山东建筑大学：《结构力学》第七章 结构位移计算

第七章结构位移计算 到上节课为止,我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计 算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。 讲第一章时,结力的第二大任务:刚度问题,而要解决….,首先应该 刚度校核 杆件结构位移计算 (结构变形+刚度位移) 截面设计 确定Pma 又是超静定结构计算的基础(双重作用)。另外本章主要讨论各种杄件结构的位移 计算问题 结构位移计算的依据是虚功原理,所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理,然后 推导出杄件结构位移计算的一般公式,再讨论各种具体结构的位移计算。 §7-1概述 、结构的位移 画图:梁、刚架、桁架(内力N、Q、M—一拉伸、剪切、弯曲) 截面C线位移:Δc。一般分解 截面C线位移:△ 成水平、垂直两方向:4c、△a 角位移:c 角位移:c B 结点的线位移 两点(截面)相对线位移: 杆件的角位移:A 两截面相对角位移 两杆件相对角位移: 1、位移定义:由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生(相对)移动(线位移), 使杆件横截面产生(相对)转动(角位移)

55 第七章 结构位移计算 到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计 算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。 讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该… 杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移） → { 刚度校核 截面设计 确定 Pmax 又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移 计算问题。 结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后 推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。 §7-1 概述 一、结构的位移 画图：梁、刚架、桁架 （内力 N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲） 截面 C 线位移：  C 角位移：  C 结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移：  AB 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移）， 使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 截面 C 线位移：  C 。一般 分解 成水平、垂直两方向： CH 、CV 角位移：  C

2、位移的分类:6种 绝对位移:点(截面)线位移一一分解成水平、垂直两方向 截面角位移 杆件角位移 相对位移:两点(截面)相对线位移一一沿连线方向 两截面相对角位移 两杆件相对角位移: 统称为: 广义位移:角、线位移;相对、绝对位移 Δki:k:产生位移的方向;i:引起位移原因。如△A、Δat、△A 广义力:集中力、力偶、分布荷载,也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用:(荷载→内力→变形→位移) 2、温度改变:静定结构,温度改变,→0应力非0应变→结构变形 (材料胀缩引起的位移性质同) 3、支座移动;(无应力,无应变,但几何位置发生变化) 奥位移(制适同 三、计算位移的目的 1)刚度验算:最大挠度的限制 (框架结构弹性层间位移限值1/450) 2)为超静定结构的弹性分析打下基础 3)预先知道变形后的位置,以便作出一定的施工措施 (起重机吊梁、板)(屋架安装)(建筑起拱)(屋窗、门、过梁)(结构要求髙,精密) 四、计算位移的有关假定(简化计算) 1)弹性假设 2)小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3)理想约束(联结,不考虑阻力摩擦) 变形体系 线性变形体系(线弹性体系) 荷载和位移呈线性关系,且荷载全撤除后位移将全部消 失,无残余变形,(可用位移叠加原理) 非线形变形体系 (分段线形叠加) 4)位移叠加原理(类似内力、反力叠加)

56 2、位移的分类：6 种 绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 统称为： 广义位移：角、线位移；相对、绝对位移 Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔAP、Δat、ΔAC 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） 2、温度改变：静定结构，温度改变，→0 应力非 0 应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） 3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化) { 刚体位移 （制造误差同） 变形位移 三、计算位移的目的 1）刚度验算：最大挠度的限制 （框架结构弹性层间位移限值 1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础 3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施： （起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密） 四、计算位移的有关假定 （简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦） 变 形 体 系 { 线性变形体系（线弹性体系） 荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消 失，无残余变形，（可用位移叠加原理） 非线形变形体系 （分段线形叠加） 4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）

§7-2变形体系的虚功原理 位移 实位移:外因作用下结构实际位移 虚位移:根据解题需要,虚设位移状态(满足变形协调+边界条件) 统称为:广义位移 二、功 力所做的功:该力大小乘以力方向上的相应位移 常力的功:T=PX△=P×D×cosa(大小、方向、作用点不变) 变力的功:T=T=,P×cos(P,ds)×ds 力偶所做的功 功两要素:力与位移P:广义力(力、力偶、相对力、相对力偶) Δ:和广义力相对应的广义位移(线、角、相对线、相对角) 注意:在定义功T时,没有说位移Δ是由力P引起的,可能由P或其它原因,但P 力照样作功 例:简支梁,两个集中力,分别作用,先后作用 PL 实功:W=1/2P 实功:W2=1/2P2△2 虚功:W=P1△12 可以看出:不论位移是否由内力引起,只要在力的作用方向上有位移,该力就对位移作 功 引出功的形式有两种 实功:力与位移相关。力在其本身引起的位移上所做的功。积分得:T=P×相对位移 /2,恒正 虚功:力与位移无关。力在由其它原因(别的力、温度变化……)引起的位移上所做 的功,T’=力×位移 注:①力:广义力;位移:广义位移 ②虚虛功并非不存在之意,力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态,只强调 作功的力与位移彼此独立无关:做功的位移不是由力引起的,而是由其它因素(其它力、 其它外因)引起的 ③作虚功的位移,并不限于荷载引起的,也可以由其它原因引起的 ④实功恒为正,虚功可正可负

57 §7-2 变形体系的虚功原理 一、 位移 实位移：外因作用下结构实际位移 虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移 二、 功： 力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移 常力的功： T＝P×Δ＝P×D×cosa （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝ s dT ＝ s P×cos（ P ，ds）×ds 力偶所做的功： 功两要素：力与位移 P：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶） Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角） 注意：在定义功 T 时，没有说位移Δ是由力 P 引起的，可能由 P 或其它原因，但 P 力照样作功。 例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。 可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作 功。 引出功的形式有两种： 实功：力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P×相对位移 /2，恒正 虚功：力与位移无关。 力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做 的功，T’＝力×位移 注：①力：广义力；位移：广义位移 ②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调 作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、 其它外因）引起的 ③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ④实功恒为正，虚功可正可负 1 2 Δ11 Δ21 P1 1 2 Δ12 Δ22 P2 1 2 P1 P2 Δ11 Δ12 Δ21 Δ22 实功：W1=1/2P1Δ11 实功：W2=1/2P2Δ22 虚功：W=P1Δ12

⑤两种功计算方法不同 本章讨论虚功原理,目的是为了研究结构的实际状态: 1)未知力:虚位移 2)求位移:虚力 所以作虚功时,力状态和位移状态是彼此无关的,其中任一可以虚设,但并不是随 便假设。 所以对于虚功,应该强调两点: 1)假设的这种虚位移(或虚力)和所研究的实际力系(或实际位移)完全无关,可以 独立地按照我们的目的而虚设 2)假设的虚位移(或虚力)在所研究的结构上应该是可能存在的位移(或力)状态 也就是:位移状态:应该满足结构的变形协调条件,边界条件 力状态:应该满足结构的平衡条件。 1、广义力和广义位移对应(虚功的几种形式) 2、无关 关于虚功的几点说明4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件 三、刚体虚功原理(简单回顾一下) 对于某一刚体体系,存在一个力状态,满足静力平衡条件 同时存在一个位移状态,满足变形协调条件+边界条件 两种状态无关 对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0 注意:力状态、位移状态可以分别是虚设的,则:虚功原理有两种形式 虚位移原理:求力 虚力原理:求位移 1、虚位移原理,求静定结构的约束力(支反力或内力)(结合例题) 步 取实际力状态,解除待求约束力的约束,用约束力代替,静定结构→可变 骤飞沿待求约束力方向虚设单位位移,以刚体体系产生的位移状态 刚体体系) 虚位移状态 →虚功原理 单位位移法:在拟求未知力X方向虚设单位位移,利用几何关系求8p 特点:利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理,求刚体体系的位移(结合例题) 单位荷载法:在待求位移方向虚加一个单位荷载(两者对应,以达作虚功的目的)

58 ⑤两种功计算方法不同 本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态： 1）未知力：虚位移 2）求位移：虚力 所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随 便假设。 所以对于虚功，应该强调两点： 1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以 独立地按照我们的目的而虚设； 2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态； 也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件 力状态：应该满足结构的平衡条件。 关于虚功的几点说明 1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式） 2、无关 3、其他外因 4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件 三、刚体虚功原理（简单回顾一下） 对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件 同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为 0。 注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式： 虚位移原理：求力 虚力原理：求位移 1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题） 步 骤 { 取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变 （刚体体系） 沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态 虚位移状态 →虚功原理 单位位移法：在拟求未知力 X 方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。 特点：利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题） 单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）

特点:用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算(结合例题 上面2的方法可以推广一下:从上节课的分析可知,静定结构在支座移动时,不产 生任何内力及变形,因此结构的位移纯属刚体位移,可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例 四、变形体体系的虚功原理 弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动 刚体体系的虚功原理不再适用,但可以将之推 由能量守恒:W+H=AEH:外部吸收的能量;W:外力所做的功 ΔE=T+UT:动能:U:变形能的增加(内力做功):E:结构能量的改变 若加载缓慢,不考虑能量损耗: W=U外力所做的功=结构形变能的变化=内力所做的功 变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功(外力虚功)= 变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形(应变)所作的虚功(内力虚功)。 2、形变能:由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量,等于加载过程中内力 所做的功: 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段:d=JMm+ons+jMao 若各微段的变形连续分布:对一杆件=「Mdm+jo+Mg 对整个结构而言:U=∑∫M+∑o+∑∫AM 3、虚功方程 ∑∫P4=∑「M+∑joh+∑jMo外力虚功=内力虚功 例

59 特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题） 上面 2 的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产 生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例： 四、变形体体系的虚功原理 1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动： 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广： 由能量守恒： W＋H＝E H：外部吸收的能量；W：外力所做的功 E＝T＋U T：动能；U：变形能的增加(内力做功)；E：结构能量的改变 若加载缓慢，不考虑能量损耗： W＝U 外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功 变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）= 变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。 2、形变能：由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力 所做的功： 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段：    du = Ndu + Qrds + Md 若各微段的变形连续分布：对一杆件    u = Ndu + Qrds + Md 对整个结构而言：       U = Ndu + Qrds + Md 3、虚功方程     P.d = Ndu + Qrds + Md 外力虚功=内力虚功 例： du rds dψ

实际力状态:外力:P ↓↓4 内力:N、Q、M满足平衡条件 实际位移状态:位移:Δ 变形: du rds do满足相容条件 虚位移状态:虚位移:aΔ 虚变形:on6nbg 虚力状态:虚外力:P 虚内力:NQMQ 虚位移原理:实际力状态+虚位移状态 ∑P△=∑Na+jn+∫Mo) 虚力原理:实际位移状态+虚力状态 ∑F△=∑∫Na 力与位移无关 力系平衡<实 虚位移原理 功能原理 虚功原理 位移相容 虚力原理 也就是说 作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件;位移和应变(变形)、位移状态应 满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的,其中一个可以虚设,计算结 构位移时应取实际的位移状态,再虚设一种平衡的力状态进行求解(虚力原理)。 2)上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系(二维板壳结构和三维块体),我 们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。 实际的力状态或虚设的力状态(内外力)均应满足的静力平衡条件 4)杆件结构的每一个杆件的位移状态(实际或虚设)均应满足:①任一微段满足应变 位移关系;②边界位移满足约束边界条件, 这两个条件即为变形协调条件,如果一个杆件的位移状态满足这两个条件,则称这 种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态

60 实际力状态：外力：P； 内力：N、Q、M 满足平衡条件 实际位移状态：位移：Δ； 变形： du rds d 满足相容条件 虚位移状态：虚位移：  虚变形： u   虚力状态：虚外力： P 虚内力： N Q M Q 虚位移原理：实际力状态+虚位移状态 ( )     P. = Nu + Q  + M  虚力原理：实际位移状态+虚力状态 ( )     P. = Ndu + Qrds + Md 注： 1） 也就是说： 作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应 满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结 构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。 2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我 们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。 3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。 4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：①任一微段满足应变～ 位移关系；②边界位移满足约束边界条件。 这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这 种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。 功能原理 力与位移无关 虚功原理 力系平衡 位移相容 虚位移原理 虚力原理 实 实 虚 虚

§7-3位移计算的一般公式(单位荷载法 、基本公式的推导: 例(P107页图75):一刚架:在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生 +-“------ 位移,要求:任一点K沿指定方向K-K的位移分量△,实际位移状态5-14a,C实际的 支座位移,ε。、γa、K。,实际的轴向应变、剪切角、曲率。 仿照刚体体系求位移方法(单位荷载法):取实际的位移状态作为位移状态,虚设 个力状态,越简单越好,且要求和Δk相对应,使虚功方程含Δ,要求对Δw作虚功, 所以沿K-K方向虚加一无量纲的单位荷载P=1(单位荷载法),则结构在虚单位荷载作 用下,支座C产生虚反力R,R",产生内力N,Q4,M组成一个平衡的力状态, 和原位移状态无关(虚)。例:5-14b) 外力虚功=P△k+RC+RC2+RC=1△k+∑R 内力虚功=∑(Nd+ords+Md 由虚力原理建立虚力方程得: 1△k+∑RC=∑∫N+joms+Ml) 因此:A=-∑RC+∑(Mdm+JMd+jods) 二、公式应用说明: 1、引起位移的外因可以是荷载,也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、 制造误差、材料胀缩等。 2、引起位移的变形可以是弯曲变形,也可以是轴向变形或剪切变形,同时含刚体位移 3、所能计算的位移可以是线位移,也可以是角位移或相对线(角)位移,也就是广义 位移。 4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构,它们可以是静定的,也可 以是超静定的 5、材料可以是弹性,也可以是非弹性的

61 §7-3 位移计算的一 般公式（单位荷载法） 一、基本公式的推导： 例（P107 页图 7-5）：一刚架：在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生 位移，要求：任一点 K 沿指定方向 K-K 的位移分量Δka，实际位移状态 5-14a，Ca实际的 支座位移，εa、γa、κa，实际的轴向应变、剪切角、曲率。 仿照刚体体系求位移方法（单位荷载法）：取实际的位移状态作为位移状态，虚设 一个力状态，越简单越好，且要求和Δka相对应，使虚功方程含Δka，要求对Δka作虚功， 所以沿 K-K 方向虚加一无量纲的单位荷载 PK=1（单位荷载法），则结构在虚单位荷载作 用下，支座 C 产生虚反力 ' Rk ， ' ' Rk ，产生内力 Nk ，Qk ，M k 组成一个平衡的力状态， 和原位移状态无关（虚）。例：5-14b） 外力虚功 = PK K + R1C1 + R2C2 + R3C3 =1.K +RC 内力虚功 ( )    = Ndu + Qrds + Md 由虚力原理建立虚力方程得： 1. K +RC ( )    = Ndu + Qrds + Md 因此：       = − RC + ( Ndu + Md + Qrds) k  二、公式应用说明： 1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、 制造误差、材料胀缩等。 2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。 3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义 位移。 4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可 以是超静定的。 5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的

6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可 以任意假设,若求得的位移为正值,则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。 7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应 1)求某点(截面)的线位移:水平、竖向、某方向、总的线位移,沿所求线位移方向 加单位力。 (方向未知时,求△cv、△aH→△c) 2)结构上某截面C的角位移,单位力偶。 3)杆件角位移θAB,加两集中力组成的单位力偶 4)A、B两点沿其连线方向的相对位移△,其连线上加两个方向相反的单位力 5)两截面相对角位移,两截面上加两方向相反的单位力偶 0c左右 6)两杆件的相对角位移

62 6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可 以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。 7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。 1）求某点（截面）的线位移：水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向 加单位力。 ΔCV ΔCV （方向未知时，求ΔCV、ΔCH→ΔC） 2）结构上某截面 C 的角位移，单位力偶。 3）杆件角位移θAB，加两集中力组成的单位力偶 4）A、B 两点沿其连线方向的相对位移ΔAB，其连线上加两个方向相反的单位力 5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。 θC左右 θAB 6）两杆件的相对角位移

6)/(7) 2) 两个方向相反的单位力偶如图,每个单位力偶由两个集中力形成 前述广义位移主要有六种形式,相应的广义力也有六种,两者一致 §7-4静定结构在荷载作用下的位移计算 一般公式 △4=-∑RC+s∫Mdm+∫Mdo+jon) 若引起位移的外因仅是荷载,即仅考虑荷载作用: 1)支座位移C=0,也无温度影响; 2)微段变形du,rds,dφ是由实际荷载在ds微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为: du,rds,dn。设NP、Q、M分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、 弯矩。 对于线弹性材料,由材料力学公式知: nds Opds M.ds EA’ypds=k 注:①杆件的拉伸刚度 剪切刚度 弯曲刚度 ②k=6=d—一剪应力沿截面分布不均匀的修正系数,和截面形状有关。 矩形截面:k=1.2 圆形截面:k=10/9 工字形截面:k=A/A1,A1(腹板面积) 薄壁圆环形截面:k=2 3)代入位移公式,得由荷载引起: A=∑∫M+∑∫Mn+∑od ∑小 Ed dsr kge N Np MMp ds 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 单位荷载法:沿所求位移方向虚设单位荷载P=1求所求结构位移的方法 、公式说明 1、N、M、:P=1引起的内力对于静定结构均可由平衡条件求解

63 两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。 前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。 §7-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、一般公式       = − RC + ( Ndu + Md + Qrds) k  若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用： 1）支座位移 C =0，也无温度影响； 2）微段变形 du，rds，d  是由实际荷载在 ds 微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为： duP，rPds，d  P 。设 NP、QP、MP 分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、 弯矩。 对于线弹性材料，由材料力学公式知： EA N ds du P P = ， GA Q ds ds k P  P = ， EI M ds d P  P = 注：①杆件的拉伸刚度 剪切刚度 弯曲刚度 ② * 2 2 2 dA b S I A k A =  ——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。 { 矩形截面：k=1.2 圆形截面：k=10/9 工字形截面：k=A/A1，A1（腹板面积） 薄壁圆环形截面：k=2 3）代入位移公式，得由荷载引起：       = Ndu + Md + Qr ds P P kP P       = + + ) . ( ds EI MM ds GA kQQ ds EA N NP p P kp 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 单位荷载法：沿所求位移方向虚设单位荷载 P = 1 求所求结构位移的方法 二、 公式说明 1、 N 、 M 、Q ： P = 1 引起的内力 对于静定结构均可由平衡条件求解

Np、Mp、Q:实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致 2、EA、EⅠ、GA:抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关 3、∫:杆件长度积分;∑:各杆件和积分值求和一一积分法 建立内力函数时,实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。 4、对于不同类型的结构,上式可以简化 )梁、刚架:以弯曲变形为主,轴向、剪切变形很小,可以略去。(结合例题说明) ∑∫ El 例:P页图710 2)桁架:只有轴力,且同一杆件的轴力N、NP及EA沿杆长度1均为常数。 A=∑∫A=∑ Nnl 例:P3页图712 3):4+不下/49+b) MM GA 般取一项,但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时,N为主要时取两项 4)组合结构 梁式杆,只考虑M 轴力杆,只考虑N MM NN ds+ 轴杆EA 5、计算基本步骤 (1)P=1;(2)Np、Mp、Qp;(3)N、M、Q;(4)代入公式 三、公式应用: 这种直接利用公式积分求位移的方法:积分法。 注意:①各杆可根据需要取不同坐标轴,列内力表达式 ②同一杆两种状态内力表示时,坐标轴应相同: ③同一杆件,两种状态下,内力正负号规定应相同 ④须对所有杆件叠加,不能遗漏

64 NP、 MP 、QP ：实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致 2、EA、EI、GA：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关 3、  ：杆件长度积分；  ：各杆件和积分值求和——积分法 建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。 4、对于不同类型的结构，上式可以简化： 1）梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去。（结合例题说明）   = ds EI MM P kp 例：P112 页图 7-10。 2）桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力 Nk 、NP 及 EA 沿杆长度 l 均为常数。  =  =  EA NN l ds EA NNP P kp . 例：P113 页图 7-12。 3）拱：      + = + + ) . ( ds EI MM ds GA kQQ ds GA N NP p P kp 一般取一项，但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时，N 为主要时取两项。 4）组合结构： { 梁式杆，只考虑 M 轴力杆，只考虑 N  =    梁式杆 轴力杆 ＋ EA NN l ds EI MM P P kp 5、计算基本步骤： （1） P＝1 ；（2） NP、 MP 、QP ；（3） N 、M 、Q ；（4）代入公式 三、公式应用： 这种直接利用公式积分求位移的方法：积分法。 注意：①各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式； ②同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同； ③同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同； ④须对所有杆件叠加，不能遗漏