山东建筑大学：《结构力学》第十三章 结构的极限荷载

第十三章结构的极限荷载 第一节概述(先作三个图) 1、材料性质的简化模型:线弹性小变形、弹塑性、全塑性三种概念, C B A C B 2容许应力法(弹性分析方法) (1)假定结构为理想弹性体,线弹性小变形,卸载变形可恢复,应力应变成正比 (2)结构的最大应力达到材料的极限应力时结构将会破坏 (3)强度条件:σm≤[0/u (4)缺点 a塑性材料的结构,在最大应力到达屈服极限,甚至某一局部己进入塑性阶段时并不破坏 b以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力不经济合理 c安全系数k也不能反映整个结构的强度储备 2、塑性分析方法:(不适用叠加原理) (1)破坏标志:结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力是的极限状态 (2)极限荷载,结构的极限状态,考虑塑性: 结构丧失承载能力,考虑安全系数。 roS≤R (3)强度条件:P≤ K 3、理想弹塑性材料:应力应变关系 4、比例加载:荷载一次加于结构,且各荷载按同一比 例增加 例子 1)一次超静定组合结构,不考虑横梁的弯曲影响和破坏(Fl= 2)比例加载 3)弹性分析(力法)(线弹性小变形):NAE=0.5P,NBD=0.98P,NCD=072P 4)P不断增大,NBD先屈服(拉杆,应力均匀):0.98Ps=Aσs,Ps=18.8KN。弹性极限状态,弹性极限荷 载(卸载后,变形完全恢复) 5)P继续增加:(塑性分析)比例加载,BD杆相当于一个常力

第十三章 结构的极限荷载 第一节 概述（先作三个图） 1、 材料性质的简化模型：线弹性小变形、弹塑性、全塑性三种概念。 0 A C B D s s 0 D A C B s 0 A 2 容许应力法（弹性分析方法）: （1） 假定结构为理想弹性体，线弹性小变形，卸载变形可恢复，应力应变成正比 （2） 结构的最大应力达到材料的极限应力时结构将会破坏 （3） 强度条件： k  u  max  [] = （4） 缺点： a 塑性材料的结构，在最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时并不破坏 b 以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力不经济合理 c 安全系数 k 也不能反映整个结构的强度储备 2、 塑性分析方法：（不适用叠加原理） （1） 破坏标志：结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力是的极限状态 （2） 极限荷载，结构的极限状态，考虑塑性； 结构丧失承载能力，考虑安全系数。 r0S≤R （3）强度条件： K P P u  3、 理想弹塑性材料：应力应变关系 4、 比例加载：荷载一次加于结构，且各荷载按同一比 例增加 4、例子 1） 一次超静定组合结构，不考虑横梁的弯曲影响和破坏（EI=） 2） 比例加载 3） 弹性分析（力法）（线弹性小变形）：NAE=0.5P，NBD=0.98P，NCD=0.72P 4） P 不断增大， NBD 先屈服（拉杆，应力均匀）：0.98PS=As，PS=18.8KN。弹性极限状态，弹性极限荷 载（卸载后，变形完全恢复） 5） P 继续增加：（塑性分析）比例加载，BD 杆相当于一个常力： s 0 D A C B

弹性塑性分两种颜色:△M=AP,NNm=NP 072P+√2AP=A,=1845,△P=346KN,P=P△P=22KN塑性极限荷载 增量法:逐渐加载法(结枃破坏,极限荷载),弹性极限荷载:线弹性小变形,变形恢复:塑性极限 荷载:结构破坏 14-2极限弯距和塑性铰、破坏机构、静定梁的计算 受拉、压杆件,应力均匀 受弯杆件:理想弹塑性材料,纯受弯,矩形截面梁 矩形截面梁 梁(纯弯曲塑性材料的矩形等截面梁,任一截面) 应力、应变、塑性区的分布图(先作三组图 Es 应变分布图 应力分布图 塑性区分布图 E汩 1)弹性阶段 弹性极限弯矩,屈服弯曲 ,…,M=x4=Bk,M,=, 屈服弯距M,=Whh2

弹性塑性分两种颜色： NAE = P， NCD = 2P 0.72Ps + 2P = A s =18.45，ΔP=3.46KN，Pj=Ps+ΔP=22.28KN 塑性极限荷载 增量法：逐渐加载法（结构破坏，极限荷载），弹性极限荷载：线弹性小变形，变形恢复；塑性极限 荷载：结构破坏。 14-2 极限弯距和塑性铰、破坏机构、静定梁的计算 受拉、压杆件，应力均匀； 受弯杆件：理想弹塑性材料，纯受弯，矩形截面梁。 一、矩形截面梁 梁（纯弯曲塑性材料的矩形等截面梁，任一截面） 应力、应变、塑性区的分布图（先作三组图） s s a s s s s s s 应变分布图 应力分布图 塑性区分布图 a) b) c) d) 1）弹性阶段 弹性极限弯矩，屈服弯曲 σ=Eε，ε=k• y， M ydA EI k A =  =    ， y y bh M  6 2 = 屈服弯距 s s s bh M W  6 2 = =

弹性抗弯截面系数W= 6 2)弹塑性阶段 σ.y,两部分组成 3)塑性流动阶段 0=O 梁在竖向荷载下轴力为 A σA,=0 A1=A2=A/2 Mn=G,A1a1+,A2a2=,(S1+S2) W=S,+s M=g n bh 塑性极限弯矩:Mn= bh2 q=1.5截面形状系数 塑性铰:(1)单向铰 一般铰:(2)承受弹性极限弯矩 一般横向荷载,不考虑Q、N的影响,结论同样适用。框架梁设计时,弯矩调幅,内力重分布。 二、具有一根对称轴的任意截面的梁 (0=0,) 1、静矩,Sn=4.a 2、塑性截面模量(系数),形心轴、中性轴:W=2S0 3、系数,截面形状系数a= M 矩形a=1.5 圆形a=1.70

弹性抗弯截面系数 6 2 bh W = 2）弹塑性阶段 0 y y s  =   ，两部分组成。 3）塑性流动阶段  =  s 梁在竖向荷载下轴力为 0  s A1 − s A2 = 0 A1 = A2 = A/ 2 ( ) Mu =  s A1a1 + s A2a2 =  s S1 + S2 Ws = S1 + S2 Mu =  sWs 塑性极限弯矩： u s bh M =  4 2 4 2 bh Ws = W W M M s s u  = = α=1.5 截面形状系数 塑性铰：（1）单向铰 一般铰：（2）承受弹性极限弯矩 一般横向荷载，不考虑 Q、N 的影响，结论同样适用。框架梁设计时，弯矩调幅，内力重分布。 二、具有一根对称轴的任意截面的梁 （σl=σy） 1、静矩： 2 2 0 A a S =  2、塑性截面模量（系数），形心轴、中性轴：Ws=2S0 3、系数，截面形状系数 W W M M s s j  = = ， M j 0 Ws =   矩形 α=1.5 圆形 α=1.70

薄壁圆环形a=1.27-1.4(一般取1.3) 工字形 a=1.1-12(一般取1.1 三、静定梁的极限荷载 破坏机构:结构出现若干个塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时,结构已丧失承载能力,达到了极限状态。 静定梁:只有一个塑性铰, 等截面:塑性铰出现于M处 P Z/2 Pul/4 P 变截面梁:塑性铰出现于 1、平衡法 2、虚功原理 结论相同(两个例子) 第三节单跨超静定梁的极限荷载 、单跨超静定梁极限荷载的方法 1)增量法2)平衡法3)虚功原理 1、集中荷载,跨中间(图14-4) 静力法:利用平衡条件确定极限荷载 PI M 机动法:利用虚功原理(机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移,外力虚功=变形虚功)确定极限荷载 Pn÷6=Mb+Mn*26P Mu 2、集中荷载,任意位移跨中 1)极限平衡法:弯矩调整法 P×01×a=M×01+M×02+M(01+02)=2M(0计+02)=2M1(1+a/b)01=2M1·1·0/b 2)虚功原理 3、均匀分布荷载,两端固定

薄壁圆环形 α=1.27—1.4(一般取 1.3) 工字形 α=1.1—1.2(一般取 1.15) 三、静定梁的极限荷载 破坏机构：结构出现若干个塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时，结构已丧失承载能力，达到了极限状态。 静定梁：只有一个塑性铰， 等截面：塑性铰出现于 M max 处 (a) Pul/4 Pu /2 /2 (b) 4 P l M u u = l M P u u 4 = 变截面梁：塑性铰出现于 Mu max M 处或 Mu min M 处 1、平衡法 2、虚功原理 结论相同（两个例子） 第三节 单跨超静定梁的极限荷载 一、单跨超静定梁极限荷载的方法 1）增量法 2）平衡法 3）虚功原理 1、 集中荷载，跨中间（图 14-4） 静力法：利用平衡条件确定极限荷载 4 2 u u u P l M M = − l M P u u 6 = 机动法：利用虚功原理（机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移，外力虚功=变形虚功）确定极限荷载   * 2 2 u Mu Mu l P = + l M P u u 6 = 2、集中荷载，任意位移跨中 1）极限平衡法；弯矩调整法 Pj×θ1×a=M j×θ1+M j×θ2+M j(θ1+θ2)=2M j(θ1+θ2)=2M j(1+a/b)θ1=2M j·l·θ1/b 2）虚功原理 3、均匀分布荷载，两端固定

1)弯矩调整法 2)虚功原理(均布荷载虚功) 4、一端固定、一端铰支,均布q: 先求x,dMc=0,x=04142,Mm不在中间,先定位置 三点结论 (1)超静定结枃极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性变形的发展过程,只需考虑最后的破坏机 构,需要确定真实的破坏机构才能求得其极限荷载值 2)超静定结枃极限荷载的计算只需考虑静力平衡条件,无需考虑变形协调条件 (3)超静定结构极限荷载不受温度变化、支座移动的影响 龙驭球书,P124。先画几个图,先写几点结论。 第四节比例加载时判定极限荷载的一般定理 1、多种破坏形式(所有破坏形式中最小破坏荷载) 2、荷载参数P(比例加载) 3、结构的极限状态满足如下三个条件 1)平衡(瞬时平衡) 2)2)屈服,自身截面的极限弯矩值。 3)3)机构条件(足够塑性铰)。(单向机构) 4、三个定理 1)上限:P≤Pk(可破坏)平衡+机构 2)下限:P≤P(极大)平衡+屈服 3)单值定理(只有一个) 5、方法:试算法。比较法(机动法)步骤 列出各种可能的破坏机构,利用弯矩调整法或虚功原理求出各相应的破坏荷载,其中最小值→P 试算法:选一个破坏机枃求出可破坏荷载,再验算在该荷载作用下的弯矩分布(结合超静定结构计算)是 否满足屈服条件。满足即 例13-3,P135。例题1、龙驭球P129,极小值定理dg/dx=0,x2-41x+212=0 b±√b2-4ac4/±V6/2-4x21=2/±√2l 2l→q 2√2M 例13-2:两跨连续梁,例13-10a图三跨连续梁(前面)虚功原理,注意中间跨 例4:P8,杨天祥书,两种方法比较:杨天祥P10 145计算极限荷载的穷举法和试算法 、穷举法(机动法):列出所有可能的各种破坏机构,由平衡条件或虚功原理求出相 应的荷载,取其中最小者即为极限荷载

1）弯矩调整法 2）虚功原理（均布荷载虚功） 4、一端固定、一端铰支，均布 q： 先求 x， = 0 dx dMC ，x=0.4142l，Mmax 不在中间，先定位置。 三点结论： （1） 超静定结构极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机 构，需要确定真实的破坏机构才能求得其极限荷载值； （2） 超静定结构极限荷载的计算只需考虑静力平衡条件，无需考虑变形协调条件 （3） 超静定结构极限荷载不受温度变化、支座移动的影响 龙驭球书，P124。先画几个图，先写几点结论。 第四节 比例加载时判定极限荷载的一般定理 1、多种破坏形式（所有破坏形式中最小破坏荷载） 2、荷载参数 Pj（比例加载） 3、结构的极限状态满足如下三个条件： 1） 平衡（瞬时平衡） 2） 2）屈服，自身截面的极限弯矩值。 3） 3）机构条件（足够塑性铰）。（单向机构） 4、三个定理 1）上限：Pj≤Pk（可破坏）平衡+机构 2）下限：Ps≤Pj（极大）平衡+屈服 3）单值定理（只有一个） 5、方法：试算法。比较法（机动法）步骤： 列出各种可能的破坏机构，利用弯矩调整法或虚功原理求出各相应的破坏荷载，其中最小值  Pj 试算法：选一个破坏机构求出可破坏荷载，再验算在该荷载作用下的弯矩分布（结合超静定结构计算）是 否满足屈服条件。满足即 Pj 例 13-3，P135。例题 1、龙驭球 P129，极小值定理 dg/dx=0，x 2 -4lx+2l2 =0 l l l l l a b b ac x 2 2 2 4 16 4 2 2 4 2 2 2 =   −  = −  − = 2 3 2 4 2 2 2 2 l M x l l q u j − = −  = 例 13-2：两跨连续梁，例 13-10a 图三跨连续梁（前面）虚功原理，注意中间跨 例 4：P8，杨天祥书， 两种方法比较： 杨天祥 P10 14-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 一、 穷举法（机动法）：列出所有可能的各种破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相 应的荷载，取其中最小者即为极限荷载

试算法:任选一种破坏机构,由平衡条件或虚功原理求出相应的荷载,并作出其弯 距图,满足内力局限条件即是:不满足再试。 例14-3试求图14-7a所示变截面梁的极限荷载 (1)穷举法(3种可能的破坏机构) 机构1:A、D处出现塑性铰 P=6=2Mn*20+Mn*30 21M 机构2:A、C处出现塑性铰 P=b=2M*日+M*36 P 7.5M 机构3:D、C处出现塑性铰 9M P-o=M*6+M*20 取P、7.5Mu (2)试算法 机构l:P21Mn ,绘出弯距图如图,C截面的弯距4MMa 机构2P=75M ,绘出弯距图如图,各截面的弯距均不大于M 146连续梁的极限荷载 先决条件,每跨都可能局部破坏 破坏机构的可能形式 1、比例加载:2、每跨内等截面,等材 跨截面可以不同,材料可以不同。 结合两跨连系梁。 (1)某一跨出现三个塑性铰或铰支端跨出现两个塑性铰 (2)相邻各跨联合形成破坏机构(不可能) 结论: 两个例子 P1:30=50×01+5001×2→P50KN ②0.2P12=16×70/64→P12=350/4=87.5(不对) q176=50×6+70×6+70×26

二、 试算法：任选一种破坏机构，由平衡条件或虚功原理求出相应的荷载，并作出其弯 距图，满足内力局限条件即是；不满足再试。 例 14-3 试求图 14-7a 所示变截面梁的极限荷载。 （1） 穷举法（3 种可能的破坏机构） 机构 1：A、D 处出现塑性铰  2 * 2 *3 3 Mu Mu l P = + l M P 21 u = 机构 2：A、C 处出现塑性铰  2 * *3 3 2 Mu Mu l P = + l M P 5 u 7. = 机构 3：D、C 处出现塑性铰  * * 2 3 Mu Mu l P = + l M P 9 u = 取 l M P u u 7.5 = （2） 试算法 机构 1： l M P 21 u = ，绘出弯距图如图，C 截面的弯距 4Mu> Mu 机构 2: l M P 5 u 7. = , 绘出弯距图如图，各截面的弯距均不大于 Mu 14-6 连续梁的极限荷载 先决条件，每跨都可能局部破坏。 破坏机构的可能形式： 1、比例加载；2、每跨内等截面，等材料；3、各跨截面可以不同，材料可以不同。 结合两跨连系梁。 （1） 某一跨出现三个塑性铰或铰支端跨出现两个塑性铰 （2） 相邻各跨联合形成破坏机构（不可能） 结论： 两个例子。 Pj·1·3θ1=50×θ1+50θ1×2  Pj=50KN ① ② 0.2·Pj12=16×70/64  Pj12=350/4=87.5（不对）  50  70  70 2 4 1 2 q j l  =  +  + 

1-4③ 0.2pn2·64=260→3.2pn260KN 02+90(01+02)=1.5P01×2+1.5P.02×2 70X 70+45+90×1.5=4.5P3 弯矩调整法比较简单,两种方法各有优缺点: 例14-4试求图14-9a所示连续梁的极限荷载 第一跨机构: 0.8Pa=Mn*26+M*6 375Mn 第二跨机构: P 2 4M a日=M*日+M*2日+M*日 第三跨机构: Pa6+P*2a6=M*日+3M*36 3.33M 第三跨首先破坏,极限荷载P 333Mn 147刚架的极限荷载 1)手算方法(轴、剪力对塑性铰的影响可以忽略不计) 2)矩阵位移法(可视情况介绍) 弯矩图轮廓,五个塑性铰的可能位置。 1)梁结构 移结构 3)组合结构 更多地采用试算法 破坏形式:塑性铰可能出现位置:A、B、C、D、 E点 4个塑性铰或一个杆上出现三个塑性铰 穷举法 机构1:C、D、E处出现塑性铰 2Pa=Mb+2M*20+M*0 P 机构2:A、C、E、B处出现塑性铰

0.2 64 260 4 1  p j12  =  3.2pj12=260KN ③ 70×θ1+90θ2+90(θ1+θ2)=1.5P·θ1×2+1.5P·θ2×2 70×θ1+45θ1+90(θ1+0.5θ1)=3P·θ1+1.5P·θ1 70+45+90×1.5=4.5 Pj·3 P=55.56KN，显然 Pj=50KN 弯矩调整法比较简单，两种方法各有优缺点： 例 14-4 试求图 14-9a 所示连续梁的极限荷载。 第一跨机构： 0.8Pa = Mu *2 + Mu * a M P 75 u 3. = 第二跨机构：  * * 2 * 2 2 a Mu Mu Mu a a P = + + a M P 4 u = 第三跨机构： Pa + P*2a = Mu * + 3Mu *3 a M P 33 u 3. = 第三跨首先破坏，极限荷载 a M P u u 3.33 = 14-7 刚架的极限荷载 1）手算方法（轴、剪力对塑性铰的影响可以忽略不计） 2）矩阵位移法（可视情况介绍） 弯矩图轮廓，五个塑性铰的可能位置。 1）梁结构 2）侧移结构 3）组合结构 更多地采用试算法 破坏形式：塑性铰可能出现位置：A、B、C、D、 E 点 4 个塑性铰或一个杆上出现三个塑性铰 一、穷举法 机构 1：C、D、E 处出现塑性铰 2Pa = Mu + 2Mu *2 + Mu * a M P 3 u = 机构 2：A、C、E、B 处出现塑性铰

P*1.5a0=4Mb P 267M 机构3:A、D、E、B处出现塑性铰 2.29M P*1.5a6+2Pa=Mb+2Mn*26+M*20+Mb 机构4:A、C、D、B处出现塑性铰 16M P*1.5a+2Pa日=M.+2M*26+M*20+M日 2.29M 取P 试算法 选择机构2,得P267M,作M图 267M.>2M 2 不满足内力平衡条件 选择机构2,得P2yy,作M图 +2M 2P*2a =Pa=2.29M 4 Mc=0.42Mn<Mn满足内力局限条件,此机构为极限状态 极限荷载P=229Mn

P*1.5a = 4Mu a M P 67 u 2. = 机构 3：A、D、E、B 处出现塑性铰 P*1.5a + 2Pa = Mu + 2Mu *2 + Mu *2 + Mu a M P 29 u 2. = 机构 4：A、C、D、B 处出现塑性铰 − P*1.5a + 2Pa = Mu + 2Mu *2 + Mu *2 + Mu a M P 16 u = 取 a M P u u 2.29 = 二、 试算法 选择机构 2，得 a M P 67 u 2. = ，作 M 图 u u u u D M M M M P a M 2.67 2 4 2 *2 2 + =  − = 不满足内力平衡条件 选择机构 2，得 a M P 29 u 2. = ，作 M 图 u u u C Pa M P a M M M 2.29 4 2 *2 2 2 + = = = − MC = 42Mu  Mu 0. 满足内力局限条件，此机构为极限状态 极限荷载 a M P u u 2.29 =