第八章力法 本章主要内容 1)超静定结构的超静定次数 2)力法的解题思路和力法典型方程(显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定 基本结构的位移,可以由上一章的求位移方法求出(图乘或积分)) 3)力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构(排架) 4)力法的对称性利用问题,对称结构的有关概念四点结论 5)超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6) §8-1超静定结构概述 静力解答特征 静定结构:由平衡条件求出支反力及内力 超静定结构的静力特征是具有多余力,仅由静力平衡条件无法求出它的全部(有时部分 可求)反力及内力,须借助位移条件(补充方程,解答的唯一性定理)。 几何组成特征:(结合例题说明) 静定结构:无多余联系的几何不变体 超静定结构:去掉其某一个或某几个联系(内或外),仍然可以是一个几何不变体系, 如桁架。即:超静定结构的组成特征是其具有多余联系,多余联系可以是外部的,也可 能是内部的,去掉后不改变几何不变性 多余联系(约束):并不是没有用的,在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的, 减小弯矩及位移,便于应力分布均匀。 多余求知力:多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型(五种) 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件 1、平衡条件:即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程; 2、几何条件:也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件(边界条件)和各部分之间的变形连续条件 3、物理条件:即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法: 力法(柔度法):以多余未知力为基本未知量 位移法(刚度法):以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用: 力法与位移法的混合使用:混合法 近似方法:
1 第八章 力 法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定 基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1 超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分 可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系， 如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可 能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的， 减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等 本章主要讲力法 五、力法的解题思路(结合例子) 把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。(1)选基本结构;(2)消除基本结 构与原结构之间的差别力法 撤除原结构的所有的多余联系,用相应的多余力代替(两者等效),得到一个静定的结 构(基本结构),基本结构在外力和多余力共同作用下保持受力和变形与原结构协调, 也就是在解除约束处的位移和原结构保持一致,列出相应的位移方程(由叠加方法), 由此解出相应的多余力,以后的计算和内力图的作法(叠加出M图)同静定结构。 §8-2超静定次数n的确定 超静定次数 多余联系(约束)的数目=多余未知力的数目 二、确定方法:解除多余约束,使超静定结构成为几何不变的静定结构,去掉约束的数 目 去掉约束的方法:(结合例子说明) 1、去掉可动铰: 固定端一固定铰 刚结点一单铰: 固定铰一可动铰 切断一链杆: 2、去掉一固定铰: 固定端一可动铰: 去掉一单铰 3、去掉一固定端 切断一梁式杆: 注:1、多余约束力可以多在结构内部,也可以多在结构的外部 2、同一结构中去掉约束的方式很多,但n是一定的;基本结构不是唯一的 3、把所有多余联系均拆除(内部和外部的所有的多余联系) 4、超静定结构→静定结构(多种方法,多种形式)。但不能拆成可变或瞬变,也就是结 构中有些联系不能去除(必要联系)
2 力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D 值法、反弯点法等 本章主要讲力法。 五、力法的解题思路（结合例子） 把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。（1）选基本结构；（2）消除基本结 构与原结构之间的差别力法： 撤除原结构的所有的多余联系，用相应的多余力代替（两者等效），得到一个静定的结 构（基本结构），基本结构在外力和多余力共同作用下保持受力和变形与原结构协调， 也就是在解除约束处的位移和原结构保持一致，列出相应的位移方程（由叠加方法）， 由此解出相应的多余力，以后的计算和内力图的作法（叠加出 M 图）同静定结构。 §8-2 超静定次数 n 的确定 一、超静定次数： =多余联系（约束）的数目＝多余未知力的数目 二、确定方法：解除多余约束，使超静定结构成为几何不变的静定结构，去掉约束的数 目＝n 去掉约束的方法：（结合例子说明） 1、去掉可动铰： 1 固定端－固定铰： 刚结点－单铰： 固定铰－可动铰： 切断一链杆： 2、去掉一固定铰： 2 固定端－可动铰： 去掉一单铰： 3、去掉一固定端： 3 切断一梁式杆： 注：1、多余约束力可以多在结构内部，也可以多在结构的外部 2、同一结构中去掉约束的方式很多，但 n 是一定的；基本结构不是唯一的 3、把所有多余联系均拆除（内部和外部的所有的多余联系） 4、超静定结构→静定结构（多种方法，多种形式）。但不能拆成可变或瞬变，也就是结 构中有些联系不能去除（必要联系）
§8-3力法的基本原理 !)原结构 基本结构:将原超静定结构中去掉多 余约束后所得到的静定结构称为原结构基本结构 基本未知量:X 将原结构与基本结构进行对比: A2=0 △1+△1=0变形协调条件或位移条 件 第一下标:产生位移的地点和方向;第二下标:产生 位移的原因。 叠加原理 △1=61X1 61X1+△p=0一次力法方程 (1)61:柔度系数。X1=1作用下基本结构沿X1方向 产生的位移6=∑4=D 自由项。△np MM.dx ∑ (2)X1=2q(个) (3)多余未知力求出后,其反力、内力可由静定平衡条 件求解;也可由叠加原理求出:M=M1X1+Mp (4)可选取另外的基本结构: (5)力法综述:以超静定结构的多余求知力为基本未 知量,再根据基本结构在多余约束处与原结构位移相 同的条件,建立变形协调的力法方程,求出未知力, 从而将超静定结构的求解问题转化成静定结构的内力 求解问题
3 §8-3 力法的基本原理 原结构 基本结构：将原超静定结构中去掉多 余约束后所得到的静定结构称为原结构基本结构。 基本未知量：X1 将原结构与基本结构进行对比： 1 ＝0 11＋1P ＝0 变形协调条件或位移条 件 第一下标：产生位移的地点和方向；第二下标：产生 位移的原因。 叠加原理 11 11 1 ＝ .X 11.X1 + 1P = 0 一次力法方程 (1) 11 ：柔度系数。X1＝1 作用下基本结构沿 X1 方向 产生的位移 = EI l EI M dx 3 2 3 1 11 ＝ 1P ：自由项。 = − EI ql EI M M dx P P 8 4 1 1 ＝ (2) ( ) 8 3 X1 = ql (3)多余未知力求出后，其反力、内力可由静定平衡条 件求解；也可由叠加原理求出： M = M1X1 + M P （4）可选取另外的基本结构： （5）力法综述：以超静定结构的多余求知力为基本未 知量，再根据基本结构在多余约束处与原结构位移相 同的条件，建立变形协调的力法方程，求出未知力， 从而将超静定结构的求解问题转化成静定结构的内力 求解问题
§8-4力法典型方程 次超静定:均布荷载作用下的两跨连续梁(思路和步骤) 1)原结构,一次超静定φ等效ⅹ和支杆 2)基本结构(去掉多余联系后的静定结构),显然只要求出ⅹ1→所有的反力及 内力(静力平衡)未知量 3)等效→位移条件△1=0(求x1的条件)(内力、变形相同)也就是基本结构在 原荷载及多余力共同作用下,沿解除约束处的位移和原结构相应位移相同。 4)△1用叠加法求出 δ1X1+△1p=0,(各项含义及正负,同向为同号,和X1方向同) 5)611、Δ1P(上章位移的求解) 6)x5 7)M=Mn+X·M,,将多余力也当成作外力,不同的基本结构,中间过程不 同,但最后结果一样。 、二次超静定: ↓↓ 位移条件: 用叠加法
4 §8-4 力法典型方程 一、一次超静定：均布荷载作用下的两跨连续梁（思路和步骤） = + 1）原结构，一次超静定↔等效 x1 和支杆； 2）基本结构（去掉多余联系后的静定结构），显然只要求出 x1→所有的反力及 内力（静力平衡）未知量； 3）等效位移条件Δ1=0（求 x1 的条件）（内力、变形相同）也就是基本结构在 原荷载及多余力共同作用下，沿解除约束处的位移和原结构相应位移相同。 4）Δ1 用叠加法求出： 11X1 + 1P = 0，（各项含义及正负， 同向为同号，和 X1方向同） 5）δ11、Δ1P（上章位移的求解） 6） X ql 4 5 1 = 7） M M P X1 M1 = + • ，将多余力也当成作外力，不同的基本结构，中间过程不 同，但最后结果一样。 二、二次超静定： 位移条件： 用叠加法：
Δ △ m-“ +y+A=0(用到了位移互等定理:δ1=6)M=Mn+xM+X,M,注 意符号含义,正负问题。叠加出最后弯矩 三、三次超静定 ↓↓↓4↓4 ↓↓↓ (内力多余力是成对出现的,相应的位移条件:相对位移 位移条件 同截面→两(左、右)截面 有绝对位移,无绝对位移。 位移互等条件 从上面这几个例子,可以看出力法求超静定结构的思路: 先确定超静定次数→含有的多余约束数目→去掉所有的多余约束,用相应的多余力 代替,也就是得一静定的基本结构(内力及位移和原结枃等效)→基本结构(形式可能 很多)在原荷载及所有多余力共同作用下在解除约束处的位移和原结构相应的位移相
5 Δ1P、Δ2P Δ11、Δ21 Δ12、Δ22 { 0 0 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + + = + + = P P X X X X （用到了位移互等定理： 12 = 21 ） M = M P + X1M1 + X2 M2 ，注 意符号含义，正负问题。叠加出最后弯矩 三、三次超静定 （内力多余力是成对出现的，相应的位移条件：相对位移） 位移条件： 同截面→两（左、右）截面 有绝对位移，无绝对位移。 位移互等条件： 从上面这几个例子，可以看出力法求超静定结构的思路： 先确定超静定次数→含有的多余约束数目→去掉所有的多余约束，用相应的多余力 代替，也就是得一静定的基本结构（内力及位移和原结构等效）→基本结构（形式可能 很多）在原荷载及所有多余力共同作用下在解除约束处的位移和原结构相应的位移相
同,得位移条件→建立补充方程→求系数及自由项(基本结构的位移计算),求出所有 多余力→由静力平衡条件和叠加法解方程求出原结构的其他反力和内力,作出最后内力 图,求位移(静定结构的计算问题),求内力 1)先解除超静定结构的多余约束,用多余力代替,使原结构→静定的基本结构. 2)基本结构在原结构和多余力共同作用下在解除约束处的位移和原结构相应位置的位 移相同。 3)由位移条件列补充方程,求出多余力 4)多余力已知后,原结构的其他约束反力和内力及位移的计算问题变成静定结构的计 算问题。最后的弯矩图可由叠加法作出。 从上可见:由位移条件求出多余力,求出多余力以后,超静定结构的计算问题就变 成静定结构的计算问题,而求多余力,除了解方程组以外,系数和自由项的计算还是静 定结构的位移计算问题 超静定结构的→静定结构的位移和内力计算问题。 四、力法典型方程: 推广到n次超静定结构:对于一个n次超静定结构,有n个多余约束,解除全部多余约 束,用n个多余力代替,得一个静定的基本结构→在原结构及n个多余力共同作用下, 在n个解除约束处的位移和原结构位移相同,也就是有n个位移条件得n个一般方程 61X1+12X2+…+nXn+△1p=0 δnX1+6n2X2+…+mYn+△np=0 上面的方程组是力法方程的一般形式,它们在组成上具有一定的规律,而不论超静 定结构的次数、类型及所选取的基本结构如何,得的方程都具有上面的形式,各项表示 的意义也相同。称为力法典型方程。 式中 1、δn:主系数。基本结构在多余未知力Xi=1下在自身方向上产生的位移大小。恒为 6=∑∫ M.ds ∑∫ N-ds ∑/ng 2、δn:副系数。基本结构在多余未知力XF=1下在Xj方向上产生的位移大小。可正 负、零 M.Mds N +∑ Ods 自由项。基本结构在荷载作用下在第I个多余未知力方向上产生的位移大小 可正、负、零 △=∑∫ M. M.ds ∑∫ EA +Eugens
6 同，得位移条件→建立补充方程→求系数及自由项（基本结构的位移计算），求出所有 多余力→由静力平衡条件和叠加法解方程求出原结构的其他反力和内力，作出最后内力 图，求位移（静定结构的计算问题），求内力。 1) 先解除超静定结构的多余约束，用多余力代替，使原结构→静定的基本结构. 2) 基本结构在原结构和多余力共同作用下在解除约束处的位移和原结构相应位置的位 移相同。 3) 由位移条件列补充方程，求出多余力。 4) 多余力已知后，原结构的其他约束反力和内力及位移的计算问题变成静定结构的计 算问题。最后的弯矩图可由叠加法作出。 从上可见：由位移条件求出多余力，求出多余力以后，超静定结构的计算问题就变 成静定结构的计算问题，而求多余力，除了解方程组以外，系数和自由项的计算还是静 定结构的位移计算问题。 超静定结构的→静定结构的位移和内力计算问题。 四、力法典型方程： 推广到 n 次超静定结构：对于一个 n 次超静定结构，有 n 个多余约束，解除全部多余约 束，用 n 个多余力代替，得一个静定的基本结构在原结构及 n 个多余力共同作用下， 在 n 个解除约束处的位移和原结构位移相同，也就是有 n 个位移条件得 n 个一般方程。 11X1＋ 12X2＋＋ 1nXn + 1P ＝0 n1X1＋ n2X2＋＋ nnXn + nP ＝0 上面的方程组是力法方程的一般形式，它们在组成上具有一定的规律，而不论超静 定结构的次数、类型及所选取的基本结构如何，得的方程都具有上面的形式，各项表示 的意义也相同。称为力法典型方程。 式中： 1、 ii ：主系数。基本结构在多余未知力 Xi=1 下在自身方向上产生的位移大小。恒为 正 = + + GA Q ds u EA N ds EI M ds i i i ii 2 2 2 2、 ij ：副系数。基本结构在多余未知力 Xi=1 下在 Xj 方向上产生的位移大小。可正、 负、零 = = + + GA Q Q ds u EA N N ds EI M M ds i j i j i j i j j i 3、 iP ：自由项。基本结构在荷载作用下在第 I 个多余未知力方向上产生的位移大小。 可正、负、零 = + + GA Q Q ds u EA N N ds EI M M ds i P i P i P iP
五、力法求解超静定结构的步骤: 1、先判定其超静定次数,(含多余联系数),去掉原结构的所有多余联系,用相应的多 余力代替,得一静定的基本结构(形式可能很多,尽量简单); 2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下,在每一个去掉的多余联系处位移 和原结构相应位置的已知位移相同,建立力法典型方程 3、求方程所有系数和自由项,(静定结构的位移计算)积分法或图乘法,写出基本结构 在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图 4、解方程,求出所有多余力 5、作最后内力图(静定结构的计算问题) 梁、刚架:M=∑XM+M→Q→N 桁架:N=∑X,N+NP 组合结构: 6、校核,两方面:平衡条件(截取结构中刚结点、杆件或某一部分,应满足 ∑X=0∑y=0∑M=0);变形协调条件(多余约束处位移是否与已知位移相等) 注:选取基本结构的原则:(1)基本结构为静定结构; (2)选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便,并尽量使较多 的副系数和自由项为0 (3)较易绘M图及M图
7 五、力法求解超静定结构的步骤： 1、先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的多 余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）； 2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移 和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程； 3、求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构 在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图； 4、解方程，求出所有多余力； 5、作最后内力图（静定结构的计算问题） 梁、刚架： M = Xi Mi + M P→Q→N 桁架： N = Xi Ni + NP 组合结构： 6、校核，两方面 ：平衡条件 （截取结 构中刚结 点、杆件或 某一部分 ，应满足 X＝0 Y＝0 M＝0 ）；变形协调条件（多余约束处位移是否与已知位移相等） 注：选取基本结构的原则：（1）基本结构为静定结构； （2）选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多 的副系数和自由项为 0 （3）较易绘 M 图及 MP 图
§8-5力法计算例题 对任何超静定结构均适用,有所区别之处在系数和自由项的计算公式上。均是静定 结构的位移计算问题。对于各种具体的超静定结构,常只需计算其中的一项或两项: 1、对梁、刚架:5=25=6=XM,MAdM=2E Mds M. M.ds 2、对桁架结构: ∑∫=∑ n dsN n 6 ∑ ∑」 N, Npds xN,Np/ EA EA 3、对超静定组合结构: M-ds Nids M.Mds N.Nds 轴力杆 EA5==∑∫ ∑/MAd El 轴力杆 EA 例1:P139例题。超静定梁结构 例2:P137例题。超静定刚架 例3:P140例题。超静定桁架 例4:P142例题。超静定组合结构
8 §8-5 力法计算例题 对任何超静定结构均适用，有所区别之处在系数和自由项的计算公式上。均是静定 结构的位移计算问题。对于各种具体的超静定结构，常只需计算其中的一项或两项： 1、对梁、刚架： = EI M ds i ii 2 = = EI M M ds i j ij ji = EI M M ds i P iP 2、对桁架结构： = EA N l EA N ds i i ii . 2 2 ＝ = = = EA N N l EA N N ds i j i j ij ji . = = EA N N l EA N N ds i P i P iP . 3、对超静定组合结构： = 梁式杆 轴力杆 ＋ EA N ds EI M ds i i ii 2 2 = = 梁式杆 轴力杆 ＋ EA N N ds EI M M ds i j i j ij ji = 梁式杆 轴力杆 ＋ EA N N ds EI M M ds i P i P iP 例 1： P139 例题。超静定梁结构 例 2：P137 例题。超静定刚架 例 3：P140 例题。超静定桁架。 例 4：P142 例题。超静定组合结构
↓4444444 40 500
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§8-6对称性的利用 在建筑工程中,我们可以见到许多的对称结构,我觉得中国人喜欢对称这两个字: 历代帝王所建皇(寝)宫是对称的,死后所建坟墓也是对称的。典型的对称建筑是北京 天安门周围的建筑群,据说连故宫两侧多少块砖也是一样的,又如中山陵,西安古城墙。 现代髙层建筑也是对称结构。尤其一些庄重、重要的建筑。再看我们学校:主体建筑基 本对称,从主楼→图书馆(各楼本身对称)。 对于对称结构,我们可以利用其对称性进行简化计算。 对称结构, 包括两方面含义: 1)结构的几何形状和支承情况对某轴对称 2)杆件截面尺寸和材料性质也对此轴对称,也就是EA、E、GA也关于对称轴对 称,例。简单地将结构沿对称轴线对折,两边部分完全重合。双对称、多对称。 二、对称结构简化计算: 1、选取对称的基本结构:(结合图形) (解释:对任一对称结构受任意荷载P作用,若用力法计算,无论你基本结构如何选取,力法方程是 相同的 1X1+O12X2+o13X3+△1p=0 δ31X1+32X2+63X3+△3P=0 步骤:(1)三超;(2)用三个多余力代替多余联系,基本结构:(3)力法方程:(4)求系数和自由 项:(5)求Ⅺ;(6)静定方法或叠加法求最后内力:(7)校核 在这一计算过程中,哪些地方有可能进行简化计算?(从属、本身无法简化许多)。2)、4 也就是有两步可能得到简化,a、选一合适的基本结构,使计算简单;b、想办法使副系数等于 0(6>0,△和荷载有关)或△2=0 对于对称结构,这两点均可能实现 a)取原结构的一半进行计算,半刚架法; b)在特定条件下,使一些副系数,甚至全部副系数为0,△1=0。) ①多余未知力:正对称力(对折后,重合、大小、方向、作用点相同)、X1、X2 反对称力(对折后,大小、作用点相同,方向相反)、X3 ②M1、M2:正对称:M3:反对称图形 ③系数和自由项:在对称的基本结构上,对称单位力或反对称单位力引起的单位内力图 M会是正对称或反对称的图形,正反图乘会使副系数为0 613=61=023=632=0 ④简化的力法方程:
10 §8-6 对称性的利用 在建筑工程中，我们可以见到许多的对称结构，我觉得中国人喜欢对称这两个字： 历代帝王所建皇（寝）宫是对称的，死后所建坟墓也是对称的。典型的对称建筑是北京 天安门周围的建筑群，据说连故宫两侧多少块砖也是一样的，又如中山陵，西安古城墙。 现代高层建筑也是对称结构。尤其一些庄重、重要的建筑。再看我们学校：主体建筑基 本对称，从主楼→图书馆（各楼本身对称）。 对于对称结构，我们可以利用其对称性进行简化计算。 一、对称结构， 包括两方面含义： 1）结构的几何形状和支承情况对某轴对称； 2）杆件截面尺寸和材料性质也对此轴对称，也就是 EA、EI、GA 也关于对称轴对 称，例。简单地将结构沿对称轴线对折，两边部分完全重合。双对称、多对称。 二、对称结构简化计算： 1、选取对称的基本结构：（结合图形） (解释：对任一对称结构受任意荷载 P 作用，若用力法计算，无论你基本结构如何选取，力法方程是 相同的。 0 0 0 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 + + + = + + + = + + + = P P P X X X X X X X X X 步骤：（1）三超；（2）用三个多余力代替多余联系，基本结构；（3）力法方程；（4）求系数和自由 项；（5）求 Xi；（6）静定方法或叠加法求最后内力；（7）校核。 在这一计算过程中，哪些地方有可能进行简化计算？（从属、本身无法简化许多）。2）、4） 也就是有两步可能得到简化，a、选一合适的基本结构，使计算简单；b、想办法使副系数等于 0（δii>0，Δip 和荷载有关）或Δip=0。 对于对称结构，这两点均可能实现： a） 取原结构的一半进行计算，半刚架法； b）在特定条件下，使一些副系数，甚至全部副系数为 0，Δij=0。) ①多余未知力: 正对称力（对折后，重合、大小、方向、作用点相同）、X1、X2 反对称力（对折后，大小、作用点相同，方向相反）、X3 ② M1 、 M2 ：正对称； M3 ：反对称图形； ③系数和自由项：在对称的基本结构上，对称单位力或反对称单位力引起的单位内力图 M i 会是正对称或反对称的图形，正反图乘会使副系数为 0 13 = 31 = 0 23 = 32 = 0 ④简化的力法方程：