§96对称结构的计算■ 、结构的对称性:对称结构是几何形状支座、刚度都对称 E El 」↑个↑ E EI El P 对称轴 对称轴 2、荷载的对称性: 反对称荷载对称轴 对称荷载——绕对称轴 q P 对折后,对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向 i P P 反对称荷载—绕对称 轴对这后,对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。 对称轴 对称荷载
1 §9.6 对称结构的计算 对称结构是几何形状、支座、刚度都对称. EI EI EI 1、结构的对称性： 对称轴 对称轴 l/2 l/2 a/2 a/2 EI1 EI1 EI2 EI2 2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对这后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。 对称轴 对称轴 EI EI 对称轴 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P P1 P1 对称荷载 对称轴 ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q P P 1 P1 m 反对称荷载
任何荷载都可以分解成对称荷载十反对称荷载。 P/kaap/ P/2ka1-a-4P/2 P2F W W 一般荷载 对成荷载 反对称荷载 PI=F+w, P2=w-F 2
2 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。 P P1 P2 一般荷载 a P/2 F F 对成荷载 a a P/2 W W 反对称荷载 P/2 a a P/2 P1=F+W，P2=W—F
3、利用对称性简化计算: 1)取对称的基本体系(荷载任意,仅用于力法) 63=631=623=632=0 P X1=1 61X1+2X2+△1p=0 X X, P2 21X1+62X2+△2P=0 X 63xX2+△3p=0 力法方程降阶 一般荷载 如果荷载对称,M对称, 2=1X2 3p=0,X3=0; M 如果荷载反对称,M反对 称,A1p=0,42p=0,X=2=0。 对称结构在对称荷载作用下,内力、变形及位移是对称的 对称结构在反对称荷载作用下,内力、变形及位移是反对称的。 3
3 3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法) P P2 一般荷载 X3 X2 X1 X2 X1=1 M1 X2=1 X2 M2 X3=1 M3 13 = 31 = 23 = 32 = 0 0 0 0 33 3 3 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + = + + = + + = P P P X X X X X 力法方程降阶 如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对 称，Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的
2)取等代结构计算(对称或反对称荷载,适用于各种计算方法) ①对称结构在对称荷载作用下,内力、变形及位移是对称的。 a)位于对称轴上的截面的位移u=0、0=0,内力gc=0 M P P P P P 对称:u。=0,0=0 中柱:ν=0 P P对称:u,=0, 缓C c)偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法:将对称轴 上的刚结点、组合结点化成固定端;铰结点化成固定铰支座 对小:。 b)奇数跨对称结 中柱:v=0 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。 等代结构 4
4 EI EI EI ①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移 ， 内力 P P C uc=0、θc=0 P P QC=0 QC P C 等代结构 b）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。 对称：uc=0,θc=0 中柱：vc=0 P P C C P 等代结构 P P C 对称：uc=0, θc=0 中柱：vc=0 P P C 对称：uc=0 中柱： vc=0 P 等代结构 c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 NC NC MC 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法)
②对称结构在反对称荷载作用下,内力、变形及位移是反对称的。 a)、位于对称轴上的截面的位移vc=0,内力N=0,MC=0 b)奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆 EI P C)偶数跨对称结构的等代结构 EI 将中柱刚度折半,结点形式不变 2EI 2EI 等代结构 EI P 2EI EI 等代结构 等代结构
5 P P C 2EI EI EI EI ②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）、位于对称轴上的截面的位移 ， 内力 P P vc=0 P P NC=0，MC=0 QC P C 等代结构 P 等代结构 P 等代结构 C P P C 2EI P P C 2EI EI EI NC NC MC c）偶数跨对称结构的等代结构 将中柱刚度折半，结点形式不变 b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
利用对称性计算要点 ①选取等代结构; ②对等代结构进行计算,绘制弯矩图 ③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图; ④非对称荷载分成对称和分对称荷载。 EI EI 例:绘制图示结构的内力图。 EI 2EI EI 6m 6m EI 81 EI 103.5:207 kNm 等代结构 kN.m 135 6m 多8 396猴 等代结构的计算
7 198 103.5 81 135 kNm 例：绘制图示结构的内力图。 ↑↑↑↑↑↑↑ EI EI EI 6m 6m 23kN/m 等代结构的计算 103.5 81 135 M K kN·m 198198 103.5 81 135 kNm 396 207 等代结构 利用对称性计算要点： ①选取等代结构； ②对等代结构进行计算，绘制弯矩图； ③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图； ④非对称荷载分成对称和分对称荷载。 EI EI 2EI EI EI 6m 6m 6m ↑↑↑↑↑↑↑ 46kN/m
Pl P/2 12 P 12 常数 12 12 12 P/2 P/2 P/2 解:81x1+△1p=0 1·-·1+-·l●1= 基本体系 61E/(1°2 4EⅠ ●—● ● E/2844 gEl Pl 6 X1=1 先叠加等代结构的弯矩图 双
8 P P EI=常数 l/2 l/2 l/2 P/2 P/2 l/2 P/2 l/2 l/4 P/2 l/2 l/4 X1 基本体系 l/2 X1=1 P/2 l/2 4 pl 1 Mp M 解: 11 x1+Δ1P=0 11= Δ1P= EI l l EI 4 3 1 1 4 1 2 1 1 1 = • • + • • EI Pl Pl l Pl l l EI 2 8 4 4 8 1 1 2 = • • + • • X1= 6 Pl − 先叠加等代结构的弯矩图 12 Pl 6 Pl 12 Pl
P P C B 作图示刚架的弯矩图。g1 EI=常数 P P 12.12122 多A P l/8 P/8 B P P Pl/8 Pl/ P B
9 作图示刚架的弯矩图。 EI=常数。 P P P P P P A B C P C B Pl/8 Pl/8 Pl/8 Pl/8 P P P P l/2 l/2 l/2 l/2 A B C l/2 l/2
例题:用力法计算图示结构并作M图。EI-常数 4kN m 2KN2KN 4kN. m M图(kNm) 41 m 41 m 4m 4m 4kN. m 解:δ1x1+△1p=0 X1=1 4°4·24 256 +44·4 EI 2 BEI 4kN 64 4·4·4= E El X
10 例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。 2kN 4kN.m 4m 4m 2m 4m 4kN.m 4m 4m 4m 4kN.m 4kN.m X1=1 4 M MP 4kN.m 4 解: 11 x1+Δ1P=0 4 3 11 1 1 = − = − P X 64 4 4 4 1 1 = • • = P EI EI 3 256 4 4 4 3 2 4 4 4 2 1 1 11 = + • • • = • • • EI EI 1 3 3 4 1 M图(kN.m) 2kN 2kN
无弯矩状态的判定 在不考虑轴向变形的前提下,超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力,只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种: 1)一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用,只有该杆有轴力。 P P P P M=0 P M=0 2)一集中力沿一柱铀 作用,只有该柱有轴力 3)无结点线位移的结构 P 受结点集中力作用,只有轴力。 MP=0△1P=081>0 1=△1p/61=0M=M1X1+Mp=0 M=0
11 无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。 －P M=0 2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力. －P M=0 M=0 3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 MP=0 Δ1P=0 δ11>0 X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0 P P P P P