运动 8点和刚体的基本运动 8.1点的直线运动 在研究点的运动时,首先要确定点在坐标 系中的位置并表征点位置随时间变化的规 律,进而研究在每一瞬间点的运动状态, 如速度、加速度。 X OL XIMM M M2 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 运 动 学 8 点和刚体的基本运动 8．1 点的直线运动 • 在研究点的运动时，首先要确定点在坐标 系中的位置并表征点位置随时间变化的规 律，进而研究在每一瞬间点的运动状态， 如速度、加速度。 X O x △x X2 X1 M1 M M’ M2
设有一动点M作直线运动,x随时间t化的 规律可表示为时间t的单值连续函数:x=f(t), 设从瞬时t到瞬时t+△t,点的位置从M改变到 M”,坐标由x改变到x+△x,坐标增量△x为点 在时间t内的位移 A称为点在时间t内的平均速度,当t→0时, 速度记为=1imA=4=x △t→>0 点的速度等于位置坐标函数对于时间的一 导数,它是一个代数量,正号表明x的代数值随 时间增加,点沿x轴正向运动 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 2
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 设有一动点M作直线运动，x随时间t变化的 规律可表示为时间t的单值连续函数：x = f(t), 设从瞬时t到瞬时t + △t,点的位置从M改变到 M”, 坐标由x改变到x + △x, 坐标增量△x为点 在时间t内的位移 称为点在时间t内的平均速度,当t→0时, 速度记为 t x dy x dx y x v t • → = = = lim 0 点的速度等于位置坐标函数对于时间的一阶 导数,它是一个代数量,正号表明x的代数值随 时间增加,点沿x轴正向运动
Im 404 X 直线运动中,动点的加速度等于速度对于时间 的一阶导数,也等于位置坐标函数对于时间 的二阶导数,它也是一个代数量,正号表明 速度的代数值随时间增加 几个常见的物理学中的运动学公式 x=Xo t vot +-at +at 2 2_v2=2a(x-xo) 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 直线运动中, 动点的加速度等于速度对于时间 的一阶导数,也等于位置坐标函数对于时间 的二阶导数, 它也是一个代数量, 正号表明 速度的代数值随时间增加. 几个常见的物理学中的运动学公式: dt x d x t v a t •• → = = = 2 2 0 lim2 0 0 2 1 x = x + v t + at v = v + at 0 2 ( ) 0 2 0 2 v − v = a x − x
【例题8-1】一卡车沿直线道路运送货物,全 程500m设最高行驶速度5m/s,最大加速度 0.5m/s2,走完全程至少需要多少时间 解:要使时间最少:第一阶段由停止开始,以 最大加速度0.5m/s2加速至5m/s,第二阶段以 最大速度作匀速运动,第三阶段以加速度 0.5m2至停止 W5-0 第一阶段:t 10s 0.5 X-xo =-at 0.5×10 2=25m 2 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 【例题 8-1】一卡车沿直线道路运送货物,全 程500m.设最高行驶速度5m/s,最大加速度 0.5m/s2 ,走完全程至少需要多少时间. 解: 要使时间最少:第一阶段由停止开始,以 最大加速度0.5m/s2加速至5m/s, 第二阶段以 最大速度作匀速运动, 第三阶段以加速度- 0.5m/s2至停止. 第一阶段: s a v v t 10 0.5 0 5 0 = − = − = x x at 0.5 10 25m 2 1 2 1 2 2 − 0 = = =
第三阶段:t=10s 第二阶段:500-25×2=450m 500-50 90s 10+90+10=110s 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 第三阶段: 第二阶段: t = 10s 500 − 25 2 = 450m t 90s 5 500 50 = − = 10 + 90 + 10 = 110s
82点的运动的变矢量法 设动点作曲线运动,某瞬间t,动点的位置在M, 从坐标原点O向动点作矢量OM=,r就是动点 对原点的矢径。矢径是变矢量,是时间的 单值连续函数:r=r(t,当△t→0时,比值 亼r/△t的极限表明在瞬间动点运动的快慢, 称为动点在瞬间的速度: △rdr v= im △t→>0△tdt 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 6
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 8.2 点的运动的变矢量法 设动点作曲线运动,某瞬间t,动点的位置在M, 从坐标原点O向动点作矢量OM=r,r就是动点 对原点的矢径。矢径r是变矢量，是时间的 单值连续函数：r = r(t),当△t→0时，比值 △r/△t的极限表明在瞬间动点运动的快慢， 称为动点在瞬间的速度： • → = = = r dt dr t r v t 0 lim
△V 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数 方向沿动点的运动轨迹切线,并指同动 前进的方向。 在曲线运动中,加速度包含速度的大小和方 向两者的改变。 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数, 方向沿动点的运动轨迹切线，并指向动点 前进的方向。 在曲线运动中，加速度包含速度的大小和方 向两者的改变。 x y z o M V V ’ r r ’ M ’ △V
△ch a= lim △t→>0△tat dt C 动点的加速度等于它的速度对时间的 阶导数,也等于它的矢径对时间 的二阶导数,它是一个矢量 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 动点的加速度等于它的速度对时间的 一阶导数，也等于它的矢径对时间 的二阶导数，它是一个矢量。 • → = = = v dt dv t v a t 0 lim dt dr v = •• = = r dt d r a 2 2
8.3点的运动的直角坐标表示法 任意选取一直角坐标系,动点的位置可用坐 标x,y,z来表示。点运动时,坐标随时间而改 变,是时间的单值连续函数: x=f() y=/2() z=f3(t) 这就是直角坐标表示的运动方程 消去时间参数t,可得轨迹方程: F1(x,y)=0 F2(y2)=0 01-11-0 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 8．3 点的运动的直角坐标表示法 任意选取一直角坐标系，动点的位置可用坐 标x,y,z来表示。点运动时,坐标随时间而改 变，是时间的单值连续函数： • 这就是直角坐标表示的运动方程。 消去时间参数t，可得轨迹方程： ( ) 1 x = f t ( ) 2 y = f t ( ) 3 z = f t F1 (x, y) = 0 F2 (y,z) = 0
r=xi+ⅵ+zk C 1+ j+k dtdt dt dt a山d山 即:速度在各坐标轴上的投影等于相 应的坐标对时间的一阶导数。 cOS(vX v3+12, Cos(v,v)=y COS(v 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 ∴ r = xi + yj + zk • 即:速度在各坐标轴上的投影等于相 应的坐标对时间的一阶导数。 k dt dz j dt dy i dt dx dt dr v = = + + • = = = x dt dx dt dr vx x ( ) • = = = y dt dy dt dr vy y ( ) • = = = z dt dz dt dr vz z ( ) 2 2 2 x y z v = v + v + v v v v x x cos( , ) = v v v y y cos( , ) = v v v z z cos( , ) =