《有限单元法初步》PPT教学课件：§1 杆系结构的有限单元法第一章 §1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元（自由式单元）的单元分析

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) FFEF FI EA g(x) 单元杆F单元杆 端力 端位移 v(x) 2|04 、确定形函数 1、广义坐标法 设单元内任一点位移为 (0)=1(1)=4 (x)=a1+a2x v()=6 v(x)=B,+B,x+ Bx+ Bix (= 任一截面转角为 a 0(x) d+B2+2月3x+3x2 -1/l1//b

                    = e e e e e e e 6 5 4 3 2 1        §1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 3 4 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) v x x x x u x x       = + + + = + 设单元内任一点位移为 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6                     = e e e e e e e F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 单元杆 端力 单元杆 端位移 一、确定形函数 x u (x) v(x)  1、广义坐标法 3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l 2 2 2 3 3 4 ( ) x x dx dv  x = = + +  +  任一截面转角为             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) 0 063F1 月3-3/12-2/13/12-1 EA 月L2/1/2-2/711 g(x) (x)=N11+N22 v(x)=N22+N33+N8+N6602 v(x) 2|04 、确定形函数 1、广义坐标法 设单元内任一点位移为 (0)=1(1)=4 (x)=a1+a2x v()=6 v(x)=B,+B,x+ Bx+ Bix e(7)=O6 任一截面转角为 a 0(x) +B2+2B3x+3B4x2 -1/l1//b

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                           − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)  3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l 3 4 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) v x x x x u x x       = + + + = + 设单元内任一点位移为 一、确定形函数 1、广义坐标法 任一截面转角为 2 2 2 3 3 4 ( ) x x dx dv  x = = + +  + 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) 0 063F1 月3-3/12-2/3/12-11 EA 月L2/P12-2/P1/P g(x) (x)=N11+N22 (x)=N22+N3O3+N55+N v(x) 2|04 N2=1-352+25 l5-2l2+l23 (0)=1() v()=6 (= 22+l a 00N400 0N2N30N5N6

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                           − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + 2 3 6 2 3 5 4 2 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1            N l l N N N l l l N N = − + = − = = − + = − + = −                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)  3 6 2 5 1 4 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( )         = = = = = = l v v l u u l             − =       2 1 2 1 1/ 1/ 1 0     l l

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) 0 063F1 月3-3/12-2/13/12-1 EA 月L2/P11P 2/31po6 g(x) (x)=N11+N22 v(x)=N2S2+N3S3+N5o5+M66 v(x) 2|04 N2=1-352+25 N3=l5-2l22+l53 d=][N INJE 22+l 00N400 h={ 0N2N30N5N6

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                            − − − − =               6 5 3 2 3 2 3 3 2 2 4 3 2 1 2 / 1/ 2 / 1/ 3/ 2 / 3/ 1/ 0 1 0 0 1 0 0 0         l l l l l l l l 2 2 3 3 5 5 6 6 1 1 2 2 ( ) ( )       v x N N N N u x N N = + + + = + 2 3 6 2 3 5 4 2 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1            N l l N N N l l l N N = − + = − = = − + = − + = −                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d                  = 2 1 1 2   d N N               =           = 6 5 4 2 3 2 1 1            e = N 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) 0N,N2 FI EA N,为发生=1=0(=1,…6,j≠ g(x) 杆端位移时,杆中位移。如 N2为发生2=1,6=83=4=5=6=0 v(x) 杆端位移时,杆中竖向位移。 2|04 N2(x) N3(x)?3=1N d=][N INJE N(0)=?N(1)=? 00N400 h={ 0N2N30N5N6

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析                   =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                   = 2 1 1 2   d N N               =           = 6 5 4 2 3 2 1 1            e = N            =       = 5 6 4 2 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 N N N N N N N N Ni 为发生 1, 0( j 1, 6; j i)  i =  j = =   杆端位移时,杆中位移。如： N2 为发生  2 =1, 1 =  3 =  4 =  5 =  6 = 0 杆端位移时,杆中竖向位移。 1  2 = ( ) 2 N x x ( )? 3 N x x 1  3 = ( ) 3 N x (0) = ? (1) = ? Ni Ni

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) 0N,N2 FI EA N,为发生=1=0(=1,…6,j≠ g(x) 杆端位移时,杆中位移。如 N2为发生2=1,6=83=4=5=6=0 v(x) 杆端位移时,杆中竖向位移。 2|04 N2(x) N3(x)?3=1N N1()=1M(1)=0N(0)=0N4(1)=1 N2(0)=1N2()=0N5(0)=0N5(1)=1 N3(0)=0N3()=0N6(0)=0N6(1)=0 N(0)=?N(1)=? 00N400 0N2N30N5N6

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)                    =       = 6 1 2 3 5 6 1 4 0 0 0 0 0 0    N N N N N N v u d           =       = 5 6 4 2 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 N N N N N N N N Ni 为发生 1, 0( j 1, 6; j i)  i =  j = =   杆端位移时,杆中位移。如： N2 为发生  2 =1, 1 =  3 =  4 =  5 =  6 = 0 杆端位移时,杆中竖向位移。 1  2 = ( ) 2 N x x ( )? 3 N x x 1  3 = ( ) 3 N x (0) = ? (1) = ? Ni Ni (0) 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 3 3 6 6 2 2 5 5 1 1 4 4 = = = = = = = = = = = = N N N N N N N N N N N N

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 、确定形函数 f(1)+(1-1)f(1)=0 2、试凑法 dx 利用形函数的性质建立形函数矩阵f()=(1-5g(5 (1)确定N1(2) N2=(1-5)2g(5) 由5=1,N1=0可设 (1-5)g()+(1-5)g() N1=(1-)f() 由5=0,M1=1可知 =-2(-0g(0)+(1-0)g(0),7=0 f()=1 2 所以M=1-5 g(0)+g(0)·=0 (2)确定N2() N2(O)=8(0)=1 由5=1,N2=0可设 g(0)=2g(5)=1+25 N2=(1-5)f() N2(2)=(1-5)2(1+2)=1-32+223 0 dn, 0 dx N1(0)=1N()=0N4(0)=0N4() N2(0)=1N2(1)=0N5(0)=0N5(1)=1 2=-f()+(1-5 x 7N3(0)=0N3()=0N6(0)=0N6()=0

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 2、试凑法 利用形函数的性质建立形函数矩阵 (1)确定 ( ) N1  由  =1,N1 = 0 可设 (1 ) ( ) N1 = − f  由  = 0,N1 =1 可知 f ( ) =1 所以 N1 =1− (2)确定 ( ) N2  由  =1,N2 = 0 可设 (1 ) ( ) N2 = − f  0; 0 0 2 1 2  = =  = = dx dN dx dN l f f dx l dN 1 ( ) (1 ) 1 2 = −  + −  0 1 (1) (1 1) (1) 1 1 2 = = − + −  = l f f dx l dN  f ( ) = (1− )g( ) (1 ) ( ) 2 N2 = − g  l g g dx l dN 1 (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 2 2 = − −  + −    (0) 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 (0) 1 (1) 0 (0) 0 (1) 1 3 3 6 6 2 2 5 5 1 1 4 4 = = = = = = = = = = = = N N N N N N N N N N N N 0 1 (1 0) (0) (1 0) (0) 2 2 0 2 = = − − + −   = l g g dx l dN  0 1 (0) (0) 2 − +   = l g g l (0) (0) 1 N2 = g = g (0) = 2 g( ) =1+ 2 2 2 3 2 N () = (1−) (1+ 2) =1−3 + 2

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 、确定形函数{a}=[N]s} AINI NbI 二、确定应变矩阵(建立几何方程) du HANh ANb dx IBh Bbl BI=ANh 0 x d 0n 0 dx HAINIS=[BlS 0 0 6/1+125/12-4/l+62/l 微分算子矩阵 1/l 0 06/12-122/l2-2/l+62/l B

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 二、确定应变矩阵(建立几何方程)               =       = 2 2 dx d v dx du x x                      = v u dx d dx d 2 2 0 0          e N N dx d dx d                   = 2 1 1 2 2 2 0 0       e = A N     e = B                = 2 2 0 0 dx d dx d A 微分算子矩阵 B= AN = AN1 N2  = AN1 AN2  = B1 B2       B 1 = A N 1                   = 2 3 1 2 2 0 0 0 0 0 N N N dx d dx d       − + − + − = l l l l l 0 6 / 12 / 4 / 6 / 1/ 0 0 2 2           − − + = l l l l l B 0 6 / 12 / 2 / 6 / 1/ 0 0 2 2 2        e d = N 

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 、确定形函数{a}=[N]s} q1(x) 4 二、确定应变矩阵(建立几何方程)F1 =}=[B] EA 确定弹性矩阵(建立物理方程) g(x) ySδ N= EA8 X(物理方程 M= elK v(x) 2|04 N(x)E4016 (x)0 EI K DIBlE oW=0{)F+((x) Ea o D O El 弹性矩阵 y2=/(x) 四、确定单刚和单元等效结点荷载=68+5[Nyx) (建立平衡方程 55(F+iNFa(x)ax)

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 一、确定形函数 二、确定应变矩阵(建立几何方程)             =       x x EI EA M x N x   0 0 ( ) ( )      e  = B          = EI EA D 0 0 弹性矩阵 三、确定弹性矩阵(建立物理方程) x x M EI N EA   = = 物理方程      e d = N      e = D B  四、确定单刚和单元等效结点荷载 (建立平衡方程) E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)   1  2  3          = + l e T Te We F d q x dx 0     ( )         = ( ) ( ) ( ) q x q x q x y x            = + l e T T Te We F N q x dx 0      ( )   (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx

§15基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析 q1(x) =}=[By M() 4 EA SAx+ MSxdx g(x) da ySδ N blos,JM」 v(x) 2|04 C。5F[BDI15hx2 δ5}[[DIB5} =6{}+o以x 55 S[B]IDIBKx1) )=/() }(+N(x)) dW=6}行+。[Nx) Dk}=)+如)k=8+x)

§1.5 基于变形体虚位移原理的弯曲单元(自由式单元)的单元分析     e D B M x N x =        ( ) ( )      e  = B  E,A, I , l x e F1 F2 2 1 F5 F4 F3 F6 q (x) x q (x) y x y 1 2 e  1 e  2 e  3 e e  5  4 e  6 x u (x) v(x)   1  2  3          = + l e e T We F d q x dx 0     ( )         = ( ) ( ) ( ) q x q x q x y x            = + l e T T Te We F N q x dx 0      ( )   (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx   = + l l Wi N dx M dx 0 0      dx M l N T y x              = 0       B DB  dx l T e Te  = 0              = l T e Te B D B dx 0    Wi = We           = l T e Te B D B dx 0      (     ( ) ) 0 = + l e T Te   F N q x dx        + l e T F N q x dx 0        = ( )  l T e B D B dx 0 