4-3极坐标中的应力函数 与相容方程(A) ∫零 平面度角坐标系中,体积力为常数常数 1、应力表示的相容方程:(2-22) V2(ax+a,)=(2+2)(ax+a,)=0 2.应力函数表示的相容方程:(224) a-g (D o-d +2 O 4
4-3 极坐标中的应力函数 与相容方程(A) 一.平面直角坐标系中，体积力为常数 常数 零 1、应力表示的相容方程：（2-22） ( ) ( )( ) 0 2 2 2 2 2 + = + x + y = x y x y 2．应力函数表示的相容方程：（2-24） 2 0 4 4 2 2 4 4 4 4 = + + = x x y y
应力分量: (2-23) OxO 二极坐标下的相容方程 x=rcos e r=x+y',6= D y=rsn e Φ[x(,O2y(,6)=Φ(,O) 在极坐标下对x和y的方向导数
二. 极坐标下的相容方程 应力分量： = − − = − = x y yY x x X y xy y x 2 2 2 2 2 （2-23） = = sin cos y r x r x y r = x + y , = arctg 2 2 2 [x(r, ), y(r, )] = (r, ) 在极坐标下对x和y的方向导数
odp dgp sin e Ox 70b aap ar Or CoS 0 sin O)cos e x 706 a ag (D (-.coS0 sin O)sin 6 706or 70 y 2O2d2 sin ecos e aΦ cos 0 2sin 0 6 o-o sina sin a-a 0Φ 02o)。兀0)c CoS(-6)2+ 06 2si(-6)cos(x-6) ①Sn 0Sm22 06
r x y cos sin − = x r r ( cos sin )sin ( cos sin ) cos 2 2 − − − = r r r x r r r − x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin 2sin cos cos + + − + = r r r r r r r y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ) sin ( 2 ) sin ( 2 ) cos( 2 2sin( ) 2 ) cos( 2 2sin( ) 2 cos ( − + − + − − − − − + = − = r r r r r y r r x −
a-gp 2sin ecos e ag sIn 6 ar 2 sin ecos e aΦcos2baΦcos2boΦ arde 2 a ad cos e sin O)sin 6 Oxy Or a 706 o od (D (·cosO sin O)cos0 706or 706 a-g cos0-sin0 ap -sin e cos e axa Ol cos2b-sn20o2 gp sin ecos e aΦ sin ecos e a2Φ arae
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos cos 2sin cos sin + + + − = r r r r r r r x ( cos sin ) cos ( cos sin )sin 2 − + − = r r r x y r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos + + − − − + = − = − r r r r r x y r r xy
2 V Ox ay ar ror r 80 2 极坐标相容方程VΦ=(2+2)①=(2+0+ ar- rar 72b2)2c=0 V4Φ + )(2+ ar 00- ar- r ar r-a0 (D 2 ag (D 20020 r4a4×32a3 ar3 r3 a02ar 1a2Φ402Φ1aΦ 0 2 4 3 ar 4=如,203①1a2Φ,1a,1o4Φ Or 24d 2 ag 4aC 0 r2a-206 02r400
+ + + + = ) 1 1 )( 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 r r r r r r r r r r r r r r r r − + + + = 2 3 3 3 3 4 4 2 2 4 4 4 2 4 2 1 2 2 0 1 4 1 2 3 2 2 4 2 2 = + + − r r r r r 4 4 2 3 4 2 3 2 3 4 4 4 2 1 1 1 + + − + = r r r r r r r r 0 2 2 4 2 2 2 4 3 2 2 3 4 2 = + − + r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + = x y r r r r 极坐标相容方程 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 = + + = + = x y r r r r
mIx 应力的坐标变换 y T 0.lm m‖O,T re
r r Xn Yn x y r = m l Y X yx y x xy n n − = y x m l l m y x 二.应力的坐标变换 − = n n r r Y X m l l m − = m l m l l m yx y x xy r r
§44应力的座标变换 ,坐标的旋转交换 mIx n m r r 二,应力的坐标变换 人色 X n re-m lY mor tx Z y
§4.4 应力的座标变换 一.坐标的旋转变换 r r Xn Yn x y r = m l Y X yx y x xy n n − = y x m l l m y x 二.应力的坐标变换 − = n n r r Y X m l l m − = m l m l l m yx y x xy r r
Ⅹ 0 T X n X I mIX mo T x -m IT er
− = n r n YX m l l m − − = − = lm m l l m YX m l l m yx y x xy n r n − − = m l l m m l l m yx y r x xy r r Xn Yn r x y r o − = lm YX yx y x xy nn
= o=0 cOS 0+o sin+2r sin 0 cos e e=ox 0+o, cos 6-2t sin 8 cos e Tre=(o,-o )sin 6 cos 8+I,(cos 8-sin 6 []=[o7] o=0 cOS0+o sin0-2r sin 6 cos0 yo.Sn-6+o, cos0+2T.o sin 0 cos0 e)sn 8 cos 8+tre(cos 0-sin 20
= T T −1 = − + − = + + = + − ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 xy r r y r r x r r = − + − = + − = + + ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 r y x xy x y xy r x y xy −1 = T T
三.极坐标下的应力 o cos0+o sin6-2T sin ee 比较{a,=a,sin20+a1c0s20+2 CTre sin 6 cos 6 T=(o, -0o)sin 0 cos 0+Tre(cos 0-sin 0 o= Sin a 9 2sin 0 cos0 ao 与 06 2sin 0 cos0 a-o cos0 a cos0 a9 r06 ar 06 a-g 2sin e cos e ag o=cos 6 ar 2 06 2sin 6cos0a-a sin 0a sinead 2802
三.极坐标下的应力 比较 = − + − = + + = + − ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 xy r r y r r x r r 与 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin 2sin cos cos + + − + = r r r r r r r y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos cos 2sin cos sin + + + − = r r r r r r r x
