12动量定理 12.1质点的动量定理 设有一质点M,质量为m,在力F作用下运动,由方程可 得m2h 当质量为常量时 (mv 上式表明,质点的动量对时间的导数,等于作用于 质点的力。将上式改写为d(mv)=Fd,并求两边积分, 时间从t到t,速度从v1到v2,就得到: V2 mv Fat=s 方程表明,质点的动量在一段时间内的增量,等于作用 于质点的力在同一段时间内的冲量,用s表示,这就是质 点的动量定理,也称为冲量定理。 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 12 动量定理 12.1 质点的动量定理 设有一质点M，质量为m，在力F作用下运动，由方程可 得 F dt dv m = 当质量为常量时， F dt d mv = ( ) 上式表明，质点的动量对时间的导数，等于作用于 质点的力。将上式改写为d(mv) = Fdt,并求两边积分， 时间从t 1到t 2 ,速度从v1到v2 ,就得到： mv mv Fdt s t t − = = 2 1 2 1 方程表明，质点的动量在一段时间内的增量，等于作用 于质点的力在同一段时间内的冲量，用s表示，这就是质 点的动量定理，也称为冲量定理
冲量s是矢量,常力的冲量方向与力的方向相同。冲量的 量纲为[s]=[F][T]=[M][L][T]2[T LM][L][T]1 冲量的单位,在国际单位制中用NS,在工程单位制中用 kgS。 S=S1+S2+…+Sn=)S 投影形式的质点动量定理:m2x-m1=M=s 1 Ydt= s mv2--mV Zdt=s 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 冲量s是矢量，常力的冲量方向与力的方向相同。冲量的 量纲为［s］＝［F］［T］＝［M］［L］［T］-2［T］ ＝［M］［L］［T］-1 冲量的单位，在国际单位制中用N·S, 在工程单位制中用 kg·S。 = + + + n = i s s s s s 1 2 投影形式的质点动量定理： x t t x x mv − mv = Xdt = s 2 1 2 1 y t t y y mv − mv = Ydt = s 2 1 2 1 z t t z z mv − mv = Zdt = s 2 1 2 1
12.2质点系动量定理 an 我们把所考察的质点系内各质点之间相互作用的力 称为内力,所考察的质点系之外的物体作用于该质点的 力称为外力。 由于内力的矢量和为零,所以,质点系的动量定理表 示为:质点系的动量对时间的导数,等于作用于质点系 的外力的矢量和。∑=∑F=2∑ 其中:K=∑m称为质点系的动量 两边求积分,动量从K1到K2,时间从t到t,得 k2-k1 ∑∫a=∑A 1 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 12.2 质点系动量定理 我们把所考察的质点系内,各质点之间相互作用的力 称为内力，所考察的质点系之外的物体作用于该质点的 力称为外力。 由于内力的矢量和为零，所以，质点系的动量定理表 示为：质点系的动量对时间的导数，等于作用于质点系 的外力的矢量和。 i i i F dt dm v = = E Fi dt dK dK F dt E = i 其中： i i K =m v 称为质点系的动量。 两边求积分，动量从K1到K2，时间从t 1到t 2 ,得 − = = E i t t E i K K F dt s 2 1 2 1
即,质点系的动量在任一段时间内的增量,等于作用 于质点系所有外力在同一段时间内的冲量和。这是质点系 动量定理的积分形式,也称冲量定理 在运动过程中,如作用于质点系的外力的矢量和始终为 零,则质点系的动量保持为常量。这就是质点系的动量守 恒定理。 K=∑m=常量 【例题12-3】小车质量为m1=100kg在光滑水平直线轨 道上以v1=1m/s的速度匀速运动。现有一个m,=50kg的人 从高处跳下,其速度v2=2m/s,方向与水平线成60角,求人 跳上车后车的速度如果人又从车上向后跳下,跳时相对 于车的速度v=1m/s,方向与水平线成30·角。求人跳离 后车的速度。 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 4
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 即，质点系的动量在任一段时间内的增量，等于作用 于质点系所有外力在同一段时间内的冲量和。这是质点系 动量定理的积分形式，也称冲量定理。 在运动过程中，如作用于质点系的外力的矢量和始终为 零，则质点系的动量保持为常量。这就是质点系的动量守 恒定理。 K =mi vi = 常量 【例题 12-3】小车质量为m1=100kg,在光滑水平直线轨 道上以v1=1m/s的速度匀速运动。现有一个m2=50kg的人 从高处跳下,其速度v2=2m/s,方向与水平线成60。角,求人 跳上车后车的速度.如果人又从车上向后跳下,跳时相对 于车的速度vr=1m/s,方向与水平线成30。角。求人跳离 后车的速度
r 解:取人和车作为研究的质点系,其动量在水平轴投 影的代数和守恒: mivi+m2v2 cos 60=(m+m2)v v=lm/ s 起跳后,车速为V2人相对于地球的速度在X轴上的 投影为3Vcos30 (m+m2)v=mv3+m2(v3-vp cos 30) 150+25 V3 =1.29m/s 150 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 解：取人和车作为研究的质点系，其动量在水平轴投 影的代数和守恒： V2 V1 vr V3 60 30 x m v m v cos60 (m m )v 1 1 + 2 2 = 1 + 2 v = 1m/s 起跳后，车速为 V3 ,人相对于地球的速度在X轴上的 投影为V3－Vr cos30 ( ) ( cos30 ) 1 2 1 3 2 3 r m + m v = m v + m v −v v 1.29m/s 150 150 25 3 3 = + =
12.3质量中心质心运动定理 质点系的运动不仅与作用在质点系的力及各质点的质 量大小有关,而且与质量的分布情况有关 设有n个质点M,M2Mn组成的质点系,各质点的质量 分别为m1m2…mn各质点质量之和∑m=m,就是质点 系的质量。取固定点O,设任一质点M对O点的矢径为r, 则由下列公式: mi ri 或mrn 确定的一点C称为质点系的质量中心简称质心,又称惯性中 心将上式两边对时间求导,得 a∑m=∑ 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 6
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 12.3 质量中心 质心运动定理 质点系的运动不仅与作用在质点系的力及各质点的质 量大小有关，而且与质量的分布情况有关。 设有n个质点M1 ,M2 ,…,Mn组成的质点系，各质点的质量 分别为m1 ,m2 , …mn ,各质点质量之和∑mi=m，就是质点 系的质量。取固定点O，设任一质点Mi对O点的矢径为r i， 则由下列公式： c i i i i c m r m r m m r r = 或 = 确定的一点C称为质点系的质量中心,简称质心,又称惯性中 心.将上式两边对时间求导，得 dt dr m r m dt d dt dr m i i i i c = =
m=∑m=K代入质量系动量定理 d(mv ∑F即ma=m2=∑ 将上式投影到直角坐标系,得 macx ∑x ∑ E nd ∑ 可见,质点系的质心运动中,质点的质量等于质点 系的质量,在这个质点上作用着所有作用于质点系的外力。 这就是质心运动定理。 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 mvc =mi vi = K 代入质量系动量定理 = E i c F dt d(mv ) c E i c c F ma dt d r m dt dv m = = = 2 2 即 将上式投影到直角坐标系，得: = = E cx i c ma X dt d x m 2 2 = = E cy i c ma Y dt d y m 2 2 = = E cz i c ma Z dt d z m 2 2 可见，质点系的质心运动中，质点的质量等于质点 系的质量，在这个质点上作用着所有作用于质点系的外力。 这就是质心运动定理
【例题12-8】在静止的小船中点D处站着两个人,其中 人重P1=500N,由船中点向右走动1.5m,另一人重P2=600N, 由船中点向左走动0.5m,如果船重Q=1500N,船的重心在D 的左方,距离为a,求人走动后船的位移 解:取船和人组成的质点系为研究对象,作用于质点系的 外力有人和船的重力P1P2Q及水的浮力N。初瞬间,人和 船静止。在内力作用下,人和船开始运动。 建立坐标系OXY,原点与船初始位置的中点D重合,因为 所有外力都垂直,故∑F=0,开始时系统静止,x=0,所 以系统的质心坐标X为常数。质心在x方向的位置守恒。 设初瞬间系统中人和船的质心坐标分别为 X1=0,X2=0,X3=a,初瞬间系统质心横坐标X为 Oa m+m2 +m3 R+P2+2 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 【例题 12-8】在静止的小船中点D处站着两个人，其中一 人重P1=500N,由船中点向右走动1.5m，另一人重P2 ＝600N， 由船中点向左走动0.5m，如果船重Q=1500N,船的重心在D 的左方，距离为a，求人走动后船的位移。 解：取船和人组成的质点系为研究对象，作用于质点系的 外力有人和船的重力P1 ,P2 ,Q及水的浮力N。初瞬间，人和 船静止。在内力作用下，人和船开始运动。 建立坐标系OXY,原点与船初始位置的中点D重合,因为 所有外力都垂直，故∑F E＝0，开始时系统静止，xc ,=0,所 以系统的质心坐标Xc为常数。质心在x方向的位置守恒。 设初瞬间系统中人和船的质心坐标分别为 X1 =0,X2 =0,X3 =-a, 初瞬间系统质心横坐标Xc为 P P Q Qa m m m m a xc + + − = + + − = 1 2 3 1 2 3
当两人走动结束时,人相对于船的位移为相对位移, 船本身的位移为牵连位移,由于共线,所以其代数和 为人的绝对位移。此时人和船的质心横坐标为 X1,Ⅹ 2 X3,于是有 x1=x+1.5 =x-0.5 x-a 行走结束时系统质心的横坐标为: nx1+ mox 12 12x t m +n 73 0.52-1.5f 1.73 +P2+Q (负号表明船向左运动) 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 当两人走动结束时，人相对于船的位移为相对位移， 船本身的位移为牵连位移，由于共线，所以其代数和 为人的绝对位移。此时人和船的质心横坐标为 X1 ’ ,X2 ’ ,X3 ’ ,于是有： 1.5 ' x1 = x + 0.5 ' x2 = x − x = x − a ' 3 行走结束时系统质心的横坐标为： c c x m m m m x m x m x x = + + + + = 1 2 3 ' 3 3 ' 2 2 ' ' 1 1 cm P P Q P P x 1.73 0.5 1.5 1 2 2 1 = − + + − = （负号表明船向左运动）
小结: (1)掌握质点系动量定理的积分形式和投影形式 (2)质点系的动量守恒定理及质心运动定理 作业: 12-112-612-1112-1212-15 01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-12 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 小结： （1）掌握质点系动量定理的积分形式和投影形式 （2） 质点系的动量守恒定理及质心运动定理 作业： 12－1 12－6 12－11 12－12 12－15