第四章三铰拱 ◆拱结构的特《点 三铰拱的支座反力和内力 算 三铰拱的合理拱轴线
1 拱结构的特点 三铰拱的支座反力和内力 计 算 三铰拱的合理拱轴线
§41拱的特点 拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构,如图。 C 水平反力 矢高f 产生负弯矩, B 可以抵消 l跨度 部分正弯矩 与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小,轴力较大(压力) 应力沿截面高度分布较均匀。节省材料,减轻自重能跨越大 跨度,宜采用耐压不耐拉的材料,如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是:拱对基础或下部结构施加水平推力,增加了下部结构的 材料用量;拱具有曲线形状施工不方便
2 拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩 与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力） 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量； 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 应力沿截面高度分布较均匀。 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 拱具有曲线形状，施工不方便. 矢高f l跨度 A B C ↓↓↓↓↓ §4.1 拱的特点
为了消除拱对支座的水平推力,可采用带拉杆的拱。如图。 吊杆一 柱 拉杆 花篮螺丝
3 为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。 拉杆 柱 花篮螺丝 吊杆
§4.2三铰拱的内力计算 一、反力计算H B H 对拱:∑MB=0 ∑MBpl 1/2 2 VB 对梁:∑MB=0 BP 1) 同理VB=Yg(2)YA B 甘由、M县所 99-9Y--9-899-99-9-9-9909-99999-91909999919-929990 反力计算公式:V=Y:VB=B:H=MC 注:该组公式仅用于:两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 三铰拱的反力与跨度、矢高(即三铰的位置)有关,而与拱 轴线的形状无关;水平推力与矢高成反比
4 一、反力计算 对拱：∑MB=0 VA=∑MBP/l 其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 =YA×l／2－P×a 是简支梁的C截 面弯矩 由 ∑MC=0 得 VA×l/2 － P×a－H×f=0 H=（VA×l／2－ P×a）／f 即 : 0 0 (3) C C M f M H = 对梁：∑MB=0 YA=∑MBP/l ∴ VA=YA （1） 同理 VB=YB （2） c ↓↓↓↓↓ P a Y l A YB 反力计算公式： 注：该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关， VA =YA ； VB =YB； H=MC 0 /f 而与拱 轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。 P H C A B f H VA VB a ↓↓↓↓↓ l/2 l/2 §4.2 三铰拱的内力计算
P 二、内力计算 N B H 1/2 1/2 A VB A B 汪:1、该组公式仅用于两底铰在 M= -HXy 同一水平线上且承受竖向荷载 QQY关R0Sc0关種sinq 2、在拱的左半跨取正右半跨取负; N=-Qsnp) shOes lilco矩达极值; 3、仍有 Q=dM/ds即剪力等零处弯 4、M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变
5 二、内力计算 M° YA P d Q° QQ＝（＝QV°× A－Pcos ）×－cosH×－sinH×sin VA H P Q N M x y NN＝－（ ＝－Q°VA sin －P）－sinHcos －Hcos 注：1、该组公式仅用于两底铰在 同一水平线上,且承受竖向荷载； 2、在拱的左半跨取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯 矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变。 M ＝VVAA××Mxx－－PP××dd－H×y M＝ M°－0 H×y c ↓↓↓↓↓ P a Y l A YB P H C A B f H VA VB a ↓↓↓↓↓ l/2 l/2 d x
1kN/m 4kN 解:(1)求反力 f 4 (2)作相应简支梁的 y(x)=,2x(1-x) A B M°图和Q°图6N m+-4m-m忽6kN 8 (3)截面几何参数 7kN 1kN/m 4kN 5kN y(x)= f x(-x) x(16-x) 16 1g=2=(1-2x)=° MIMI llN Q°图(kN) (4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 Q、N 20 (5)以x=12m的D截面 24 为例, M°图(kNm) 6
6 k N f M H V V k N V V k N C B B A A 6 4 5 8 4 4 5 16 8 4 4 12 7 16 4 4 8 12 0 0 0 = − = = = + = = = + = = ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 1kN/m 4kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN 1kN/m 8m 4m 4m 4m ( ) 4 2 x l x l f y(x)= − 解: (1)求反力 6kN 7kN 5kN 6kN (2)作相应简支梁的 M°图和Q°图 5 7 1 5 Q°图（kN） ＋ － M°图（kN.m） 20 24 D (3)截面几何参数 8 8 ( 2 ) 4 16 (16 ) ( ) 4 ( ) 2 2 x l x l f dx dy tg x x x l x l f y x − = = − = − = − = (4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 Q、N。 (5)以 x=12m的 D截面 为例， A C B D D D D 6kN 7kN 5kN 6kN
TIUIITm-cIIIIN Q图(kN)1 5 X1=121 20 M图(kNm)24 12×(16-12) 8-12 3m tgp =-0.5 4)(16-x) 16 8 =-26.5sing=-0447cos90=0894g M=M-Hy=20-6×3=2kNm H=6kN QD=QDco9-Hsin9=-1×0.894-6×(0447)=1.79kN N b=- Qp sin gp-Hcos9=-(-1)×(-0447)-6×0.894=-5.81N QD= Op cOS9-Hsin=-5×0.8946×(-0.447)=-1.79N Nb=- Qp sin-Hcos=-(-5)×(-0.447)6×0.894=-76kN 重复上述步骤,可求出各等分截面的内力,作出内力图。7
7 = −(−5)×(−0.447)−6×0.894=−7.6kN = −5×0.894−6×(−0.447)=−1.79kN = −(−1)×(−0.447)−6×0.894=−5.81kN = −1×0.894−6×(−0.447)=1.79kN N D QD sin H cos 0 =− − 右 右 QD QD cos H sin 0 = − 右 右 N D QD sin H cos 0 =− − 左 左 QD QD cos H sin 0 = − 左 左 7 1 5 Q°图（kN） ＋ － M°图（kN.m） 20 24 D D 5 1 M M Hy 20 6 3 2kN.m 0 = − = − × = m 16 y 3 12×(16 12) = − = 26.5 sin = −0.447 cos =0.894 0 = − tg 0.5 8 8 12 = − − = xD=12m 重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8 8 16 (16 ) ( ) x tg x x y x − = − = H=6kN
0.5 0.5 1.5 1.5 M图(kNm) 0.71 0.4 179 0.49 0.7q Q图(kN) 0.49 -0.40 -9 19 1.79 6 -581-7.6 778 N图(kN) 8
8 M° Hy 24 24 20 20 12 1.5 1.5 2 0.5 0.5 2 M图 (kN.m) 0.71 0.4 0 -1 0.49 -0.49 -1.79 1.79 -0.40 0.70 Q图 (kN) N图 (kN) -9.19 -6 -5.81 -7.6 -7.78
∵在荷载、跨度、矢高给 §4.3三铰拱的合理轴线 定时,H是一个常数.∴合理拱 轴线与相应的简支梁的弯矩图 在给定荷载作用下使拱内各截面弯形状相似,对应竖标成比例 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。 由M(x)=M°(x)-H(x)=0 在荷载、跨度给定时,合 可得合理拱轴线方程为 理拱轴线随∫的不同而有多 条,不是唯一的。 y(x)=M°(x)/H=f M( 小小!↓ M(x=(x)Mo=912 y q C B y(x=f M(x)4 f (7-x) l/2 1/2 三铰拱在沿水平均 勻分布的竖向荷载 作用下,其合理拱 轴线为一抛物线。 gl/2
9 在给定荷载作用下使拱内各截面弯 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。 由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0 可得合理拱轴线方程为 y（x）=M°(x)／H ∵在荷载、跨度、矢高给 定时，H是一个常数.∴合理拱 轴线与相应的简支梁的弯矩图 形状相似，对应竖标成比例. 三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。 ( ) 4 2 x l x l f = − ( ) 0 M x y(x)=f 0 MC 8 2 0 ql MC ( ) = 2 ( ) 0 l x qx M x = − A B l/2 f l/2 C l ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q q ql/2 ql/2 y x x 0 0 ( ) MC M x =f 在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。 §4.3三铰拱的合理轴线
例4-3求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+y d2x m =BD(9+y) dI Hh A 影12 12 y=Ach7x+ Bsh,ix y h y x 0 q—y 在填土重量作用下,三铰拱 0 0 B=0 的合理拱轴线是一悬链线。 h H
10 q0 q 0 +γf l/2 l/2 y x f A C B 例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy H M x y x ( ) ( ) 0 = 2 2 0 2 2 1 dx d M dx H d y = g g g q0 x H x Bsh H y = Ach + − 2 2 0 q(x) dx d M = = 0 , = 0 ; B = 0 dx dy x x = 0 , y = 0 ; = −1 0 x H ch q y g g = q 0 A g 在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。 g 0 2 2 H q dx H d y − = y ( q(x)g q 0 + y)