第二章平面问题的基本理论 §2.1平面应力与平面应变向题 平面应力问题 1.引例:墙壁、座舱隔板等 简化为图示等厚度板 受载情况-平行于板 面且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷; 此种情况即属平面应 力问题。 t/2 2.平面应力问题的特征
第二章 平面问题的基本理论 一. 平面应力问题 y x y Z t/2 简化为图示等厚度板 受载情况--平行于板 面且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷； 此种情况即属平面应 力问题。 §2.1 平面应力与平面应变问题 2.平面应力问题的特征 1.引例： 墙壁、座舱隔板等
薄板如图:厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂 直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所 示。因板面上(z=土t/2)不受力,所以有: 0,( 0 2xz=± =± 由于板很薄,外力又不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续 分布的,因此,可以认为在整板的所有各点都有 C:=0. x 0 根据剪应力互等定理可知 O T
薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂 直于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所 示。因板面上（z=t/2）不受力，所以有： 根据剪应力互等定理可知 ( ) 0,( ) 0,( ) 0 2 2 2 = = = = = = t z t z y z t z x z z z = 0, z x = 0, z y = 0 = 0, = 0, xz yz 由于板很薄,外力又不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续 分布的,因 此,可以认为在整板的所有各点都有: x y z y t/2 t/2
所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力 分量,即: OxOy、zx=Zx5 此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图
所以,在薄板中只剩下平行于x、y面的三个应力 分量，即： 此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图 x 、 y 、 xy = yx ； xy xy yx yx x x y y y x x y yx
3.平面应力问题的定义 对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板 类问题,就称为平面应力问题。 二.平面应变问题 1.引例:水坝、隧洞等 简化为等长度很长的截面柱体,载荷垂直于长度方 向,且沿长度方向不变一作为无限长柱体看待
二. 平面应变问题 简化为等长度很长的截面柱体, 载荷垂直于长度方 向，且沿长度方向不变—作为无限长柱体看待。 y x xy xz yx y z z zx zy x y y z 3.平面应力问题的定义 ; x ; y xy = xy 对于仅有平行于xy面的三个应力分量的均质薄板 类问题，就称为平面应力问题。 1.引例: 水坝、隧洞等 y x x y yx z z
2.平面应变问题的特征 (1)位移分量 对于无限长柱体,由于任一横截面都可看成对称截 面,而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移 的,因此,对任一截面都应有: =0→E:=0,且u=u(x,y),v=v(x,y) (2)应变分量 根据对称关系和剪应力互等定理有 O;→y 之x G;→y=0 0,故仅考虑E=8(xyE,=Exyy=y(xy 三个应变分量
2. 平面应变问题的特征 (1)位移分量 w 0 0, u u(x, y),v v(x, y) = →z = 且 = = 0 0 0 0 = = = = = = z y yz z y z x xz z x ； ； 三个应变分量。 0，故仅考虑: (x, y); (x, y); (x, y) xy xy z = x = x y = y = 对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截 面，而对称截面上的各点是不能产生沿Z向的位移 的，因此,对任一截面都应有： (2)应变分量 根据对称关系和剪应力互等定理有
(3)应力分量 G=O2(xy)O,=O,(x,y)n=T(xyO:=O:(x,y) 由于E:E O:-(O+O,)=0→0:=(O2+O,) 对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。 8.8.y E.=0 3.平面应变问题的定义 对于无限长柱体,所有的应变与位移都发生xoy 面内,就称为平面应力问题。这类问题称为平面 应变问题Ex,E1p,yx=yx
(3) 应力分量 对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。 [ ( )] 0 ( ) 1 ( , ); ( , ); ( , ); ( , ) z z x y z x y x x y y xy yx z z E x y x y x y x y = − + = = + = = = = 由于 , , = , = 0 x y xy yx z 3.平面应变问题的定义 x y xy yx , , = 对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生xoy 面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面 应变问题
小结:平面问题基本未知量 平面应力问题 平面应变问题 应力分量{G} 0 (x, 2), o, (x, y),t,(x, y), o, (x,y),O, x,y),t(x, y),(o:) (3个) 独立的(3个) 2应变分量 E(xyE(xy)y(xy)()E(xy)E,(xy)yn(x,y) 独立的(3个) (3个) 3位移分量 u(x,y),v(x,y),(w) u(,b),v(x,y) 独立的(2个) (2个)
小结：平面问题基本未知量 平面应力问题 平面应变问题 (x, y), (x, y), (x, y), x y xy 1. 应力分量 （3个） ( , ), ( , ), ( , ),( )z x y xy x y x y x y 独立的（3个） 2. 应变分量 ( , ), ( , ), ( , );( )z xy x y x y x y x y 独立的（3个） (x, y), (x, y), (x, y) xy x y （3个） 3. 位移分量 u(x, y), v(x, y),(w) 独立的（2个） u(x, y), v(x, y) （2个） d
§2.2平銜微分方程 应力分量同体力分量之间的美系 平面应力问题平衡方程 1.研究对象取单元体尺寸ax,dy,单位厚度, 体积力f、f 注:(1)由于应力分量是点的位置坐标的函数,因此, 在单元体两个对应平面上,应力相差一个微量。 x (2)由于单元体是 zn+h微小的,故,它的各 面上所受应力可认为 f 0d是均匀分布的,体力 ax 32+2/ 也是均匀分布的
§2.2平衡微分方程 一.平面应力问题平衡方程 —应力分量同体力分量之间的关系 1.研究对象 取单元体尺寸dx,dy,单位厚度， 体积力fx、fy。 (1)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此， 在单元体两个对应平面上,应力相差一个微量。 (2)由于单元体是 微小的，故，它的各 面上所受应力可认为 是均匀分布的，体力 也是均匀分布的。 y y x x x y dy y y y + d x x xy xy + d y y yx yx + dx x x x + x y x f y f C 注：
2.静力平衡条件: (1)对单元体形心取矩平衡, Z×τ型 dx ∑Mc=0 dx O dx)dy ax 2 at aT 00 dy)dx dx=0 dy y 化简:+ax dx y 2 Oy 略去高阶微量,即可得τn=τ(2-1) 剪应力互等:上式即为材料力学中的剪应力互等 定理(正负号有差别
2.静力平衡条件： 剪应力互等：上式即为材料力学中的剪应力互等 定理(正负号有差别) 0 2 2 ( ) 2 2 ( ) − = − + + + dy dx dy dy dx y dx dy dx dx dy x yx yx yx xy xy xy 化简 dy y dx x yx yx xy xy = + + 2 1 : , = (2 −1) xy yx 略去高阶微量 即可得 M = 0 C (1)对单元体形心取矩平衡, y y x x x y dy y y y + d x x xy xy + d y y yx yx + dx x x x + x y x f y f C
+-trdx (2)∑F=0 O dx (o,+ aox)dy dy di (T+ dy)dx-tu dx+f dxdy=0 av (3)平衡方程 00.07 化简得 a,+f2=0 0r00 同理:由∑F=0 +f=0
（3）平衡方程: (2) = 0 : Fx — (2 ~ 2) 化简得: + = 0 + x yx x f x y 同理:由 0 + = 0 + = y xy y y f x y F ( ) 0 ( ) − + = + + − + dy dx dx f dxdy y dx dy dy x yx x yx yx x x x y y x x x y dy y y y + d x x xy xy + d y y yx yx + dx x x x + x y x f y f C