动量矩定理 习题 例1:单摆将质量为m的小球用长为l的线悬挂于水平轴上,使其在重力作用下 绕悬挂轴O在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长,摆线由偏角时从静 止开始释放,求单摆的运动规律。 解:将小球视为质点。其速度为v=l@且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 m, (mv)=mlo.I=mli 又m(T)=o,则外力对轴O之矩为 注意:在计算动量矩与力矩时,符号规定 应一致(在本题中规定逆时针转向为正)。 根据动量矩定理,有 mglsn p 即 当单摆做微幅摆动时,sno≈,并令0式(a)成为 0+O=0 (b) 解此微分方程,并将运动初始条件带入,即当t=0时,φ=φ,φ=0,得单摆 微幅摆动时的运动方程为 p=Po cos@,t 由此可知,单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 T
动量矩定理 习 题 例 1：单摆将质量为 m 的小球用长为 l 的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下 绕悬挂轴 O在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角 0 时从静 止开始释放，求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。其速度为 v = l 且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ( ) 2 m mv ml l ml o = = 又 m o (T ) = o ，则外力对轴 O 之矩为 m o (F) = −mglsin 注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定 应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有 ( ) sin 2 ml mgl t x = − d d 即 + sin = 0 l g (a) 当单摆做微幅摆动时， sin ，并令 l g n = 2 则式（a）成为 0 2 + n = （b） 解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当 t=0 时， = 0 ， 0 = 0 ，得单摆 微幅摆动时的运动方程为 t n cos = 0 © 由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 g l T n 2 2 = = C O l mg 0 v T
例2:双轴传动系统中,传动轴I与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为J与J2,两齿 轮的节圆半径分别为R1与R2,齿数分别为1与2,在轴I上作用有主动力矩M1 在轴Ⅱ上作用有阻力矩M2,如图所示。求轴I的角加速度。 解:轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 JE,=M-PR J222=-M2+PR2 又 R2 a1 R a2= e nC 以上三式联立求解,得 M-M,/ E 例3:质量为m半径为R的均质圆轮置放在倾角为a的斜面上,在重力的作用 下由静止开始运动,设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f、f',不计 滚动摩阻。试分析轮的运动 解:取轮为研究对象,根据平面运动微分方程有 ma= mgsn a-F (a) 0=-mg cosa+N Ja=FR 由式(b)得N= mg cos a 情况一:设接触处绝对光滑。则F=0,由式(a)、(c)得 E=0 情况二:设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑,做纯滚动。F为静滑动摩擦力 a re a=gsin a gsin a F=-gsin a
例 2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为 1 J 与 2 J ，两齿 轮的节圆半径分别为 R1 与 R2 ，齿数分别为 1 z 与 2 z ，在轴Ⅰ上作用有主动力矩 M1， 在轴Ⅱ上作用有阻力矩 M2 ，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1 1 M1 P R1 J = − （a） 2 2 M2 P R2 J = − + (b) 又 1 2 2 1 1 2 z z R R i = = = （c） 以上三式联立求解，得 2 1 2 1 2 1 J J i M M i + − = 例 3：质量为 m 半径为 R 的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上，在重力的作用 下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为 f 、 f ，不计 滚动摩阻。试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有 mac = mg sin − F （a） 0 = −mg cos + N (b) Jc = FR (c) 由式（b）得 N = mg cos (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则 F=0,由式（a）、(c)得 ac = g sin = 0 情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。 a R c = sin 3 1 sin 3 2 sin 3 2 F g g R ac g = = = M2 M1 I 2 z 1 z II
例4:均质滑轮A、B的质量为m2与m1,半径分别为R与R2,物体C 的质量为m3 求:重物的加速度,系统中各绳的张力,轴承O的约束反力 解:设个物体的数度如图示,且: v2=R2 R 对系统进行受力分析如图 则整个系统对O点的动量矩为: -Jo +,@,+m, v, R)+m,vR, ∴J1=m1R2 m,R2 L=(4m+3m2+2m)Rv2 由动量矩定理得 d=∑y) dlo 2[M-(m2+m)R2 (4m1+3m2+2m)R2 取分离体C: T a T.-m3g 取分离体B: m2a2=T+T2-73-m2g J2E2=-7R2+72R2 取分离体C JE=M-TR 联合上述各式可求得各未知量
例 4：均质滑轮 A、B 的质量为 与 ，半径分别为 与 ，物体 C 的质量为 ； 求：重物的加速度，系统中各绳的张力，轴承 O 的约束反力 解：设个物体的数度如图示，且： 对系统进行受力分析如图 则整个系统对 O 点的动量矩为： 由动量矩定理得： 取分离体 C： 取分离体 B： 取分离体 C ： 联合上述各式可求得各未知量 m2 m1 R1 R2 m3 M R1 R2 C A B 1 v3 2 v2 m3 g m2 g m1g FOx FOy 3 2 2 2 1 1 2 1 v = v = R = R ( ) 1 1 2 2 2 2 2 3 3R2 J J m v R m v LO LOA LOB LOC = + + + = + + 2 1 1 1 2 1 J = m R 2 2 2 2 2 1 J = m R ( ) 4 1 3 2 2 3 2 3 2 1 L m m m R v O = + + ( ) = ( ) e O i O M F t L d d ( ) ( ) 1 2 3 2 2 3 2 3 4 3 2 2 m m m R M m m gR a + + − + = m3a3 = T3 − m3 g v3 m3 g T3 C m2a2 = T1 +T2 −T3 −m2 g 2 2 T1R2 T2R2 J = − + R2 B 2 m2 g v2 T2 T1 m1a1x = FOx m1a1y = 0 1 1 M T2R1 J = − M R1 A 1 m1g FOx FOy T2 T1
h3m2+2m)尺 =Jo,+(, f+m, y, R,)+m,,R, 例4.在提升设备中,一根绳子跨过滑轮吊一质量为m1的物体,滑轮质量为m2, 并假设质量分布在圆周上。滑轮半径为r,由电动机传递的力矩为M,绳质量不 计。求挂在绳上的重物的加速度。 解:取系统为研究对象。其对转轴的动量矩为 d1vr+∑mv M-m,gr dv mgi dt du M-migr
例 4．在提升设备中，一根绳子跨过滑轮吊一质量为 m1 的物体，滑轮质量为 m2， 并假设质量分布在圆周上。滑轮半径为 r，由电动机传递的力矩为 M，绳质量不 计。求挂在绳上的重物的加速度。 解：取系统为研究对象。其对转轴的动量矩为 m v r m v r M m gr dt d 1 i = − 1 + 即 ( ) M m gr dt dv m m r 1 + 2 = − 1 (m m )r M m gr dt d a 1 2 1 + − = = 例 mR12123 4： 均 质 滑 轮 A、B 的 质 量 为 与 ， 半 径 分 别 为 与 ， 物 体 C 的 质 量 为 ； 求 ： 重 物 的 加 速 度 ， 系 统 中 各 绳 的 张 2 2 2 2 2 1 J = m R 2 1 1 1 2 1 J = (m R ) 4 1 3 2 2 3 2 3 2 1 L m m m R v O = + + ( ) 1 1 2 2 2 2 2 3 3R2 J J m v R m v LO LOA LOB LOC = + + + = + +
