山东建筑大学：《结构力学》第十五 章结构的动力计算

第十五章结构的动力计算 §15-1 、动力计算的特点和内容 静力荷载 只研究静力平衡位置外载对结构的影响) 动力荷载:大小、方向、作用点一>内力随时间 发生变化,加速度较大一>惯性力 例:偏心质量的回转机器一>振动 2、动力荷载一>静力荷载、a很小、F与原P相比忽略不计 动力平衡:达朗伯原理惯性力、外载、内力(位移) (考虑取时间作自变量 3、风振、地震、爆炸、机器震动一>结构的影响 4、动力反应 结构动力学 结构本身的动力特性 动力荷载(干扰力)的变化规律 反应的大小主要取决与结构的自振频率、阻尼 5、振型 动力特性 6、自由振动:→自振频率、振型 强迫振动:→结构的动力反应 二、动力荷载的分类 根据动力荷载的变化规律及对结构的作用特点 1、简谐周期荷载(图) 2、一般周期荷载 3、冲击荷载锻锤对桩基础的冲击作用 爆炸的冲击压力 随机荷载 地震荷载 风荷载:稳定风压;脉动风压 三、体系振动的自由度 质量的分布情况并计算质量的位移 考虑质量的惯性力一—>动力计算的简图 以质点的位移作为基本未知量全部质点的独立的位移个数 一一>体系的振动自由度 1、单自由度的体系 个质块、两个线位移、一个角位移、 惯性力、惯性力矩(略去) 略去梁的轴向变形(变形后杆上两点之间的距离保持不变) >自由度one 2、多自由度体系 三层平面刚架 水平方向的振动计算,梁、柱、楼板的质量都集中在结点上,略去梁柱的轴向变形,三 个独立的位移未知量 3、无限自由度体系

第十五章 结构的动力计算 §15—1 一、动力计算的特点和内容 1、 静力荷载： （只研究静力平衡位置外载对结构的影响） 动力荷载：大小、方向、作用点 —> 内力随时间 发生变化，加速度较大—>惯性力 例：偏心质量的回转机器 —> 振动 2、 动力荷载 —> 静力荷载、a 很小、F 与原 P 相比忽略不计 动力平衡：达朗伯原理 惯性力、外载、内力（位移） （考虑取时间作自变量） 3、 风振、地震、爆炸、机器震动 —> 结构的影响 4、 动力反应 结构动力学 结构本身的动力特性 动力荷载（干扰力）的变化规律 反应的大小主要取决与结构的自振频率、阻尼 5、 振型 动力特性 6、 自由振动：→自振频率、振型 强迫振动：→结构的动力反应 二、动力荷载的分类 根据动力荷载的变化规律及对结构的作用特点 1、 简谐周期荷载（图） 2、 一般周期荷载 3、 冲击荷载 锻锤对桩基础的冲击作用 爆炸的冲击压力 4、 随机荷载 地震荷载 风荷载：稳定风压；脉动风压 三、体系振动的自由度 质量的分布情况并计算质量的位移 ——> 考虑质量的惯性力 ——> 动力计算的简图 以质点的位移作为基本未知量 全部质点的独立的位移个数 ——> 体系的振动自由度 1、 单自由度的体系 一个质块、两个线位移、一个角位移、 惯性力、 惯性力矩(略去) 略去梁的轴向变形 （变形后杆上两点之间的距离保持不变） ——> 自由度 one 2、多自由度体系 三层平面刚架 水平方向的振动计算，梁、柱、楼板的质量都集中在结点上，略去梁柱的轴向变形，三 个独立的位移未知量 3、无限自由度体系

简化为有限自由度体系 4、具有质量块的体系 体系的振动自由度:与体系是否静态或超静态无关,也不一定就是质点的数目,既可以 比它多,也可以比它少 三个集中质量一个自由度 个集中质量两个自由度 集中质量法+广义坐标法:无限自由度一—>有限自由度 四、体系振动的衰减现象、阻尼力 钢结构模型、钢筋混凝土楼板、自由振动实验中所得位移(y)~时间(t)曲线的大致 形状 振幅能量损耗 振幅位置的变形能~体系的全部机械能 1、结构材料的内摩擦阻力 2、周围介质对振动的阻力 3、支座结点等构件联结处的摩擦力 4、地基土等的内摩擦阻力 阻尼结构的一个重要的动力特点 粘滞阻尼理论(伏伊特理论) (方向相反) 阻尼力阻尼系数位移速度 15-2常自由度体系的自由振动 自由振动:固有振动,初始速度,初始干扰,中途无干扰 运动微分方程:(一静一动) 力(假定方向,考虑正负)以指向Y的正方向为正 速度、加速度也以向下为正 1、重力W↓=k1y(k1的含义 2、弹性力S(t)=-k1y(t)=-k1(y+ya)↑ 3、惯性力 (t)=-my()=-m(y+ya) >Y=0: m(y, +ya)+kn(,+yd)=w (w=kuy y,=0) my,+kuya=o y+kuy =0 k1:使弹簧伸长或短缩单位长度所需之力使端点产生单位竖向位移时在端点,所需施

——>简化为有限自由度体系 4、 具有质量块的体系 体系的振动自由度：与体系是否静态或超静态无关，也不一定就是质点的数目，既可以 比它多，也可以比它少 三个集中质量 一个自由度 一个集中质量 两个自由度 集中质量法+广义坐标法：无限自由度 ——> 有限自由度 四、体系振动的衰减现象、阻尼力 钢结构模型、钢筋混凝土楼板、自由振动实验中所得位移（y）~时间（t）曲线的大致 形状 振幅能量损耗 振幅位置的变形能~体系的全部机械能 1、 结构材料的内摩擦阻力 2、 周围介质对振动的阻力 3、 支座结点等构件联结处的摩擦力 4、 地基土等的内摩擦阻力 阻尼 结构的一个重要的动力特点 粘滞阻尼理论（伏伊特理论） R= - . c  y (方向相反) 阻尼力 阻尼系数 位移速度 §15—2 常自由度体系的自由振动 自由振动：固有振动，初始速度，初始干扰，中途无干扰 运动微分方程：(一静一动) 力（假定方向 ，考虑正负） 以指向 Y 的正方向为正  速度、加速度也以向下为正  1、 重力 W  = j k y 11 ( 11 k 的含义) 2、 弹性力 S（t）= － ( ) ( ) 11 11 j d k y t = −k y + y  3、 惯性力 I（t）= －m ( ) ( ) j d y t m y y    = − +  Y = 0： m y j + y d + k y j + y d = w   ( ) ( ) 11 （w= j k y 11 j y  =0） + 11 = 0  j d m y k y + 11 = 0  m y k y 11 k ：使弹簧伸长或短缩单位长度所需之力使端点产生单位竖向位移时在端点，所需施

加的竖向力 柔度和多质量统一符号 另一种表达方式:y(1)=l(1)·f1=-myf1 初始: 振幅 初相角: 三、结构的自振周期和频率 自振周期T: 工程频率 圆频率 相频率 单自由度体系的自由振动 my(0)+kuy(o=0 y(0=Asin( ot+o) y(0+oy(o=0 =yo cost+-sin ot 单自由度体系的受迫振动 my(0)+kuy=p(t) )+a3y=P( 简谐荷载:p(1)= psin e 初始速度与位移为0 y(1) mb-)Siom+Pn、sma(伴生自由振动、纯受迫振动、稳定受 m(2-2) 迫振动) 二、一般动力荷载:p(t)→特解 瞬时冲量作用下振动 一种思维方式:离散→叠加→积分→有限元 任意干扰力p(t moJo p(rsin a(t-r)dr+ yo cos@t+sin ot 不同动力荷载下的动力反应 1叠加荷载 运动方程1)动力平衡方程 m()+k1y(1)=0 j(t)+o2y()=0

加的竖向力 11 k ＝ 11 1 f 柔度和多质量统一符号 另一种表达方式： 11 11 y(t) I(t) f m y f  =  = − 初始： 振幅： 初相角： 三、结构的自振周期和频率 自振周期 T： 工程频率 圆频率 相频率 单自由度体系的自由振动： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 11 + = + = y t y t my t k y t    → t V y t y t A t      cos sin ( ) sin( ) 0 = 0 + = + 单自由度体系的受迫振动： m p t y t y my t k y p t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11 + = + =    一、简谐荷载： p(t) = psin t 初始速度与位移为 0 t m p t m p y t         sin ( ) sin ( ) ( ) 2 2 2 2 −  + − = − （伴生自由振动、纯受迫振动、稳定受 迫振动） 二、一般动力荷载：p(t)→特解 瞬时冲量作用下振动 一种思维方式：离散→叠加→积分→有限元 任意干扰力 p(t) t V p t d y t m y t t         ( )sin ( ) cos sin 1 ( ) 0 0 0 = − + +  不同动力荷载下的动力反应 1 叠加荷载 运动方程 1）动力平衡方程 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 11 + = + = y t y t my t k y t   

两种方式 A= 另一种位移方程 f1的含义 y()=1(1)·f1 =-mijfMl T g T 位移、加速度、惯性力三个变化规律及幅值大小 4个例子 第一个例子说明图乘法 第二个例子说明超静定结构位移 第三个例子说明刚度、柔度系数 第四个例子注意力的方向 §15-3常自由度体系的受迫振动 运动微分方程 y+y=0 y(t=Asin(ot+o) 振幅 初相位 yoo 频率 mg P() y + o y- P(t)以和位移同向为正

两种方式 y(t) = Asin(t +)         =       = + − 0 1 0 2 2 0 0 tan V y V A y    另一种 位移方程 f11 的含义 11 11 ( ) ( ) myf y t I t f = −  =         = = = = = m k T g y k m T j 11 11 2 2 2 2 2        位移、加速度、惯性力三个变化规律及幅值大小 4 个例子 第一个例子说明图乘法 第二个例子说明超静定结构位移 第三个例子说明刚度、柔度系数 第四个例子注意力的方向 §15—3 常自由度体系的受迫振动 运动微分方程 0 2 + =  y  y  y(t) = Asin(t +) 振幅 A＝ 2 0 2 ( )  v yo + 初相位 0 1 0 v y tg   =  − 频率 j y g mg k g T = = = 2 11   y + 2  y = m P(t) P(t) 以和位移同向为正

、简谐荷载 P(o=Psin Ar 其中:=Bcos+C齐次解 D 特解 B cos +C+D 代入求D D+D= D+D= D y= B cos+C+ 初始条件 B=0C= y(t) 两部分组成: 伴生自由振动 纯受迫振动一一稳态受迫振动 =yy为P引起的静力位移 位移动力系数,放大系数 单自由度体系位移动力系数=内力动力系数 动力系数 频比 同向 动力位移>静力位移 极端如: 极端如:> 0极微小的振动 较大的内力和位移,尽力避免 (共振) 至少差25% 二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动

一、简谐荷载 P(t) ＝P sint + y = y = + 其中： ＝Bcos + C 齐次解 ＝D 特解 y ＝ B cos + C + D 代入求 D －D + D = －D + D = D = y = B cos + C + 初始条件 t = 0 y = y0 = 0 = v0 = 0 B = 0 C = － y(t) = － + 两部分组成： 伴生自由振动 纯受迫振动――稳态受迫振动 only discuss yt = ＝ ＝ ( = = ) = = yj yj 为 P 引起的静力位移 ＝ 位移动力系数，放大系数 单自由度体系 位移动力系数＝内力动力系数 动力系数 ＝ ＝ 频比 1) 1 同向 动力位移>静力位移 极端 如： > 0 极微小的振动 3) = =1 较大的内力和位移，尽力避免 （共振） 至少差 25% 二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动

t= dt ds=Pdt初始条件(速度和位移)自由振动 -m dt时 dy(初位移)dv(初速度)的自由振动 y(t)=Asin(t + y(t)=sintdt=sint 注意干扰力作用下的振动方程叠加法 dy(t) 杜哈梅y(t)= y(t)=yocost + sint+ 三种情况: 1)突加荷载 P(t)=0t0 5-19:t0y(t)= y(t)==yi Ly(t)max=2yi 2)短时荷载0t0有P 叠加t=0P y(t)=yj y(t)=2yjsin(t-) 2)爆炸荷载 (t) P(l-)tto 0 y(t) y(t)

t = dt ds = Pdt 初始条件（速度和位移） 自由振动 P = ma = m dv = = = dy = dt = (dt)2 t > dt 时 P0 dy (初位移) dv(初速度) 的自由振动 t = 0 y0 = 0 v0 = y(t) = Asin(t + ) A = y(t) = sintdt = sint 注意干扰力作用下的振动方程 叠加法 dy(t) = 杜哈梅 y(t) = y(t) = y0cost + sint + 三种情况： 1） 突加荷载 P(t) = 0 t0 15-19: t>0 y(t) = y(t) = = yj [y(t)]max = 2yj 2)短时荷载 0t0 有 P 叠加 t=0 P t=t0 －P 0 a) 0t0 y(t) = yj－ yj y(t) = 2yjsin(t-) ymax=2yj =2=2 2)爆炸荷载 P(t) P(1-) tt0 0 t>t0 tt0 y(t) = =yj t>t0 y(t) =

§15-3常自由度体系的受迫振动 运动微分方程 y(o=Asin( at +o) 振幅 初相位9=g.O 频率 2T k118g T mg y y+02v= P(o P(t)以和位移同向为正 简谐荷载 Psin er P()=Psim er y=) 其中:y= Bcos ot+ C sin ot齐次解 =Dsin er 特解 =y= Bcos at +Csn at +Dsin a 代入求D D8- sin e+@Sine- Psin er De O-D D=m(02-02)=y=Bm+Cm+m2-25)5ma 初始条件 B=0 m(2-0 P y(t)=

=yj{} §15—3 常自由度体系的受迫振动 运动微分方程 0 2 + =  y  y  y(t) = Asin(t +) 振幅 A＝ 2 0 2 ( )  v yo + 初相位 0 1 0 v y tg   =  − 频率 j y g mg k g T = = = 2 11   y + 2  y = m P(t) P(t) 以和位移同向为正 一、简谐荷载 P(t) ＝P sint →  y + 2  y = m Psin t y = y +  y 其中： y ＝Bcos t + C sint 齐次解  y ＝D sint 特解  y ＝ B cos t + C sint + D sint 代入求 D －D 2  sint + 2  D sint = m Psin t －D 2  + 2  D = m P D = ( ) 2 2 m  − P  y = B cos t + C sint + ( ) 2 2 m  − P sint 初始条件 t = 0 y = y0 = 0 y  = v0 = 0  B = 0 C = － ( ) 2 2 m  − P   y(t) = － ( ) 2 2 m  − P   sint + ( ) 2 2 m  − P sint

两部分组成: 伴生自由振动 纯受迫振动一一稳态受迫振动 nIy discuss→yt= m(o-02)sn e P sin e sin er o2k1[-()2] Pfu sin Ar y yi u sin At yi为P引起的静力位移 n=1-(°)2位移动力系数,放大系数 单自由度体系位移动力系数=内力动力系数 动力系数 B e频比 同向 动力位移>静力位移 极端如:0 μ→0极微小的振动 3)b=0 B →∝ 较大的内力和位移,尽力避免 (共振) 至少差25%

两部分组成： 伴生自由振动 纯受迫振动――稳态受迫振动 only  discuss  yt = ( ) 2 2 m  − P sint ＝   2 2 1 ( )   m − P sint ＝   2 11 1 ( )   k − P sint 2    2 11 1 ( )   k − ( 2  = m k11 = 11 1 mf )  2 11 1 ( ) sin    − Pf t = 2 1 ( ) sin    − y t j = yj  sint yj 为 P 引起的静力位移  ＝ 2 1 ( )   − 位移动力系数，放大系数 单自由度体系 位移动力系数＝内力动力系数  动力系数  ＝ 2 1 1 −    ＝   频比 1)  1 同向 动力位移>静力位移 极端 如：    >   → 0 极微小的振动 3)  =  =1  →   较大的内力和位移，尽力避免 （共振）  至少差 25%

二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动 ds=Pdt→初始条件(速度和位移)自由振动 Pdt Pdt 2 t>dt时P→>0 dy(初位移)dv(初速度)的自由振动 mo mo 注意干扰力作用下的振动方程叠加法 P(t) dy(t) sin o(t-r)d mo 杜哈梅→ y(o)=5 P()sin o(t-r)dr y(t)=yocos@t+ -@t+ P(T)sin a(t-r)dr 三种情况 2)突加荷载 P(t)=0t0 5-19t0y(=1 P(r)sin o(t-r)dr (-cos or)=yi(1-cos or) mo Ly(t))max=2y 2)短时荷载0→t有P 叠加t=0P a) 0<t<to

二、一般动力荷载 瞬时冲量作用下的振动  t = dt ds = Pdt → 初始条件（速度和位移） 自由振动 P = ma = m dt dv  dv = m Pdt v = 2 (0 + dv) = m Pdt 2 dy = m Pdt 2 dt = m P 2 (dt)2 t > dt 时 P → 0 dy (初位移) dv(初速度) 的自由振动 t = 0 y0 = 0 v0 = m Pdt y(t) = Asin(  t +  ) A = 2 0 2 0 ( )  v y + y(t) = m P sin  tdt = m ds sin  t 注意干扰力作用下的振动方程 叠加法 dy(t) =      sin (t )d m P( ) − 杜哈梅 → y(t) = m 1  − t P t d 0 ( )sin (  )  y(t) = y0cos  t +  0 v sin  t + m 1  − t P t d 0 ( )sin (  )  三种情况： 2） 突加荷载 P(t) = 0 t0 15-19: t>0 y(t) = m 1  − t P t d 0 ( )sin (  )  y(t) = (1 cos ) m P 2 t  − = yj (1− cost) [y(t)]max = 2yj 2)短时荷载 0 → t0 有 P 叠加 t=0 P t=t0 －P  0 a) 0<t<t0 y(t) = yj (1− cost)

b) t>to [-coso(t-to) 2)爆炸荷载 (t)P(1-一)t≤to t>to tsto y(t) P(--sin @(t-t)a t sin or (1 t>to y(t) P(I--sin o(t-t)dr yi(-cos at +sn ot-sn o(t-to) to>10t 5--4阻尼对振动的影响

b) t>t0 y(t) = yj (1− cost) － yj [1 cos ( )] 0 −  t − t y(t) = 2yj 2 sin 0 t sin  (t- 2 0 t ) ymax=2yj 2 sin 0 t  =2 2 sin 0 t =2 T t 0 sin  2)爆炸荷载 P(t) P(1- 0 t t ) t  t0 0 t>t0 t  t0 y(t) = m 1  − − t t d t P 0 0 (1 )sin (  )   =yj ) sin (1 cos 0 0 t t t t t   −  − + t>t0 y(t) = m 1  − − 0 0 0 (1 )sin ( ) t t d t P     =yj{ 0 0 sin sin ( ) cos t t t t t     − − − + }  t0 10T  → 2 §15——4 阻尼对振动的影响