第二章平面体系的机动分析 主要讨论平面杆件结构的组成规律和合理形式 §2-1几何构造分析的几个概念 、平面杆件结构和平面杆件体系 [结构(从几何):一维杆件(平面+空间)、二维平面(板壳、薄壁)、三维空间 (实体)。狭义研究: 平面杆件结构:两个特点(构筑物、建筑物)简支梁(桥) 1)所有杆件的轴线在一个平面内 2)承担荷载(作用在该平面内)、骨架作用:位置、几何形状不随时间变(不 考虑材料应变) 平面杆件体系几种形式:结合例子 1)几何不变体系:有斜撑的桁架(水平、竖向、力矩) 体系受到任意荷载作用后,若不考虑材料的应变,而能保持其几何形状不变, 位置不变。 静定+超静定:多余联系+全部反力及内力的确定 2)几何可变体系:四连杆机构(筛子)体系受到任意荷载作用后,即使不考虑 材料的应变,其几何形状、位置可变。又有两种形式: 几何常变体系:原为几何可变体系,经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何 可变体系,为。 几何瞬变体系:原为几何可变体系,经微小位移即转化为几何不变体系,称为, 它是可变体系的特殊情况。 如图:施加任意荷载P,变形任意小的θ角,由结点2的平衡条件:2Nsin=P N=P/2sin0→∞、支座反力→∞ 几何体系划分 几何不变体系 几何可变体系:几何常变体系 瞬变体系(从不能平衡到平衡的过程中,会产生巨大的内力 或支座反力,使结构破坏,绝对不能应用于工程中)
第二章 平面体系的机动分析 主要讨论平面杆件结构的组成规律和合理形式 §2-1 几何构造分析的几个概念 一、平面杆件结构和平面杆件体系 [结构（从几何）：一维杆件（平面+空间）、二维平面（板壳、薄壁）、三维空间 （实体）。狭义研究： ] 平面杆件结构：两个特点（构筑物、建筑物）简支梁（桥） 1）所有杆件的轴线在一个平面内 2）承担荷载（作用在该平面内）、骨架作用：位置、几何形状不随时间变（不 考虑材料应变） 平面杆件体系几种形式：结合例子 1） 几何不变体系：有斜撑的桁架（水平、竖向、力矩） 体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形状不变， 位置不变。 静定+超静定：多余联系+全部反力及内力的确定 2） 几何可变体系：四连杆机构（筛子）体系受到任意荷载作用后，即使不考虑 材料的应变，其几何形状、位置可变。又有两种形式： 几何常变体系：原为几何可变体系，经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何 可变体系，为。 几何瞬变体系：原为几何可变体系，经微小位移即转化为几何不变体系，称为， 它是可变体系的特殊情况。 如图：施加任意荷载 P，变形任意小的θ角，由结点 2 的平衡条件：2Nsinθ=P N=P/2sinθ →∞、支座反力→∞ 几何体系划分： 几何不变体系 几何可变体系：几何常变体系 瞬变体系（从不能平衡到平衡的过程中，会产生巨大的内力 或支座反力，使结构破坏，绝对不能应用于工程中）
引出本章三个主要目的:(要解决问题) 1)给定一个体系:不变、可变、瞬变,判定,只有 2)杆件如何拼接成为结构,创造新的合理的结构形式 3)最合理的组成方式,最优 几何组成分析:结构应当承受外荷载,起骨架作用,要求结构的几何组成应当合 理,受载后应保持其几何形状和位置不变(排除材料应变引起的变形)。 杆件结构是由许多杆件组成,而许多杆件组成的体系并不一定是结构。杆件组成 结构应该满足一定的规则。目的: 1)杆件体系能否作为结构 2)组成结构的规则,杆件如何组合才能成为结构 3)静定或超静定,确定相应的计算方法 4)多跨结构:基本+附属,确定计算顺序 二、刚片(刚体+变形体) 平面中刚体:几何形状、尺寸(物体内各部分的相对位置)不随时间变化(不考 虑材料应变)。 根梁、一根杆作为刚片、 扩展:大地(零自由度的刚片)、体系中已经确定为几何不变的部分 自由度 平面体系,从坐标系中一个点扩展 个动点A(2),两个动点A、B(2+2)(画图示意) 一条线AB、一根杆AB(2+1) 个刚片(在杆的基础上,3),两个刚片(3+3)[归纳法] 平面体系的自由度:用来确定物体或体系在平面中的位置时所需要的独立坐标个 数(移动坐标和转动坐标) 自由度大于零,背定几何可变。自由度小于等于零,不一定几何不变 四、约束(结合上图)(归纳法)(联系) 约束(联系):指阻止或限制体系运动的装置,称。凡减少一个自由度的装置,称 为一个联系(或约束)。 1、①一根链杆(一活动铰支座):一个约束 ②单铰(一固定铰支座):两个约束,即相当于两根链杆作用 (两个链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用:瞬铰 虚铰:有限远虚铰 无限远虚铰:两条平行直线形成的) ③刚结点(一固定支座):一个刚性结合相当于三个约束 ④复铰:联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰 ⑤复合刚结点:(n-1)简单刚结点
引出本章三个主要目的：（要解决问题） 1）给定一个体系：不变、可变、瞬变，判定，只有 2）杆件如何拼接成为结构，创造新的合理的结构形式 3）最合理的组成方式，最优 几何组成分析：结构应当承受外荷载，起骨架作用，要求结构的几何组成应当合 理，受载后应保持其几何形状和位置不变（排除材料应变引起的变形）。 杆件结构是由许多杆件组成，而许多杆件组成的体系并不一定是结构。杆件组成 结构应该满足一定的规则。目的： 1）杆件体系能否作为结构 2）组成结构的规则，杆件如何组合才能成为结构。 3）静定或超静定，确定相应的计算方法 4）多跨结构：基本+附属，确定计算顺序 二、刚片（刚体+变形体） 平面中刚体：几何形状、尺寸（物体内各部分的相对位置）不随时间变化（不考 虑材料应变）。 一根梁、一根杆作为刚片、 扩展：大地（零自由度的刚片）、体系中已经确定为几何不变的部分 三、自由度： 平面体系，从坐标系中一个点扩展 一个动点 A（2），两个动点 A、B（2+2） （画图示意） 一条线 AB、一根杆 AB（2+1） 一个刚片（在杆的基础上，3），两个刚片（3+3）[归纳法] 平面体系的自由度：用来确定物体或体系在平面中的位置时所需要的独立坐标个 数（移动坐标和转动坐标） 自由度大于零，肯定几何可变。自由度小于等于零，不一定几何不变。 四、约束（结合上图）（归纳法）（联系） 约束(联系)：指阻止或限制体系运动的装置，称。凡减少一个自由度的装置，称 为一个联系(或约束)。 1、①一根链杆（一活动铰支座）：一个约束； ②单铰（一固定铰支座）：两个约束，即相当于两根链杆作用； （两个链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用：瞬铰 实铰： 虚铰：有限远虚铰 无限远虚铰：两条平行直线形成的） ③刚结点（一固定支座）：一个刚性结合相当于三个约束。 ④复铰：联结 n 个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰； ⑤复合刚结点：（n-1）简单刚结点
2、分成 必要约束:为保持体系几何不变必须具有的约束必要约束。能对体系运动起限制 作用,减少体系自由度的装置(限制条件),本身具有这种功能。 多余约束:如果在一个体系中增加一个约束,而体系的自由度并不因而减少,则 此约束称为多余约束。(未发挥应有的作用):不能减少体系自由度的约束。相对 性,起作用,静定+超静定,(三个台阶)(比较弯矩图)。增加安全度。 注:只有必要约束对体系的自由度有影响,而多余约束则对体系的自由度没有影 响 例:简支梁、连续梁 五、计算自由度 个平面体系,通常由若干刚片彼此铰结并用支座链杆与基础相联而成。 刚片数m( member),单铰数 h(hinge),支座链杆数r(rod),则: W(计算自由度)=(自由度总数)(联系总数),即 3*m(2h+r) 注:h只包括刚片与刚片之间相互连接所用的铰,不包括刚片与支承链杆相连 用的铰 自由度 S(自由度)=(各部件的自由度总和)-(非多余约束数,即 S一W=n(多余约束) 若为铰结链杆体系,即完全由两端铰结的杆件组成,则: j:结点数,b:杆件数,r:支座链杆数,则 w=2j-(b+r) 1、W>0,则S>0,缺少足够的联系,几何可变 1、W=0,则S=n,如无多余约束则为几何不变,如有多余约束则为几何可变, 即成为几何不变所必需的最少联系数目 2、W0,体系有多余联系 3、W≤0若体系与基础不连,内部可变度:V≤3 指出:W≤0(或V≤3)不一定就是几何不变的。因为尽管联系数目足够多甚至还 有多余,但若布置不当,则仍可能是可变的 W≤0(或V≤3)只是几何不变体系的必要条件,还不是充分条件。 ay 2 Ar&y23 W=0情况 W=-1情况
2、分成： 必要约束：为保持体系几何不变必须具有的约束必要约束。能对体系运动起限制 作用，减少体系自由度的装置（限制条件），本身具有这种功能。 多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而减少，则 此约束称为多余约束。（未发挥应有的作用）：不能减少体系自由度的约束。相对 性，起作用，静定+超静定，（三个台阶）（比较弯矩图）。增加安全度。 注：只有必要约束对体系的自由度有影响，而多余约束则对体系的自由度没有影 响。 例：简支梁、连续梁 五、计算自由度： 一个平面体系，通常由若干刚片彼此铰结并用支座链杆与基础相联而成。 刚片数 m(member)，单铰数 h(hinge)，支座链杆数 r(rod)，则： W(计算自由度)=(自由度总数)-( 联系总数)，即： w=3*m-(2h+r) 注：h 只包括刚片与刚片之间相互连接所用的铰，不包括刚片与支承链杆相连 用的铰。 自由度： S(自由度)＝(各部件的自由度总和)－(非多余约束数)，即： S－W＝n(多余约束) 若为铰结链杆体系，即完全由两端铰结的杆件组成，则： j：结点数，b：杆件数，r：支座链杆数，则： w=2j-(b+r) 注： 1、W>0，则 S>0，缺少足够的联系，几何可变； 1、 W=0，则 S＝n，如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则为几何可变， 即成为几何不变所必需的最少联系数目 2、 W0，体系有多余联系 3、W≤0 若体系与基础不连，内部可变度：V≤3 指出：W≤0(或 V≤3)不一定就是几何不变的。因为尽管联系数目足够多甚至还 有多余，但若布置不当，则仍可能是可变的。 →W≤0 (或 V≤3)只是几何不变体系的必要条件，还不是充分条件。 如： W=0 情况 W＝－1 情况
§2-2几何不变结构杆系的组成规律 、组成规律:(由铰结三角形开始 三角形规律:如果三个铰不共线,则一个铰结三角形的形状是不变的,而且 没有多余约束。 1、三刚片的联结方式(三刚片规则)三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两 铰联,则组成几何不变体系,且无多余约束。 推论1:三刚片用六根链杆两两相联,若三个瞬铰的转动中心不在同一直线 上,则组成几何不变体系,且无多余约束。 2、两刚片之间的联结方式(二刚片规则):两刚片用一个铰和一根不通过此铰的 链杆相联,则组成几何不变体系,且无多余约束 推论2:两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联,则组成几何不变 体系,且无多余约束 3、一个点和一个刚片之间联结方式(二元体规则):一个刚片与一个结点用两根 链杆直连,且三个铰不在一直线上,则组成几何不变体系,且无多余约束 二元体:两根不共线链杆联结一个结点的装置为二元体 推论2:在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体,不会改变原有体 系的几何构造性质(由于增加一个点即增加了2个自由度,但是不两线的二 链杆提供了2个约束〕常应用于“桁架结构” 二、组成规则说明: 1、这些组成规律,主要有三点: 1.三角形规律的理解:三个规律是相互勾通的 2点、刚片的概念 3约束的概念及各种约束的等效代换关系:由于两根链杆的约束作用相当于 个瞬铰的约束作用,因此上述规律中的每一个铰都可以用相应的两根链杆来替 换 2、三个组成规律分别对应于三种基本的几何组成方式。若把某一刚片看作基础 则 说明了一个点的固定方式, 说明一个刚片的固定方式, 说明了二个刚片的固定方式 3、不满足规则 (1)三个规则说明了组成无多余联系的几何不变体系所需的最少联系。如在这 些必要联系的基础上再增加联系,增加的联系为多余联系,成为超静定结 构。如若刚片之间的联系少于三个规则所要求的数目,肯定几何可变 (2)两刚片之间用全交于一实铰的三链杆相连,几何可变 (3)两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连(延长线交于一点),几何瞬变
§2-2 几何不变结构杆系的组成规律 一、组成规律：（由铰结三角形开始） 三角形规律：如果三个铰不共线，则一个铰结三角形的形状是不变的，而且 没有多余约束。 1、三刚片的联结方式（三刚片规则）：三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两 铰联，则组成几何不变体系，且无多余约束。 推论 1：三刚片用六根链杆两两相联，若三个瞬铰的转动中心不在同一直线 上，则组成几何不变体系，且无多余约束。 2、两刚片之间的联结方式（二刚片规则）：两刚片用一个铰和一根不通过此铰的 链杆相联，则组成几何不变体系，且无多余约束 推论 2：两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联，则组成几何不变 体系，且无多余约束。 3、一个点和一个刚片之间联结方式（二元体规则）：一个刚片与一个结点用两根 链杆直连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变体系，且无多余约束。 二元体：两根不共线链杆联结一个结点的装置为二元体； 推论 2：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不会改变原有体 系的几何构造性质（由于增加一个点即增加了 2 个自由度，但是不两线的二 链杆提供了 2 个约束）常应用于“桁架结构” 二、组成规则说明： 1、这些组成规律，主要有三点： 1.三角形规律的理解：三个规律是相互勾通的。 2.点、刚片的概念； 3.约束的概念及各种约束的等效代换关系：由于两根链杆的约束作用相当于 一个瞬铰的约束作用，因此上述规律中的每一个铰都可以用相应的两根链杆来替 换。 2、三个组成规律分别对应于三种基本的几何组成方式。若把某一刚片看作基础， 则 说明了一个点的固定方式， 说明一个刚片的固定方式， 说明了二个刚片的固定方式。 3、不满足规则 （1）三个规则说明了组成无多余联系的几何不变体系所需的最少联系。如在这 些必要联系的基础上再增加联系，增加的联系为多余联系，成为超静定结 构。如若刚片之间的联系少于三个规则所要求的数目，肯定几何可变。 （2）两刚片之间用全交于一实铰的三链杆相连，几何可变。 （3）两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连（延长线交于一点），几何瞬变
(4)两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连,瞬变体系。 (5)两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连,可变体系。 (6)三刚片用位于同一直线上的三个单铰(实铰或虚铰)两两相连,瞬变体系。 (内力、反力无穷大或不能确定) 4、虚铰在无限远处情况 ①一个虚铰在无限远处:若三个刚片用两个实铰与一个无限远处虚铰相联结 若形成虚铰的二平行链杆不与两实铰边线平行,则形成几何不变体;否则, 为几何可变体。 ②两虚铰在无限远处:若三刚片用三铰相联结中的两个虚铰在无限远处,当形 成两个虚铰的四根链杆互不平行,则为几何不变体系;当四根链杆互相平行, 为瞬变体系;若四链杆等长平行,为常变体系 ③三虚铰在无限远处:三刚片分别用三对任意方向的平行链杆相联,均为瞬变体 系:若三对平行链杆各自等长,则为几何常变体系。 几何不变 几何不变 瞬变体系 三、分析方法 1.从基础出发进行分析。即以基础为基本刚片,依次将某个部件(一个结点、 一个刚片或两处刚片)按基本组成方式联结在基本刚片上,形成逐渐扩大的基本 刚片,直至形成整个体系。如多跨静定梁、 2从内部刚片出发进行分析。首先在体系内部选择一个或几个刚片作为基本 刚片,再将周围的部件按基本组成方式进行联结,形成一个或几个扩大的刚片 最后,将这些扩大的基本刚片与地基联结,从而形成整个体系。 3、装配式、拆除式:
（4）两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连，瞬变体系。 （5）两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连，可变体系。 （6）三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰或虚铰）两两相连，瞬变体系。 （内力、反力无穷大或不能确定） 4、虚铰在无限远处情况 ① 一个虚铰在无限远处：若三个刚片用两个实铰与一个无限远处虚铰相联结， 若形成虚铰的二平行链杆不与两实铰边线平行，则形成几何不变体；否则， 为几何可变体。 ② 两虚铰在无限远处：若三刚片用三铰相联结中的两个虚铰在无限远处，当形 成两个虚铰的四根链杆互不平行，则为几何不变体系；当四根链杆互相平行， 为瞬变体系；若四链杆等长平行，为常变体系。 ③三虚铰在无限远处：三刚片分别用三对任意方向的平行链杆相联，均为瞬变体 系；若三对平行链杆各自等长，则为几何常变体系。 几何不变 几何不变 瞬变体系 三、分析方法： 1.从基础出发进行分析。即以基础为基本刚片，依次将某个部件(一个结点、 一个刚片或两处刚片)按基本组成方式联结在基本刚片上，形成逐渐扩大的基本 刚片，直至形成整个体系。如多跨静定梁、 2.从内部刚片出发进行分析。首先在体系内部选择一个或几个刚片作为基本 刚片，再将周围的部件按基本组成方式进行联结，形成一个或几个扩大的刚片。 最后，将这些扩大的基本刚片与地基联结，从而形成整个体系。 3、装配式、拆除式：
几点技巧 具体对一个平面体系进行几何组成分析是比较复杂的,没有死的步骤和方法,灵 活性比较大,虽然规则不多,应用起来变化无穷。不同结构方法不同,同一结构 可能有很多方法,有时想不到点子上,束手无策。 做题时:熟悉规则、思路开阔灵活,这个规则不行,另一个,整体不行,局部 ①对于比较明显的能看作两个刚片或三个刚片构成的体系,直接利用规则进行分 析。不能直接用规则的,先部分用规则,找几何不变部分,尽量扩大刚片的范围 最终归结为2刚片或三刚片,再用规则。 ②当体系上具有二元体时,可先依次去掉其上的二元体,再对其余部分进行几何 组成分析 ③当体系与基础用三支不互相平行链杆相联时,可以去掉这些支承链杆,只对体 系本身进行分析 ④当体系与基础用多于三支链杆相联时,则必须将基础视为刚片,以整个体系包 括基础进行分析 ⑤注意虚铰的应用,两根链杆等价于一个单铰,使结构变得比较简洁对体系进行 ⑥几何组成分析时,可利用等效代换的概念使问题得到简化 联结两刚片的链杆可用其交点的虚铰代替: 一几何不变部分可视为一个刚片; 复杂形状的链杆(如曲链杆、折链杆)可看作通过铰心的直链杆 (14、36等效为链杆、)几何瞬变体系 [三刚片:上部体系选刚片一定要均匀且和地基合适联系] 学习方法和思路:多角度多思维,正规则,反规则,满足和不满足。同一问题多 种方法。不同问题同一方法。多种不同结构形式。] ×K 几何瞬变体系 几何瞬变体系
几点技巧： 具体对一个平面体系进行几何组成分析是比较复杂的，没有死的步骤和方法，灵 活性比较大，虽然规则不多，应用起来变化无穷。不同结构方法不同，同一结构 可能有很多方法，有时想不到点子上，束手无策。 做题时：熟悉规则、思路开阔灵活，这个规则不行，另一个，整体不行，局部 ①对于比较明显的能看作两个刚片或三个刚片构成的体系，直接利用规则进行分 析。不能直接用规则的，先部分用规则，找几何不变部分，尽量扩大刚片的范围。 最终归结为 2 刚片或三刚片，再用规则。 ②当体系上具有二元体时，可先依次去掉其上的二元体，再对其余部分进行几何 组成分析； ③当体系与基础用三支不互相平行链杆相联时，可以去掉这些支承链杆，只对体 系本身进行分析； ④当体系与基础用多于三支链杆相联时，则必须将基础视为刚片，以整个体系包 括基础进行分析 ⑤注意虚铰的应用，两根链杆等价于一个单铰，使结构变得比较简洁对体系进行 ⑥几何组成分析时，可利用等效代换的概念使问题得到简化： 联结两刚片的链杆可用其交点的虚铰代替： 一几何不变部分可视为一个刚片； 复杂形状的链杆（如曲链杆、折链杆）可看作通过铰心的直链杆； （14、36 等效为链杆、）几何瞬变体系 [三刚片：上部体系选刚片一定要均匀且和地基合适联系] 学习方法和思路：多角度多思维，正规则，反规则，满足和不满足。同一问题多 种方法。不同问题同一方法。多种不同结构形式。] 几何瞬变体系 几何瞬变体系
例 瞬变体系 瞬变体系(共线或接近共线) 2.7几何组成与静定性的关系 平面杆件体系:几何不变体系 几何可变体系:常变体系 瞬变体系 常变体系 在任意荷载作用下,都不能维持平衡并会发生运动,因此常变体系没有静力学 解答 几何不变体系 多余约束:是超静定结构;多余约束不是固定不变的,在几何不 变的前提下,可以任意选取,但不管如 何选取,其多余约束数目不变。 无多余约束:静定结构 瞬变体系: 在荷载作用下,反力和内力将是无穷大,或是不定式 所以 ①无多余约束的几何不变体系是静定结构 ②有多余约束的几何不变体系是超静定结构 ③常变体系不存在静力学解答,瞬变体系不存在有限或确定的静力学 解答,即:几何可变体系不能作为结构使用
例： 瞬变体系 瞬变体系（共线或接近共线） 2．7 几何组成与静定性的关系 平面杆件体系：几何不变体系 几何可变体系：常变体系 瞬变体系 常变体系： 在任意荷载作用下，都不能维持平衡并会发生运动，因此常变体系没有静力学 解答。 几何不变体系： 多余约束：是超静定结构；多余约束不是固定不变的，在几何不 变的前提下，可以任意选取，但不管如 何选取，其多余约束数目不变。 无多余约束：静定结构 瞬变体系： 在荷载作用下，反力和内力将是无穷大，或是不定式。 所以： ① 无多余约束的几何不变体系是静定结构； ②有多余约束的几何不变体系是超静定结构； ③常变体系不存在静力学解答，瞬变体系不存在有限或确定的静力学 解答，即：几何可变体系不能作为结构使用
