安徽建筑工业学院：《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答（3/9）

4-3极坐标中的应力函数 与相容方程(A) ∫零 平面度角坐标系中,体积力为常数常数 1、应力表示的相容方程:(2-22) V2(ax+a,)=(2+2)(ax+a,)=0 2.应力函数表示的相容方程:(224) a-g (D o-d +2 O 4

4-3 极坐标中的应力函数 与相容方程(A) 一.平面直角坐标系中，体积力为常数    常数 零 1、应力表示的相容方程：（2-22） ( ) ( )( ) 0 2 2 2 2 2 + =   +    x + y = x y x y     2．应力函数表示的相容方程：（2-24） 2 0 4 4 2 2 4 4 4 4 =    +     +      = x x y y

应力分量: (2-23) OxO 二极坐标下的相容方程 x=rcos e r=x+y',6= D y=rsn e Φ[x(,O2y(,6)=Φ(,O) 在极坐标下对x和y的方向导数

二. 极坐标下的相容方程 应力分量：            = −   −  =   −  =   x y yY x x X y xy y x 2 2 2 2 2    （2-23）    = =   sin cos y r x r x y r = x + y , = arctg 2 2 2 [x(r, ), y(r, )] = (r, ) 在极坐标下对x和y的方向导数

odp dgp sin e Ox 70b aap ar Or CoS 0 sin O)cos e x 706 a ag (D (-.coS0 sin O)sin 6 706or 70 y 2O2d2 sin ecos e aΦ cos 0 2sin 0 6 o-o sina sin a-a 0Φ 02o)。兀0)c CoS(-6)2+ 06 2si(-6)cos(x-6) ①Sn 0Sm22 06

r x y   cos sin   −   =   x r r          ( cos sin )sin ( cos sin ) cos 2 2     −     −     −     =    r r r x r r r − x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin 2sin cos cos                +   +     −   +    = r r r r r r r y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ) sin ( 2 ) sin ( 2 ) cos( 2 2sin( ) 2 ) cos( 2 2sin( ) 2 cos (                      − +   − +     − − −   − − +    = −    = r r r r r y r r x −

a-gp 2sin ecos e ag sIn 6 ar 2 sin ecos e aΦcos2baΦcos2boΦ arde 2 a ad cos e sin O)sin 6 Oxy Or a 706 o od (D (·cosO sin O)cos0 706or 706 a-g cos0-sin0 ap -sin e cos e axa Ol cos2b-sn20o2 gp sin ecos e aΦ sin ecos e a2Φ arae

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos cos 2sin cos sin               +   +     +   −    = r r r r r r r x          ( cos sin ) cos ( cos sin )sin 2     −     +     −     =     r r r x y r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos                  +   +   −   −  −  +    = −     = − r r r r r x y r r xy

2 V Ox ay ar ror r 80 2 极坐标相容方程VΦ=(2+2)①=(2+0+ ar- rar 72b2)2c=0 V4Φ + )(2+ ar 00- ar- r ar r-a0 (D 2 ag (D 20020 r4a4×32a3 ar3 r3 a02ar 1a2Φ402Φ1aΦ 0 2 4 3 ar 4=如,203①1a2Φ,1a,1o4Φ Or 24d 2 ag 4aC 0 r2a-206 02r400

   +   +     +   +     = ) 1 1 )( 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 r r r r  r r r r  r r r r r r r  r   −    +    +     +    = 2 3 3 3 3 4 4 2 2 4 4 4 2 4 2 1 2 2    0 1 4 1 2 3 2 2 4 2 2 =   +    +    − r r r  r r 4 4 2 3 4 2 3 2 3 4 4 4 2 1 1 1    +   +    −    +      = r r r r r r r r 0 2 2 4 2 2 2 4 3 2 2 3 4 2 =    +     −     + r r  r r  r  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   +   +   =   +    = x y r r r r 极坐标相容方程 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4  =   +   +    =   +     = x y r r r r 

mIx 应力的坐标变换 y T 0.lm m‖O,T re

 r   r Xn Yn x y r              =       m l Y X yx y x xy n n                 − =         y x m l l m y x 二.应力的坐标变换             − =       n n r r Y X m l l m                      − =       m l m l l m yx y x xy r r       

§44应力的座标变换 ,坐标的旋转交换 mIx n m r r 二,应力的坐标变换 人色 X n re-m lY mor tx Z y

§4.4 应力的座标变换 一.坐标的旋转变换  r   r Xn Yn x y r              =       m l Y X yx y x xy n n                 − =         y x m l l m y x 二.应力的坐标变换             − =       n n r r Y X m l l m                      − =       m l m l l m yx y x xy r r       

Ⅹ 0 T X n X I mIX mo T x -m IT er

  − =    n r n YX m l l m    −   − =   − =    lm m l l m YX m l l m yx y x xy n r n          −   −  =  m l l m m l l m yx y r x xy r r          Xn  Yn   r  x y r  o   −   =    lm YX yx y x xy nn    

= o=0 cOS 0+o sin+2r sin 0 cos e e=ox 0+o, cos 6-2t sin 8 cos e Tre=(o,-o )sin 6 cos 8+I,(cos 8-sin 6 []=[o7] o=0 cOS0+o sin0-2r sin 6 cos0 yo.Sn-6+o, cos0+2T.o sin 0 cos0 e)sn 8 cos 8+tre(cos 0-sin 20

  = T T −1       = − + − = + + = + − ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2                               xy r r y r r x r r      = − + − = + − = + + ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2                           r y x xy x y xy r x y xy       −1  = T  T

三.极坐标下的应力 o cos0+o sin6-2T sin ee 比较{a,=a,sin20+a1c0s20+2 CTre sin 6 cos 6 T=(o, -0o)sin 0 cos 0+Tre(cos 0-sin 0 o= Sin a 9 2sin 0 cos0 ao 与 06 2sin 0 cos0 a-o cos0 a cos0 a9 r06 ar 06 a-g 2sin e cos e ag o=cos 6 ar 2 06 2sin 6cos0a-a sin 0a sinead 2802

三.极坐标下的应力 比较      = − + − = + + = + − ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2                               xy r r y r r x r r 与 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin sin 2sin cos cos                +   +     −   +    = r r r r r r r y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos cos 2sin cos sin                   +   +    +   −   = r r r r r r r x