第十五章结构的动 结构动力计算的特点和内容 单自由度体系的自由振动和强迫振动 ☆多准由度体系的自由振动和强迫振 无自由)体是的自性度 近法求”自振频 矩_阵位移
1 ❖结构动力计算的特点和内容 ❖单自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖多自由度体系的自由振动和强迫振动 ❖无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 ❖近似法求自振频率 ❖矩阵位移法求自振频率
s17-1动力计算概述 1、结构动力计算的特点和内容 °动荷载与静荷载的区别 动荷载:大小、方向或位置随时间而变,而且变得很快 静荷载:大小、方向或位置不随时间而变,或变得很慢 衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。 与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程,但动力计 算,利用动静法,建立的是形式上的平衡方程。力系中包含 了惯性力,考虑的是瞬间平衡,荷载内力都是时间的函数。 建立的方程是微分方程。 动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素: 结构本身的动力特性:自振频率、阻尼、振型。(自由振动) 荷载的变化规律及其动力反应。(强迫振动) 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为: 1)周期荷载:随时间作周期性变化。(转动电机的偏心力)
2 1、结构动力计算的特点和内容 •动荷载与静荷载的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变， 静荷载：大小、方向或位置不随时间而变， 而且变得很快 或变得很慢 衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。 •与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动 力计 算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含 了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。 建立的方程是微分方程。 •动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应 的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素： 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动） 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动） 2、动荷载分类。按起变化规律及其作用特点可分为： 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） §17-1 动力计算概述
P(t P 简谐荷载〈按正余弦规律变化) 一般周期荷载 2)冲击荷载:短时内剧增或剧减。(如爆炸荷载) PP P(t) tr 3)随机荷载:(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。(如地震荷载、风荷载)
3 偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载. θt P(t ) t P t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P t P(t ) t tr P tr P 3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）
3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的,严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难,常作简化如下: 1)集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点,将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。 m+0m柱 m>>m梁 e 厂房排架水平振动 时的计算简图 单自由度体系 三个自由度体系 4
4 3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由 度体系。计算困难，常作简化如下： 1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一 个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。 m m>>m梁 m +αm梁 I I 2I m+αm柱 厂房排架水平振动 时的计算简图 单自由度体系 三个自由度体系
三个自由度 三个自由度 水平振动时的计算体系 构架式基础顶板简化成刚性块 多自由度体系 复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
5 水平振动时的计算体系 多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块 θ(t) v(t) u(t) 三个自由度 三个自由度 复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
2)广义坐标法将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线Yx y(x) ∑ a11(x) q13q2…,92为满足位移边界条件已知函数称为 于是近似设变形曲线为:(广义坐标) 形状函数,a1a2,an为待定的参数 烟囱底部的位移条件:y=0 y(x)=a1x2+a2x3+…+anx1n个自由度体系 简支梁的位移条件y(0=0,y()=0 于是近似设变形曲线为: (x)=∑ a, sin k/a n个自由度体系
6 x y(x) 2）广义坐标法 将无限自由度体系化成 有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线 = = n i i i y x a x 1 ( ) ( ) 1 2 2 , ,..., 为满足位移边界条件已知函数,称为 形状函数, a1 , a2 , …an为待定的参数（广义坐标）。 •烟囱底部的位移条件: = 0, = 0 dx dy y 于是近似设变形曲线为: 3 1 2 2 1 ( ) .... + = + + + n n y x a x a x a x n个自由度体系 •简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0 于是近似设变形曲线为: = = n k k l k x y x a 1 ( ) sin n个自由度体系
几点注意 1)对于具有集中质量的体系,其自由度数并不一定等于集 中质量数,可能比它多,也可能比它少。 2)体系的自由度与其超静定次数无关。 3)体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4)在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度, 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度
7 几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。 2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度， 动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度
817-2单自由度体系的自由振动 单自由度体系动①具有实际应用价值,或进行初步的估算 力分析的重要性②多自由度体系动力分析的基础。 自由振动(固有振动):振动过程中没有千扰力作用,振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的 、自由振动微分方程的建立(依据原理:达朗伯原理) 1、刚度法从力系平衡角度建立的自由振动微分方程 m+ky=0.…(a k my 2、柔度法 从位移协调角度建立的 自由振动微分方程 ky 取振动体系为研究对象, 惯性力:f=-my6=1k my y=f/=(-m1)5……b) 8
8 单自由度体系动 力分析的重要性 ①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 ②多自由度体系动力分析的基础。 自由振动(固有振动)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。 一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理） m k k y(t) y(t) m 1、刚度法 y ky m 从力系平衡角度建立的自由振动微分方程 2、柔度法 从位移协调角度建立的 自由振动微分方程 取振动体系为研究对象， 惯性力： δ=1/k my + k y = 0........(a) .. my .. my .. f my I = − .. y f ( my) .......(b) = I = − .. §17-2 单自由度体系的自由振动
自由振动微分方程的解 m+k=0(a)→并+02y=00=, Vm y(t)=Isin @t+C? cost T y(0)=v0→C1 y(0=y0→(2=y0 Vo/a y(t)=yo cost+sin at y(t)=asin(ot+a)
9 二、自由振动微分方程的解 ( ) mk w = y ( t ) = asin( wt + a ) ( ) cos sin 0 0 w w = w + t v y t y t ( 0 ) 0 2 0 y = y C = y ( ) sin cos 1 2 y t = C wt + C wt y ( t ) t y 0 －y 0 y (t ) t v 0 /ω － v 0 /ω T t a － a T α/ω my +ky = 0 ( a ) .. 0 2 y + w y = .. ( 0 ) 0 0 1 w = = v y v C
y(t=asin(@+a-asinacost+acosasinat y(t)=yo cos@t+sin at 0 振幅 v a=y6+ casina - acos 2 O 无阻尼自由振动是简谐振动初始相位角a=g120 结构的自振周期 y()=asm(+a)=asin(Ot+a+2z)=asin(o(+2)+a)=y×32 2兀 周期函数的条件:y(t+T)=y(t) 2丌 y(t)=asin(+a)是周期函数,且周期是: 频率/=r=2z 圆频率:O=m=2f 每秒钟内的振动次数 2秒内的振动次数 10
10 y(t )=asin(wt+a) ( ) cos sin 0 0 w w = w + t v y t y t 0 1 0 v y tg w a − = 2 2 2 0 0 , v a y w = + 0 acos v w = 0 y =asina =asina coswt+acosasinwt 振幅: 初始相位角: 三、结构的自振周期 y(t)=asin(wt+a) ) 2 ( w ) )= y t+ 2 sin( ( a w =asin(wt+a +2 )=a w t+ + 周期函数的条件: y(t+T )=y(t ) y(t)=asin(wt+a) 是周期函数,且周期是: w 2 T = 频率: w 2 1 = = T f 每秒钟内的振动次数. 圆频率: f T w 2 2 = = 2π秒内的振动次数. 无阻尼自由振动是简谐振动
