第三章 平面任意力系 别平例4 面任意力系:各力的作用线在同一平面内,既不汇交为一点又不相互平行的力系 B N 中心内容:力系简化+平衡方程 平面任意力系实例 §3-1力线平移定理 B 力F
第三章 平面任意力系 引 言 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。 [例] 中心内容：力系简化+平衡方程 平面任意力系实例 §3-1 力线平移定理 力 F B d A F
FF B F F=F=F B A 力F+力偶(F,F") 力的平移定理:可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B,但必须同时附加一个 力偶。这个力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 说明 ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系:力 力+力偶 (例断丝锥) ②力平移的条件是附加一个力偶m,且m与d有关,m=Fld ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 §3-2平面任意力系向一点简化 2 x 为任 诜点
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 A 的力 平行移到任一点 B，但必须同时附加一个 力偶。这个力偶的矩等于原来的力 对新作用点 B 的矩。 说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 （例断丝锥） ②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m 与 d 有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 §3-2 平面任意力系向一点简化 B d A F F ’ F” F=F’=F ” 力F+力偶（F，F） B d A F’ m M F d M (F) = o = F F O 为任 选点 O F1 F’ 3 F’ 2 F3 F2 F’ 1 x y m1 m2 m3
R 向一点简化 一般力系(任意力系) 汇交力系+力偶系 未知力系) (已知力系) 汇交力系 力,R(主矢),(作用在简化中心) 力偶系 力偶,MO(主矩),(作用在该平面上) 主=F+F+F+…=∑F 主矩Mo=m1+m2+m2 =m(F)+m(F)+…=∑m(F) 主矢R(移动效应) 大小:R=√R2+R,=∑x)+∑ a= tan tan ∑X 简化中心(与简化中心位置无关川因主矢等于各力的矢量和 主矩MO 大小:M=∑m(F 方向 方向规定 简化中心:(与简化中心有关) (因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和 固定端(插入端)约束 在工程中常见的 雨搭
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上) 主矢 （移动效应） 大小： 简化中心 (与简化中心位置无关)[因主矢等于各力的矢量和] 主矩 MO 大小： 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和 固定端（插入端）约束 在工程中常见的 − − = = X Y R R x 1 y 1 tan tan O x y R’ Mo R = F1 + F2 + F3 + =Fi 主矢 ' = + + = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 O O O i O m F m F m F M m m m 主矩 R 2 2 2 2 R' = R' +R' = (X ) + (Y) x y ( ) MO =mO Fi 雨搭
N 说明 ①认为F这群力在同一平面内 ②将F1向A点简化得一力和一力偶 ③R4方向不定可用正交分力HAX4表示; ④ YA, XA, MA为固定端约束反力; ⑥YXA限制物体平动MA为限制转动。 §3-3平面任意力系的简化结果·合力矩定理 简化结果:主矢R’主矩MO,下面分别讨论 0,Mo=0,则力系平衡,下节专门讨论 R=0,MO≠0即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作 用,因为力偶可以在刚体平面内任意移动,故这时,主矩与简化中心O无关
说明 ①认为 Fi 这群力在同一平面内; ② 将 Fi 向 A 点简化得一力和一力偶; ③RA 方向不定可用正交分力 YA , XA 表示; ④ YA , XA , MA 为固定端约束反力; ⑤ YA , XA 限制物体平动,MA 为限制转动。 §3-3 平面任意力系的简化结果 • 合力矩定理 简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚体等效于只有一个力偶的作 用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O 无关。 A Fi A MA RA A XA MA YA R R R
③R≠0,Mo=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时, 简化结果就是合力(这个力系的合力),R=R′。(此时 与简化中心有关,换个简化中心,主矩不为零) ④R'≠0,MO≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力R。 M R OO R R 合力R的大小等于原力系的主矢 合力R的作用线位置dMa 结论 平面任意力系的简化结果:①合力偶MO;②合力R;③平衡 合力矩定理:由于主矩M0=∑m(F) 而合力对O点的矩 ml(R)=Rd=M0(主矩) M(R)=∑m(F) 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的,故此式有普遍意义 即:平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 §3-4平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由于R=0为力平衡 MO=0为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为 力系的主矢R和主矩MO都等于零,即 CX)+②y)2=0M0=∑m(F)=0
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） ④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 。 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置 结论： 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 MO ； ②合力 ;③平衡 合力矩定理：由于主矩 而合力对 O 点的矩 ———合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 §3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： R R = R R R O O ’ M R’ O O O’ R’ d R R” O O’ R d R R R M d O = R ( ) 1 = = n i MO mO Fi ( ) (主矩) mO R R d = MO = ( ) ( ) 1 = = n i MO R mO Fi R R ' ( ) ( ) 0 2 2 R = X + Y = MO =mO (Fi ) = 0
∑x=0∑X=0 ∑m1(F)=0 ∑m(F)=0 ∑m1F)=0 ∑m(F)=0 ∑m(F)=0 ∑ma(F) ③三矩式 ②二矩式 条件:A,B、C不在同一直线上 )一矩式 条件:x轴不⊥AB连线 上式有三个独立方程,只能求出三个未知数 例]已知:P,a,求:A、B两点的支座反力? B 解:①选AB梁研究 ②画受力图 由∑m(F)= 2P P·2a+Nn3a=0.∴.N, ∑X=0X4=0 ∑Y=0 P Y+N-P=o §3-5平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 设有F1,F2….Fn各平行力系, 向O点简化得 主矢R=R=>F 主矩M mb(F)=∑F
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 [例] 已知：P, a , 求：A、B 两点的支座反力？ 解：①选 AB 梁研究 ②画受力图 §3-5 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 设有 F1 , F2 … Fn 各平行力系， 向 O 点简化得： X = 0 Y = 0 mO (Fi ) = 0 ①一矩式 X = 0 ( ) = 0 mA Fi ( ) = 0 mB Fi ②二矩式 条件：x 轴不 ⊥ AB 连线 mA (Fi ) = 0 mB (Fi ) = 0 mC (Fi ) = 0 ③三矩式 条件：A,B,C不在同一直线上 P A B 2a a 由mA (Fi ) = 0 3 2 2 3 0, P − P a + NB a = NB = X = 0 XA = 0 Y = 0 3 0, P YA + NB − P = YA = R = R =F O 主矢 ' O = O i = i i 主矩M m (F ) Fx
合力作用线的位置为 F 平衡的充要条件为 主矢R=0主矩MO=0 FI 所以平面平行力系的平衡方程为: y=0 一矩式 ∑m(F)=0 ∑m(万)=0 二矩式条件:AB连线不能平行 ∑m(F)=0 于力的作用线 实质上是各力在x轴上的投影恒等于零,即∑X=0恒成立,所以只有两个独立方 程,只能求解两个独立的未知数。 分布载荷q(x)的合力大小及作用线 R=[qx)=图形面积 =图形形心
合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩 MO =0 所以 平面平行力系的平衡方程为： 实质上是各力在 x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方 程，只能求解两个独立的未知数。 分布载荷 q(x)的合力大小及作用线 = = F F x R M x O i i R ' x1 xn x2 An A2 A1 F2 F1 Fn x y O R Y = 0 mO (Fi ) = 0 一矩式 mA (Fi ) = 0 mB (Fi ) = 0 二矩式 条件：AB连线不能平行 于力的作用线 X = 0 = =图形面积 b a R q(x)dx ( ) ( ) = =图形形心 b a b a R q x dx q x xdx x
R alx O 6 x dx R O R R 例]已知:P=20kN,m=16kNm,qF=20kN/m,a=0.8m 求:A、B的支反力
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B 的支反力。 q(x ) x y O dx x a b R xR O q l R l/ 2 R = ql q l 2l/ 3 R 2 ql R =
解:研究AB梁 由∑X=0,X4=0 ∑m(F)=0; RB·a+q·a·-+m-P·2a=0 ∑ ∴Y4+RB-qa-P=0 解得: RB ga m 20×0.816 +2P 2 08+2×20=12(kN) HA=P+q-R2=20+20×0.8-12=24(kN) 例]已知:塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量),尺寸如图。求:①保证满载和 空载时不致翻倒,平衡块￠=?②当Q=180kN时,求满载时轨道A、B给起重机轮子的反 力? N NE 解:()①首先考虑满载时,起重机不向右翻倒的最小Q为: ∑mB(F) Q(6+2)+P.2-W(12-2)-NA(2+2)=0 限制条件: N,≥0 解得 Q≥75kN
解：研究 AB 梁 解得： [例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和 空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ ②当 Q=180kN 时，求满载时轨道 A、B 给起重机轮子的反 力？ 解：⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q 为： 限制条件： 解得 由X = 0, XA = 0 2 0 2 ( ) 0 ; + + − = = m P a a R a q a m F B A Y = 0 YA + RB −qa − P = 0 2 20 12(kN) 0.8 16 2 20 0.8 2 2 − + = = − − + P = − a qa m RB = + − = 20+200.8−12 = 24(kN) A RB Y P qa mB (F) = 0 Q(6+ 2)+ P2−W(12−2)− NA (2+ 2) = 0 NA 0 Q 75 kN
②空载时,W=0 限制条件为:N,≥O 解得 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系:75kN≤g≤350kN (2)求当Q=180kN,满载W=20N时,NANB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得: ∑m(F)=06-2)-P2-(12+2)+Na4=0 ∑F=0 Q-P-W+N+NB=0 解得: N,=210kN N。=870kN §3-6静定与静不定问题的概念·物体系统的平衡 静定与静不定问题的概念 我们学过 平面汇交力系 ∑X=0 Y=0 两个独立方程,只能求两个独立未知数。 力偶系∑m=0 个独立方程,只能求一个独立未知数 平面任意力系 ∑X=0 Y=0 ∑m(F)=0 三个独立方程,只能求三个独立未知数。 独立方程数目=未知数数目时,是静定问题(可求解 独立方程数目<未知数数目时,是静不定问题(超静定问题) [例] P B 静定(未知数三个) YB
②空载时，W=0 解得 因此保证空、满载均不倒 Q 应满足如下关系： ⑵求当 Q=180kN，满载 W=200kN 时，NA ,NB 为多少 由平面平行力系的平衡方程可得： 解得： §3-6 静定与静不定问题的概念 • 物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 力偶系 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 平面任意力系 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 独立方程数目=未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） [例] 静定（未知数三个） 由 m (F) = 0 A Q(6−2)− P2+ NB (2+ 2) = 0 限制条件为： NB 0 Q 350 kN 75 kN Q 350 kN mA (F) = 0 Q(6−2)−P2−W(12+ 2)+ NB 4 = 0 = 0, Fi −Q− P−W + NA + NB = 0 870 kN 210 kN, = = B A N N X = 0 Y = 0 mi = 0 X = 0 Y = 0 mO (Fi ) = 0