基本柳念 极限玩具计算 ☆超静定梁的极限行载 定极跟荷载的严定理 网继的极荷载 苓习题课
1 ❖基本概念 ❖极限玩具计算 ❖超静定梁的极限荷载 ❖判定极限荷载的一般定理 ❖刚架的极限荷载 ❖习题课
由此看到,①材料加载是弹塑性的,卸载是弹性的; ②经历塑性变形之后,应力与应变之间不再存在单值对应关系。 要得到弹塑性解答,需要追踪全部受力变形过程,所以结 构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。 而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程,直接研 究论结构的破坏状态求出极限荷载,因而比较方便。 塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性 材料;对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法 塑性分祈考臆材料的塑性,按照结构丧失承载能力的极限 「状忞来计算结构所能承受的荷载的极限值。极限荷载 塑性设计法PsP]=k从整个结构的承载能荷载不再增加 k力考虑,更切合实际 变形继续增加 塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同 3、理想弹塑性材料 0<0,,0=EE -σ,,σ不增,ε继续增加。 卸载4o=EAE
2 §19-1 概述 1、线弹性体系 弹性分析 弹性设计法 脆性材料 塑性材料 jx b jx s = = k jx = max [] 弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的σmax>[σ]，作为衡 量整个结构破坏的标准。事实上，对于塑性材料的结构（特别是 超静定结构）当σmax=[σ] 时，结构还没破坏。因此弹性设计法 不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济的。 2、塑性分析 极限荷载 考虑材料的塑性，按照结构丧失承载能力的极限 状态来计算结构所能承受的荷载的极限值。 塑性设计法 k P P P jx [ ]= 从整个结构的承载能 力考虑，更切合实际。 3、理想弹塑性材料 ε σ •σ< σy ，σ=Eε σy εy •σ =σy ，σ不增，ε 继续增加。 •卸载 Δσ =EΔε 小变形、应力与应变成正比、位移与荷载呈线性关系，无残余变形。 结构在正常使用情况下，弹性分析能给出相当精确的结果。 荷载不再增加， 变形继续增加 塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同。 由此看到，①材料加载是弹塑性的，卸载是弹性的； ②经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系。 要得到弹塑性解答，需要追踪全部受力变形过程，所以结 构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。 而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程，直接研 究论结构的破坏状态求出极限荷载，因而比较方便。 塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性 材料；对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法
§19=2极限弯矩、準性铰、极限状态 极限弯矩 随着M的增大,梁会经历 (a) (b) (c) (d) 0=E2,M=EkM,=ba,(弹性极限弯矩,或屈服弯矩 弹塑性阶段(c)在弹性核内,应力按线性分布, k 弯矩与曲率呈非线性。 M 3 k 塑性阶段(d)弹性核消失,整个截面达到 bh 塑性流动,弯矩达到极限弯矩M。 极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。 它主要与0和截面形状尺寸有关,剪力对它的影响可忽略不计。 =1.5矩形截面 °截面形状系数 =16/3圆形截面 M,|≈1.15工字形截面
3 σ σ （b） 一、极限弯矩 随着M的增大，梁会经历 •弹性阶段（b） y y bh M 6 2 = （弹性极限弯矩，或屈服弯矩） •弹塑性阶段（c） •塑性阶段(d) 弹性核消失，整个截面达到 塑性流动 ，弯矩达到极限弯矩Mu . h b y z （a） σy σy （b） σy σy （c） σy σy （d） 在弹性核内，应力按线性分布， 弯矩与曲率呈非线性。 y 0 u y bh M 4 2 = 极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。 它主要与σy和截面形状尺寸有关，剪力对它的影响可忽略不计。 •截面形状系数 = = = 工字形截面 圆形截面 矩形截面 1.15 16 3 1.5 y u M M E M EIk y = = , , = − 2 3 2 k M k M y y §19-2 极限弯矩、塑性铰、极限状态
其它截面 A,=A1 形心轴 等面积轴 A 随着M的增大,梁会经历 (b) (d) 弹性阶段(b)应力按直线分布,中性轴通过形心 极限状 态时中 ·弹塑性阶段(c)中性轴的位置随弯矩的大小而变。性轴平 ·塑性阶段(d)截面达到塑性流动 分截面 面积即 截面轴力为零:→a,41-0,A2=0→A=4-2 等分截 Mn=,(S1+S2)=G,W 轴 1、S2分别为拉、压区面积对中性轴(等分截面轴)的静矩。 W称为塑性截面模量
5 形心轴 σy σy （b） σy σy （c） y 0 σy σy （d） 随着M的增大，梁会经历 •弹性阶段（b）应力按直线分布，中性轴通过形心。 •弹塑性阶段（c） •塑性阶段（d） 截面达到塑性流动 中性轴的位置随弯矩的大小而变。 截面轴力为零： Mu = y S + S = y Wy ( ) 1 2 S1、S2 分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。 Wy称为塑性截面模量。 A1 A2 = A1 其它截面 等面积轴 极限状 态时中 性轴平 分截面 面积即 等分截 轴。 2 1 2 0 1 2 A y A − y A = A = A =
已知材料的屈服极限 80 σ,=240MPa,求截 A 面的极限弯矩。(mm) A 应力的单位用(Pa)长度单位120 等分截面轴 用(m)力的单位用(N)得 到弯矩单位(Nm) 20 20 240×100×(0.08×002×0.05+0.02×0.04×0.02)×2 46080(N.m)=4608(kNm) 或者应力的单位用(MPa)长度单位用(mm)力的单位用 (N)得到弯矩单位(N,mm) M,=240×(80×20×50+20×40×20)×2 =460800002=4608(kNm)
6 A1 120 20 20 20 已知材料的屈服极限 80 σy =240MPa， 求截 面的极限弯矩。(mm) 等分截面轴 A2 ( ) 46080( . ) 46.08( . ) 240 10 0.08 0.02 0.05 0.02 0.04 0.02 2 6 N m k N m Mu y S = = = + = 应力的单位用（Pa）长度单位 用（m）力的单位用（N）得 到弯矩单位（N.m） 或者应力的单位用（MPa）长度单位用（mm）力的单位用 （N）得到弯矩单位（N.mm） ( ) 46080000( . ) 46.08( . ) 240 80 20 50 20 40 20 2 N mm k N m Mu = = = +
二、塑性铰:当截面达到塑性流动阶段时,极限弯矩保持 不变,C截面的纵向纤维塑性流动(伸长或缩短),于是 两相邻截面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性 铰 塑性铰与真实铰的区别 塑性铰限弯矩单向铰卸载而消失位置随荷载的分 承受极 布不同而变化 真实铰不承受双向铰不消失 位置固定 P P
7 二、塑性铰：当截面达到塑性流动阶段时，极限弯矩保持 不变， C 截面的纵向纤维塑性流动（伸长或缩短），于是 两相邻截 面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性 铰。 Mu Mu P C P C 塑性铰与真实铰的区别 塑性铰 真实铰 承受极 限弯矩 不承受 弯矩 单向铰 双向铰 卸载而消失 不消失 位置随荷载的分 布不同而变化 位置固定 C Pu
横向荷载通常剪力对承载力的影响很小,可忽略不计,纯弯 导出的结果横弯仍可采用。 弹塑性分析全过程 ·在加载初期,各截面弯矩≤弹性极限弯矩M→某截面弯矩=M 弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载P。 当P>P、,在梁内形成塑性区 随着荷载的增大,塑性区扩展→形成塑性铰,继续加载,一形 成足够多的塑性铰(结构变成破坏机构 三、极限状态 当结构形成足够多的塑性铰时,结构变成几何可变体系 (破坏机构),形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为 结构的极限状态,此时的荷载即为极限荷载。 如果只限于求结构的极限荷载,可不考查其实际的内力和 变形情况,将破坏机构作为分析对象,根据极限状态结构的内 力分布,按平衡条件求极限荷载,这种方法称为极限平衡法
8 •横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯 导出的结果横弯仍可采用。 •在加载初期，各截面弯矩≤弹性极限弯矩My→某截面弯矩= My 弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载Py。 •当P>Py，在梁内形成塑性区。 •随着荷载的增大，塑性区扩展→形成塑性铰，继续加载，→形 成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。 三、极限状态 当结构形成足够多的塑性铰时，结构变成几何可变体系 （破坏机构），形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为 结构的极限状态，此时的荷载即为极限荷载。 如果只限于求结构的极限荷载，可不考查其实际的内力和 变形情况，将破坏机构作为分析对象，根据极限状态结构的内 力分布，按平衡条件求极限荷载，这种方法称为极限平衡法。 弹塑性分析全过程
P 例19-1求图示简支梁的Pu 静力法:根据平衡条件 4M Mu 得:P 4 机动法:采用刚塑性假设 画机构虚位移图 虚功方程: M by×=0 :20 24 D=SW 6= Q寸I 极限平(静力法 衡法求 根据塑性铰截面的弯矩M,由平衡方程求出 极限荷载机动法 利用机构的极限平衡状态,根据虚功方程求得
9 P l l 例19-1求图示简支梁的Pu。 P 4 P l M u u = 4 P l M u u = 静力法：根据平衡条件 得： l M P u u 4 = θ 2θ Mu Mu Δ 机动法：采用刚塑性假设 画机构虚位移图 l 2 = 虚功方程： Pu −Mu 2 =0 l M P M u u u 4 =2 = 静力法： 根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出 极限平 衡法求 极限荷载 机动法： 利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得
§17-3超静定梁的极限荷载 1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁必须出现足够多个塑性铰,才变成机构,从而丧失 承载能力,破坏 P 弹性阶段(P<P) B 弹塑性阶段(P<P<P 12 12 A截面形成塑性区→→扩大 Pl P<P →C截面形成塑性区 32 B →A截面形成第一个塑性铰. M 塑性阶段MA=M不增 P <P<P B 增 u C截面形成第二个塑性铰 B (P→Pu) 10
10 1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁必须出现足够多个塑性铰，才变成机构，从而丧失 承载能力，破坏。 P l/2 l/2 •弹性阶段（P≤Py） P≤Py A C B A C B Pl 32 6 Pl 32 5 •弹塑性阶段（Py<P<Pu） A截面形成塑性区→扩大 →C截面形成塑性区 → A截面形成第一个塑性铰. Py <P<Pu A C B MU •塑性阶段 （P → Pu） MA =Mu不增 MC增→ Mu C截面形成第二个塑性铰 Pu A C B MU MU §17-3 超静定梁的极限荷载
求极限荷载 P B 静力法根据极限状态的弯4 矩图,求极限荷载 6M, +M,→P1=1 MAum B 42 A 6 机动法根据虚功方程求Pu 6M 269 -(Nx0+NN)=0 1)如能事先判断出超静定梁的破坏机构,就无须考虑结构的弹塑 性变形的发展过程,直接利用机构的平衡条件求Pn。 2)超静定结构极限荷载的计算,只需考虑平衡条件,而无须考虑 变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。 3)超静定结构极限荷载,不受温度改变,支座移动等因素的影响。 4)假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则: ①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范 围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时,负塑性铰 只可能出现在固定端处
11 Pu A C B MU MU 求极限荷载 •静力法 根据极限状态的弯 矩图,求极限荷载 l M M P P l M u u u u u 6 4 2 = + = •机动法 根据虚功方程求Pu Pu A B θ 2θ Mu Mu Δ l 2 = MU Pu −(Mu 2 +Mu )=0 l M P u u 6 = 1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑 性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求Pu。 2）超静定结构极限荷载的计算, 只需考虑平衡条件，而无须考虑 变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。 3）超静定结构极限荷载，不受温度改变,支座移动等因素的影响。 4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则： ①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范 围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰 只可能出现在固定端处
