郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十三章 矩阵位移法

移活 概 念 (Q单先刚度矩部坐極系整体坐标系) 令整体刪度矩降(连续平架 令等效结 载 计算步骤。和算、例 忽辑变形的矩形刚架的整体分析 机作亚(连续梁程序设说

1 3 14 4 35 23 ❖基本概念 ❖单元刚度矩阵(局部坐标系)(整体坐标系) ❖整 体刚 度矩 阵 (连续 梁 ) (平面 刚架 ) ❖等 效 结 点 荷 载 ❖计 算 步 骤 和 算 例 ❖忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析 ❖上机作业 （ 连 续 梁 程 序 设 计 ）

§13-1概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础。以 矩阵作为数学表达形式,以电子计算机作为计算手段, 位一体的方法。 手算与电算的不同: 手算:怕繁,讨厌重复性的大量运算,追求机灵的计算技巧 运算次数较少的方法 电算:怕乱,讨厌头绪太多,零敲碎打的算法,追求计算过 程程序化,通用性强的方法 矩阵位移法(有限单元法)的基本思路是 先将结构离散成有限个单元,然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样,就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。 有限单元法的两个基本环节: )单元分析:建立单元刚度方程,形成单元刚度矩阵(物理关系) 2)整体分析:由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵,建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)2

2 §13-1 概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。 手算与电算的不同： 手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧， 运算次数较少的方法。 电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过 程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是： 先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。 有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)

§13-2单元刚度矩阵(局部坐标系) 单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系 的,不是新东西,但有几点新考虑:重新规定正负规则,以矩阵 的形式表示,讨论杆件单元的一般情况。 杆端局部编码与局部坐标系 E, A, I 局部坐标系中的杆端位移分量 局部坐标系中的杆端力分量 e SFie 2

3 单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系 的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵 的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。 ▪杆端局部编码与局部坐标系 e E，A，I l 局部坐标系中的杆端位移分量 u1 u2 1 v 2 v 2 q 1 q M2 Y2 X2 X1 M1 Y1 局部坐标系中的杆端力分量 {F} = 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X e e 2 2 2 1 1 1 q q v u v u e {D} = e 1 2 y x §13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）

单元刚度方程 △→F方程 由虎克定律:=2 △ X1=-N,X2=N,=(l2-1 EA EA 2 由转角位移方程,并考虑 4EIx2Ex6EⅠ △ 1-2) 2EI 4EI 6El AB2 6.+ Y,=Q 6El 12EI Ba ,+6,)+ Y2=- y(0+2)-12B16-元2) 6E

4 ▪单元刚度方程 DF 方程 1 q u 1 1 v 2 v 2 q u 2 X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 , , ( ) 1 2 u2 u1 X =-N X =N Dl = - l l EA N = D ( ), ( ) 1 1 2 2 u1 u2 l EA u u X l EA X = - =- - 由虎克定律： 由转角位移方程，并考虑： Y2 QBA = 1Y Q , AB =- 2 1 D=v -v , ( ) 2 2 1 2 2 1 2 12 ( ) 6 v v l EI l EI Y =- q +q - - ( ) 1 2 1 2 2 1 2 12 ( ) 6 v v l EI l EI Y = q +q + - ( ) 2 1 2 2 1 2 2 4 6 v v l EI l EI l EI M = q + q + - ( ) 1 1 2 2 1 2 4 2 6 v v l EI l EI l EI M = q + q + -

EA EA 0 0 2EⅠ6EI 12E 6El 6El 4EⅠ 6EI 2EI 13-6) 单元刚 EA EA 0 0 度矩阵 12E 6El 12EI6EⅠ 6El 2EⅠ 6El 4El A})(13-5) F 单元刚度方程 单元刚度矩阵的性质 1)单元刚度矩阵是杄端力用杆端位移来表达的联系矩阵 2)其中每个元素称为单元刚度系数,表示由于单位杆端位移 引起的杆端力。k第j个杆端位移分量△=1时引起的第i 个杆端力 kn=k反力互等定理

5 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X e 2 2 2 1 1 1 q q v u v u e                                 - - - - - - - - l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 6 4 0 6 2 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 6 2 0 6 4 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 k  = e e （13—5） 单元刚度方程 （13—6） 单元刚 度矩阵 ▪单元刚度矩阵的性质 1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移 引起的杆端力。 63 如 k 第 个杆端位移分量 =1时引起的第 个杆端力 M2 1 kij 三j D q j 六i ij ji k = k 反力互等定理 ? @ 2 1 @ 21 22 11 12 @ 2 1 { } { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } { }         D D         =         k k k k F @ @ @ F {F} = [k] {D}

3)单元刚度矩阵是对称矩阵。 4)第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5)一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。|[k]=0 不存在逆矩阵 k]{△} e e) F}正问题F △}反问题 M X 力学 模型 ----- 1/王 2 Y 解的区}为任何时,{0FFe F为不平衡力系时/e 性质都有唯一的解答。且总是 没有静力解 e 个平衡力系,不可能是不平F为平衡力系时A 衡力系。 有无穷多组解。 6

6 3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 不存在逆矩阵 [ ] 0 @ k = {D} e {F} e 正问题 力学 模型 将单元视为“两端有六个人工 控制的附加约束的杆件” {D} e 控制附加约束加以指定。 解的 性质 {D} 为任何值时， e {F} e 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平 衡力系。 {D} e {F} e 反问题 将单元视为“两端自由的杆 件”。 {F} e 直接加在自由端作为 指定的杆端力 {F} e 为不平衡力系时 没有静力解。 {D} e {F} e 为平衡力系时 有无穷多组解。 {D} e X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 @ @ @ {F} = [k ] {D}

n特殊单元 单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元 特殊单元的单元刚度矩阵,可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到 0 4EⅠ2EI 2EⅠ4EI 为了使计算过程程序化、标准化、自动化,只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算 机程序去自动形成。 某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的

8 ▪特殊单元 单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。 u1 =v1 =u2 =v2 =0                                 - - - - - - - - l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA 6 4 0 6 2 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 6 2 0 6 4 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2             = l EI l EI l EI l EI k 2 4 4 2 为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元 的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算 机程序去自动形成。 某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。 1q 1 2 2 q 1 2 M2 M1

813-3单元刚度矩阵(整体坐标系) 选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵 单元坐标转换矩阵 X=CosA+Y sin a Y=-Xsn a+Cosa M1=M1 X=X cosa+Y sin a Y=-XSn a+Cosa M M1=M1 2

9 •选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵 ▪单元坐标转换矩阵 X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 y x α y x α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos cos sin sin cos cos sin M M Y X Y X X Y M M Y X Y X X Y = =- + = + = =- + = +         §13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）

X cosa sina 0 000 X sIna cosa 00X1 0 0:000 0 cosa sina 0 00:-Sind cosa 0 0 0 0 (F}=[T]{F a F}=[7{F} 单元坐标转换矩阵[门是一正交矩阵。[T]=[7] 同理:{△}=[门]{4(b)→{△=[ 整体坐标系中的单元刚度矩阵 设:{F}=[k]{}将(a)、(b)代入{F=[k] [7{F}a=[][7]{△}0 T][]{FP=[Tk][7]{△}2

10 =                       @ 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X @ 2 2 2 1 1 1                       M Y X M Y X                     - - 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0         T= 单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。 T [T] [T] 1 = - 同理： ▪整体坐标系中的单元刚度矩阵 @ @ @ 设： {F} = [k] {D} 将（a）、（b）代入 （a） （b） @ @ @ [T]{F} = [k ] [T]{D} @ @ @ [T] [T]{F} = [T] [k ] [T]{D} T T @ @ {F} = [T]{F} @ @ {F} [T] {F} T  = @ @ {D} = [T]{D} @ @ {D} = [ ] {D} T T @ @ @ {F} = [k ] {D}

F)a=[T[k[门A与{F}=[k{A}比较 [k=TYK]刀,同阶性质类似 kk2「[T[区21[ [k21][k2 21 1)k表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个 杆端力分量。 2)[k@是对称矩阵。 3)一般单元的]@是奇异矩阵。 例13-1求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。1=5m,A=0.5m2,I=1/24m4 E=3×107N EA 4 El =300×10,=25×10

11 1） ij k 表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个 杆端力分量。 2）[k] @ 是对称矩阵。 3）一般单元的[k] @是奇异矩阵。 例13-1 求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。l=5m，A=0.5m2 , I=1/24m4 E=3×107kN/m2 4 4 =30010 , =2510 l EI l EA 2 1 与 比较 @ @ @ {F} = [k] {D} @ @ @ [T] [T]{F} = [T] [k ] [T]{D} T [I ] T [ ] [ ] [ ] [ ] @ @ k T k T T = [k] @，[k] @ 同阶,性质类似：                         =         [0] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [0] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 @ 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 @ 2 1 2 2 1 1 1 2 T T k k k k T T k k k k T T