郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十五章 结构的动力计算（15.4-15.9）

第十五章结构的动力 结构动力计算的特点和内容 ☆单自由度体系的自由振动和强迫振动 令多自由度体系的自由振动和强迫振 主型卡振型正 今无限自由度体系的自由度 近似法求

1 ❖结构动力计算的特点和内容 ❖单自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖多自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖主振型及主振型正交性 ❖无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 ❖近似法求自振频率

§15.4两个自由度体系的自由振动 很多结构的振动问题不能按单自由度体系 计算,如多层房屋的侧向振动,不等高排架的 振动,柔性较大的高耸的结构在地震作用下的 振动等,都应按多自由度体系计算。 一、振动微分方程的建立 及自振频率和主振型计算 柔度法、刚度法

2 §15.4 两个自由度体系的自由振动 很多结构的振动问题不能按单自由度体系 计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的 振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的 振动等，都应按多自由度体系计算。 一、振动微分方程的建立 及自振频率和主振型计算 柔度法、刚度法

1、柔度法 ˆ建立振动微分方程:(建立位移协调方程) m1、m2的位移y(1)、y2(应等于体系在当时惯性力 iy(t),-m22(1)作用下所产生的静力位移 y(t)=-m1巧()61-m212()612 12(t)=-m11(o21-m22()(15-40)柔度法建立的振动微分方程 2l1 P2-1 22 P1=1 12 3

3 1、柔度法 y1 (t) y2 (t) •建立振动微分方程：（建立位移协调方程） m1、m2的位移y1 (t)、 y2 (t)应等于体系在当时惯性力 作用下所产生的静力位移。 1 1 −m y .. 2 2 − m y .. ( ), ( ) 1 1 2 2 −m y t −m y t .. .. 2 1 1 21 2 2 22 1 1 1 11 2 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     y t m y t m y t y t m y t m y t = − − = − − .. .. .. .. （15-40）柔度法建立的振动微分方程 δ11 δ21 P1=1 δ12 δ22 P2=1

频率方程和自振频率: 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动 y(O)=Y1sin(o+a)%,}是质点位移幅值 y2(t=y2 sin(at+a) (m11-)1+m212=0 振型程:我63:1502 12 m1O21Y1+(m2821)Y2=0 振微分方程 hn2.、6120频率方程:为一关于的 2 次方程。解出λ的两个根: (61m1+62m2)±√G61m+o62m2)2-4(6162-82621mm 2 求得频率:o1 体系频率的数目总 √2等于其自由度数目

4 0 1 21 2 22 1 11 2 12 = − − =       m m m m D 频率方程：为一关于λ的二 次方程。解出λ的两个根： 振型方程：其中：λ=1/ω2 Y1 ，Y2不能全为零。 2 ( ) ( ) 4( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2  m  m  m  m     m m  +  + − − = 2 2 1 1 1 , 1    求得频率：  = = 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )         Y m Y m Y Y m Y m Y = + = + ( ) 0 ( ) 0 1 21 1 2 22 2 1 11 1 2 12 2 + − = − + = m Y m Y m Y m Y       •频率方程和自振频率： 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1     = + = + y t Y t y t Y t Y1 ，Y2是质点位移幅值 2 1 1 21 2 2 22 1 1 1 11 2 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     y t m y t m y t y t m y t m y t = − − = − − .. .. .. .. （15-40）振动微分方程 体系频率的数目总 等于其自由度数目

主振型 (m161-4)1+m222=0振型方程:其中:=1/02 mo621+(m202x)2=01,y不能全为零 D m2O12 0频率方程:为一关于的二 m1O21 2022 次方程。解出λ两个根: 不能有振型方程求出H1,2的解,只能求出它们的比值。 频率的数目总等 Y,6,m1-于其自由度数目O2m2Y21 22 第一主振型 12m2 11m1-A1 第二主振型|Y2=512m 0m,Yly,Y2lY 21m1-2 主振型是体系由此主振型惯性力幅值 (3mH122m2Y2)所引起的静力位移

5 •主振型 0 1 21 2 22 1 11 2 12 = − − =       m m m m D 频率方程：为一关于λ的二 次方程。解出λ的两个根： 振型方程：其中：λ=1/ω2 ( ) 0 Y1 ，Y2不能全为零。 ( ) 0 1 21 1 2 22 2 1 11 1 2 12 2 + − = − + = m Y m Y m Y m Y       不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。 第一主振型 11 1 1 12 2 21 11    − =− m m Y Y 第二 主振型 11 1 2 12 2 22 12    − =− m m Y Y    − = − 11 1 12 2 2 1 m m Y Y 频率的数目总等 于其自由度数目 主振型是体系由此主振型惯性力幅值 ( , 2 2 ) 所引起的静力位移。 2 1 1 2  m Y  m Y Y11 Y21 2 21 2 1 m Y 1 11 2 1 m Y Y12 Y22 2 22 2 2 m Y 1 12 2 2 mY

例17-6求简支梁的自振 频率和主振型。 3 解:1)求柔度系数 P=1 11-022 243EI P=1 21 486EⅠ =O1 21±δ1 124 15 ml 1=61m+O12m =61m-612m 486EI 486EI E El 求得频率 5.69 22 ml 求得主振型: 1 12m2 12 12 2 21 22

6 例17－6 求简支梁的自振 频率和主振型。 l/3 l/3 l/3 解：1）求柔度系数 P=1 P=1 3 2l 3 2l EI l 243 4 3  11= 22 = EI l 486 7 3  12 = 21= 2 ( ) ( ) 4( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2  m  m  m  m     m m  +  + − − = 2 2 (2 ) 4( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2  m  m   m   − − = 1 11m 12m 2  =  1 11m 12m 2  =  EI ml m m 3 1 11 12 486 15  = + = EI ml m m 3 2 1 1 1 2 486 1  = − = 3 2 2 3 1 1 22 1 5.69 , 1 ml EI ml EI    求得频率：  = = 求得主振型： 1 1 11 1 1 12 2 21 11 = − =−    m m Y Y 1 1 11 1 2 12 2 22 12 − = − =−    m m Y Y m m

例17-6求简支梁的自振 频率和主振型。 l/3 l/3 3 另解:如果结构本身和质 量分布都是对称的,则主 振型不是对称就是反对称。 对称情况: 故可取半边结构计算: 1/3 5/ E =5.69 162E 反对称情况: El 22 486EⅠ 2 1=22 22

7 例17－6 求简支梁的自振 频率和主振型。 l/3 l/3 l/3 m m l/3 另解：如果结构本身和质 量分布都是对称的，则主 振型不是对称就是反对称。 故可取半边结构计算 ： 1 对称情况： EI l 162 5 3  11= 3 11 1 5.69 1 ml EI m = =   l/9 1 反对称情况： EI l 486 3  22 = 3 22 2 22 1 ml EI m = =  

例:求图示体系对称振动情况下的频率 0.25 m el 2 mEi 0.875 EI EI M 2 05 4.5 1.6875 1.125 61、El 22 612=621= E E =m(45+1635)1(45416872-41451675132 22E 2 2.8125m/EI 01===0.5%, E 21.125m/EI 02-、M2 0.943

8 例：求图示体系对称振动情况下的频率。 m m m EI EI EI l l l l m/2 m 1 2 1 0.5 M1 1 1 0.875 0.25 M 2 1 1 0 M2 0 M1 3 3 EI M M 4.5 , : 11 0 1 1 相乘  = EI M M M M 1.125 , 12 21 0 1 2 0 2 1  = =− 相乘或 ， 相乘 EI M M 1.6875 , : 22 0 2 2 相乘  = EI 4.5  11 = EI 1.125  12 = 21=− EI 1.6875  22 = 2 ( ) ( ) 4( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2  m  m  m  m     m m  +  + − − = m EI m EI 0.943 1 0.596 , 1 2 2 1 1 = = = =             = +  + −  (4.51.6875 −1.125 ) 2 1 1.6875) 4 2 4.5 1.6875) ( 2 4.5 ( 2 2 2 1 2 EI m  m EI m EI 1.125 / 2.8125 / 1 2  =

12 1.125m/E2 2161m1-A12.5m/EI-2825m/E-1 y为正时表 61 12 1.125m/EⅠ 示质量m的 22 1m1-12-2.5m/E/-1.125m/E1动方向与计算 柔度系数时置 于其上的单位 2 力方向相同 1 为负时,表示 与单位力方向 相反 mn12+m2y2Y2=m(2)()+m(-1)1=0 2 本题结束验证正交性

9 12 2.5 / 2.825 / 1.125 / 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 − = − = − = − m EI m EI m EI m m YY    11 2.5 / 1.125 / 1.125 / 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 = − = − = − m EI m EI m EI m m YY    2 1 1 1 (2) (1) ( 1) 1 0 2 1 1 1 1 2 + 2 2 1 2 2 =  + m −  = m m Y Y m Y Y Yij为正时表 示质量 mi的运 动方向与计算 柔度系数时置 于其上的单位 力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。 本题结束 验证正交性

2、刚度法:(建立力的平衡方程) 两个自由度的体系 m2y72 1=k1y1+k12y2 r2=k21, +k22v2 质点动平衡方程 mi1+F=0,m22+2=0 即:mn+k1y1+k2y2=0 m22+k21y1+k2y2=0 设:y1(t)=sin(ot+a) 结构位移形状保持不变的振 y2(t)=Y2 sin(ot+a) 动形式称为主振型或振型 特点1)两质点具有相同的频率和相同的相位角 2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变v()y2(t)=YY2=常数

10 2、刚度法：（建立力的平衡方程） 两个自由度的体系 y1 (t) r2 r1 y2 (t) y1 (t) y2 (t) r2 r1 r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2 质点动平衡方程: 即: 设: ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1     = + = + y t Y t y t Y t 特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角. 2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变y1 (t)/y2 (t)=Y1 /Y2 =常数. 2 2 m y .. 0 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 + + = + + = m y k y k y m y k y k y .. .. m1 y1 +r1 = 0, m2 y2 + r2 = 0 .. .. 1 1 m y .. 结构位移形状保持不变的振 动形式称为主振型或振型