作用于 A 面积上的内力为 Q 。 令 A 无限减小而趋于 p 点时， Q 的极限 S 就是物体在 p 点的应力。 S A Q A = →0 lim 应力 S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的 切向分量称为剪应力，用τ表示。 显然，如果通过 p 点的截面方向不同，p 点在不同截面上的应力是不同的。 为分析 p 点的应力状态，即通过 p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在 p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。 图 2.2 应力分量 将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平 行。用六面体表面的应力分量来表示 p 点的应力状态。 剪应力互等： xy yx yz zy zx xz = , = , = 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 来表示。 应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方 向。例如 xy ，第一个下标 x 表示剪应力作用在垂直于 X 轴的面上，第二个下标 y 表示剪应力指向 Y 轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。例如， x 表示的正应力
作用于垂直于X轴的面上,指向X轴方向。 应力分量的方向定义如下: 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向,这个截面上的应力分量以沿坐 标轴正方向为正 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向,这个截面上的应力分量以沿坐 标轴负方向为正。 如图22所示,立方体顶面的外法线方向指向Z轴的正方向,在顶面上的三 个应力分量也都指向坐标轴的正方向。立方体底面的外法线方向指向Z轴的负 方向,在底面上的三个应力分量也都指向坐标轴的负方向。 4)位移 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移,用位移在x,y,z坐标轴上 的投影u、V、w表示。 5)应变 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩,称为正应变,用ε表示 两个垂直线段之间的直角的改变,用弧度表示,称为剪应变,用γ表示 与应力定义类似,物体内任意一点的变形,可以用、E、E2、1n、V=、yx 六个应变分量表示。 212平面应力和平面应变问题 弹性体在满足一定条件时,其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形 和应力的分布规律来代替,这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题 和平面应变问题 1)平面应力问题 设有很薄的等厚薄板,只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面 力,体力也平行于板面且不沿厚度变化。 图2.3平面应力问题示意 设板的厚度为t,在板面上: (0)=0,(x2)=:=0,(z)
作用于垂直于 X 轴的面上，指向 X 轴方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐 标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐 标轴负方向为正。 如图 2.2 所示，立方体顶面的外法线方向指向 Z 轴的正方向，在顶面上的三 个应力分量也都指向坐标轴的正方向。立方体底面的外法线方向指向 Z 轴的负 方向，在底面上的三个应力分量也都指向坐标轴的负方向。 4）位移 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在 x，y，z 坐标轴上 的投影 u、v、w 表示。 5）应变 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用 ε 表示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用 γ 表示。 与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用 x y z xy yz zx 、 、 、 、 、 六个应变分量表示。 2.1.2 平面应力和平面应变问题 弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形 和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题 和平面应变问题。 1） 平面应力问题 设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面 力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 图 2.3 平面应力问题示意 设板的厚度为 t，在板面上： ( ) 0 2 = = t z z ， ( ) 0 2 = = t zx z ， ( ) 0 2 = = t z zy
由于平板很薄,外力不沿厚度变化,因此在整块板上有, 剩下平行于XY平面的三个应力分量σ2、σ,、x未知 2)平面应变问题 设有很长的柱形体,支承情况不沿长度变化,在柱面上受到平行于横截面而 且不沿长度变化的面力,体力也如此分布。 图24平面应变问题示意 以柱体的任一横截面为XY平面,任一纵线为Z轴。假定该柱体为无限长, 则任一截面都可以看作对称面。由对称性, 由于没有Z方向的位移,Z方向的应变E.=0 未知量为平行于XY平面的三个应力分量σ、σy,物体在Z方向处于 自平衡状态。 213平衡方程 弹性力学中,在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了 力的平衡关系,建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题,在物体 内的任意一点有, m otx+X (2-1) 0G,,O飞+Y=0 214几何方程 由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题,在物体内的任 意一点有
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有， z = 0， zx = 0， zy = 0 剩下平行于 XY 平面的三个应力分量 x y xy 、 、 未知。 2）平面应变问题 设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而 且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。 图 2.4 平面应变问题示意 以柱体的任一横截面为 XY 平面，任一纵线为 Z 轴。假定该柱体为无限长， 则任一截面都可以看作对称面。由对称性， zx = 0， zy = 0， w = 0 由于没有 Z 方向的位移，Z 方向的应变 z = 0 。 未知量为平行于 XY 平面的三个应力分量 x y xy 、 、 ，物体在 Z 方向处于 自平衡状态。 2.1.3 平衡方程 弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了 力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题，在物体 内的任意一点有， 0 0 + = + + = + Y y x X x y y xy x yx （2-1） 2.1.4 几何方程 由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题，在物体内的任 意一点有
(2-2) 刚体位移 由位移u=0,v=0可以得到应变分量为零,反过来,应变分量为零则位移分 量不为零。应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内 的移动和转动。 ay ax 可以得到刚体位移为以下形式, =lo -oy 由=0,=0可得 f1(y),v=f2(x) 将f,f2代 0可得 ay ax di()d2(x) d x 积分后得到, f1(y)=l0 f2(x) 得到位移分量, 当4≠0,v0=0,0=0时,物体内任意一点都沿ⅹ方向移动相同的距离,可 见u0代表物体在x方向上的刚体平移
x v y u y v x u xy y x + = = = （2-2） 刚体位移 由位移 u=0，v=0 可以得到应变分量为零，反过来，应变分量为零则位移分 量不为零。应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内 的移动和转动。 由 0 0 0 = + = = x v y u y v x u 可以得到刚体位移为以下形式， v v x u u y = + = − 0 0 由 0, = 0 = y v x u 可得， ( ), ( ) 1 2 u = f y v = f x 将 1 2 f , f 代入 = 0 + x v y u 可得， − = = dx df x dy df ( y) ( ) 1 2 积分后得到， f x v x f y u y = + = − 2 0 1 0 ( ) ( ) 得到位移分量， v v x u u y = + = − 0 0 当 u0 0,v0 = 0, = 0 时，物体内任意一点都沿 x 方向移动相同的距离，可 见 0 u 代表物体在 x 方向上的刚体平移
当o=0,v0≠0,O=0时,物体内任意一点都沿y方向移动相同的距离,可 见v0代表物体在y方向上的刚体平移。 日 当4=0,0=0.O≠0时,可以假定O>0,如图所示,此时的物体内任意 点P(x,y)的位移分量为u=-y,v=an 合成位移为,√x2+y2=0、x2+y2=O 其中r为P点到z轴的距离。 设合成位移与y轴的夹角为a,径向线PO与x轴的夹角为 oy) =1g6 ox x 合成位移的方向与径向线PO垂直,大小与PO的距离成正比,可见代表物体 绕z轴的刚体转动。 21.5物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到 1)平面应力问题的物理方程 (2-3) 2(1+) E 平面应力问题有, 2)平面应变问题的物理方程 1--1a
当 u0 = 0,v0 0, = 0 时，物体内任意一点都沿 y 方向移动相同的距离，可 见 0 v 代表物体在 y 方向上的刚体平移。 当 u0 = 0,v0 = 0, 0 时，可以假定 0 ，如图所示，此时的物体内任意一 点 P（x，y）的位移分量为 u = −y, v =x 合成位移为， u + v = x + y = r 2 2 2 2 ， 其中 r 为 P 点到 z 轴的距离。 设合成位移与 y 轴的夹角为 ，径向线 PO 与 x 轴的夹角为 ， tg x y x y tg = − = = 合成位移的方向与径向线 PO 垂直，大小与 PO 的距离成正比，可见 代表物体 绕 z 轴的刚体转动。 2.1.5 物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。 1）平面应力问题的物理方程 ( ) x x y E = − 1 ( ) y y x E = − 1 （2-3） xy xy E 2(1+ ) = 平面应力问题有， z = 0 ( ) z x y E = − + 2）平面应变问题的物理方程 − − − x = x y E 1 1 2
(2-4) E 2(1+p) E 平面应变问题有, 0 在平面应力问题的物理方程中,将E替换为 1-2替换为P,可以 得到平面应变问题的物理方程;在平面应变问题的物理方程中,将E替换为 a+2、换为,可以得到面应力向题的物理方程 图25弹性力学平面问题示意 求解弹性力学平面问题,可以归结为在任意形状的平面区域Ω内已知控制方 程、在位移边界S上约束已知、在应力边界S。上受力条件已知的边值问题。然 后以应力分量为基本未知量求解,或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解,求出位移后,由几何方程可以计算出应变分量, 得到物体的变形情况;再由物理方程计算出应力分量,得到物体的内力分布,就 完成了对弹性力学平面问题的分析。 22单元位移函数 根据有限元法的基本思路,将弹性体离散成有限个单元体的组合,以结点的 位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块 近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示,这个函数称为单元
− − − y = y x E 1 1 2 （2-4） xy xy E 2(1+ ) = 平面应变问题有， z = 0 ( ) z = x + y 在平面应力问题的物理方程中，将 E 替换为 2 1− E 、 替换为 1− ，可以 得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将 E 替换为 2 (1 ) (1 2 ) + E + 、 替换为 1+ ，可以得到平面应力问题的物理方程。 图 2.5 弹性力学平面问题示意 求解弹性力学平面问题，可以归结为在任意形状的平面区域 内已知控制方 程、在位移边界 u S 上约束已知、在应力边界 S 上受力条件已知的边值问题。然 后以应力分量为基本未知量求解，或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解，求出位移后，由几何方程可以计算出应变分量， 得到物体的变形情况；再由物理方程计算出应力分量，得到物体的内力分布，就 完成了对弹性力学平面问题的分析。 2.2 单元位移函数 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的 位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块 近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元
位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题,单元位移函数可以用多项式表示, u=a1+a2xta3y+a4r +asxyta6y+ v=b,+b2x+b3y+b4x+boxy+by4+ (2-5) 多项式中包含的项数越多,就越接近实际的位移分布,越精确。具体取多项, 由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 M (x1,y3) 图26三节点三角形单元 如图26所示的3结点三角形单元,结点I、J、M的坐标分别为(x,y)、 (x,y)、(xm,ym),结点位移分别为u;、v、m、v、um、Vm六个节点位移 只能确定六个多项式的系数,所以3结点三角形单元的位移函数如下, u= a, t axt a (2-6) v=a4 tasxta5y 将3个结点上的坐标和位移分量代入公式(2-6)就可以将六个待定系数用 结点坐标和位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入(2-6)中的第一式, u=a, +a,x +,, a, tax ta 写成矩阵形式, y xi yi 令 y,=团r y
位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， ... 2 5 6 2 u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a x y + a y + ... 2 5 6 2 v = b1 + b2 x + b3 y + b4 x + b x y + b y + （2-5） 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项， 由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 图 2.6 三节点三角形单元 如图 2.6 所示的 3 结点三角形单元，结点 I、J、M 的坐标分别为 ( , ) i i x y 、 ( , ) j j x y 、( , ) m m x y ，结点位移分别为 i u 、 i v 、 j u 、 j v 、 m u 、vm 。六个节点位移 只能确定六个多项式的系数，所以 3 结点三角形单元的位移函数如下， = + + = + + a a x a y u a a x a y 4 5 6 1 2 3 v （2-6） 将 3 个结点上的坐标和位移分量代入公式（2-6）就可以将六个待定系数用 结点坐标和位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入（2-6）中的第一式， m m m j j j i i i u a a x a y u a a x a y u a a x a y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 写成矩阵形式， = 3 2 1 1 1 1 a a a x y x y x y u u u m m j j i i m j i （2-7） 令 T 1 1 1 = m m j j i i x y x y x y
则有 =2A,A为三角形单元的面积 的伴随矩阵为 ym xmy yim =x-xnym一男x一x (2-9) MiVi-xivi yi-y a. a. a 令团=a,bc1=bb,b (2-10) a b i C 则 b, b, bm ru (2-11) 同样,将垂直位移分量与结点坐标代入公式(2-6)中的第二式,可得, b, b, b (2-12) 将(2-11)、(2-12)代回(2-6)整理后可得, (a+bx+cy)u+(a,+b, x+c, y)u +(a+bm x+cm y)um] (a,+bx+cyv+(a,+ x+c yv +(am+b,x+c] 令N2=( )(下标i,j,m轮换) N:0N:0N0 可得 (2-13) 0N.0 0 N
则有 = − m j i u u u a a a 1 3 2 1 T （2-8） T [T] [T] * 1 = − T = 2A ，A 为三角形单元的面积。 [T]的伴随矩阵为， T * T − − − − − − − − − = i j j i i j j i m i i m m i i m j m m j j m m j x y x y y y x x x y x y y y x x x y x y y y x x （2-9） 令 = = i j m i j m i j m m m m j j j i i i c c c b b b a a a a b c a b c a b c T * [T] （2-10） 则 = m j i i j m i j m i j m u u u c c c b b b a a a A a a a 2 1 3 2 1 （2-11） 同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（2-6）中的第二式，可得， = m j i i j m i j m i j m v v v c c c b b b a a a A a a a 2 1 6 5 4 （2-12） 将（2-11）、（2-12）代回（2-6）整理后可得， [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m um a b x c y u a b x c y u a b x c y A u = + + + + + + + + [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m m a b x c y v a b x c y v a b x c y v A v = + + + + + + + + 令 ( ) 2 1 a b x c y A Ni = i + i + i （下标 i，j，m 轮换） 可得 = m m j j i i i j m i j m v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 （2-13）
单元内的位移记为 单元的结点位移记为6}={8}= 单元内的位移函数可以简写成, U/}=[N]G (2-14) 把N]称为形态矩阵,N称为形态函数 选择单元位移函数应满足以下条件: 1)反映单元的刚体位移与常量应变,称为完备性条件。 2)相邻单元在公共边界上的位移连续,单元之间不能重叠,也不能脱离。即位 移函数在单元之间连续,称为协调性条件。 单元位移函数满足以上两个条件,就满足收敛性要求 由(26)可以将单元位移表示成以下的形式, u= a,+ a,x v=a,+ 反映了刚体位移和常应变 单元位移函数是线性插值函数,因此单元边界上各点的位移可以由两个结点 的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点,所以边界上的位移连续 形态函数N1具有以下性质: 1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2)在单元中的任意一点上,三个形态函数之和等于1 用来计算三角形面积时,要注意单元结点的排列顺序,当三个结点i,j m取逆时针顺序时,A=>0;当三个结点i,j,m取顺时针顺序时, A 三角形单元的形态函数N1具有明确的几何含义
单元内的位移记为 = v u f 单元的结点位移记为 = = m m j j i i m j i e v u v u v u 单元内的位移函数可以简写成， e f = N （2-14） 把[N]称为形态矩阵，Ni 称为形态函数。 选择单元位移函数应满足以下条件： 1） 反映单元的刚体位移与常量应变，称为完备性条件。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也不能脱离。即位 移函数在单元之间连续，称为协调性条件。 单元位移函数满足以上两个条件，就满足收敛性要求。 由（2-6）可以将单元位移表示成以下的形式， y a a y a a u a a x 2 2 5 3 5 3 1 2 + + − = + − x a a x a a v a a y 2 2 5 3 5 3 4 6 + + − = + + 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点 的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。 形态函数 Ni 具有以下性质： 1） 在单元结点上形态函数的值为 1 或为 0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于 1。 用 T 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点 i，j， m 取逆时针顺序时， T 0 2 1 A = ；当三个结点 i，j，m 取顺时针顺序时， T 0 2 1 A = 。 三角形单元的形态函数 Ni 具有明确的几何含义