16虚位移原理及拉格朗日方程 16.1约束及约束方程 161.1几何约束与运动约束 只限制质点和质点系的位置的约束称为几何约束。对 应的约束方程表明质点或质点系中各质点的位置坐标所 受到的限制条件 设质点系所受的约束,不仅能限制质点系的位置,而 且能限制质点系各质点速度,则称这种约束为运动约束 对应的约束方程既包含各质点的坐标,又包含各质点 的速度在坐标轴上的投影。 16.1.2定常约束与非定常约束 不随时间而变的,即约束方程中不含时间t约束, 称为定常约束 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 16 虚位移原理及拉格朗日方程 16.1 约束及约束方程 16.1.1 几何约束与运动约束 只限制质点和质点系的位置的约束称为几何约束。对 应的约束方程表明质点或质点系中各质点的位置坐标所 受到的限制条件 设质点系所受的约束，不仅能限制质点系的位置，而 且能限制质点系各质点速度，则称这种约束为运动约束。 对应的约束方程既包含各质点的坐标，又包含各质点 的速度在坐标轴上的投影。 16.1.2 定常约束与非定常约束 不随时间而变的，即约束方程中不含时间t的约束， 称为定常约束
约束随时间而变化,即约束方程中包含时间t的约束, 称为非定常约束。 161.3固执约束与非固执约束 在任何瞬间都存在的约束,亦即质点不可能脱离的 约束,称为固执约束。 如果质点又可能消失或松弛,即质点有可能脱离约 束,称为非固执约束。 161.4完整约束与非完整约束 如果约束方程是不可积分的,则对应的约束称为非完 整约束 如果定常与非定常几何约束,只限制质点的位置,而 不限制它们速度的大小,统称为完整约束 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 约束随时间而变化，即约束方程中包含时间t的约束， 称为非定常约束。 16.1.3 固执约束与非固执约束 在任何瞬间都存在的约束，亦即质点不可能脱离的 约束，称为固执约束。 如果质点又可能消失或松弛，即质点有可能脱离约 束，称为非固执约束。 16.1.4 完整约束与非完整约束 如果约束方程是不可积分的，则对应的约束称为非完 整约束。 如果定常与非定常几何约束，只限制质点的位置，而 不限制它们速度的大小，统称为完整约束
162自由度广义坐标 确定一个质点系的位置所需的独立坐标的数目称为 该质点系的自由度的数目,受到s个约束的n个质点的 系统,其自由度为:k=3n-s 用来确定质点系位置的独立参数,称为质点系的 广义坐标。广义坐标的数目等于自由度的数目 163虚位移 某瞬间,质点系在约束所允许的条件下,可能 实现的任何无限小的位移称为虚位移。一个非自 由质点系,由于受到约束的限制,只可能发生满 足约束条件的某些位移,而不可能有其他位移。 质点系为约束所允许的任何微小位移称为该类质 点系的虚位移 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 16.2 自由度 广义坐标 确定一个质点系的位置所需的独立坐标的数目称为 该质点系的自由度的数目，受到s个约束的n个质点的 系统，其自由度为： k = 3n − s 用来确定质点系位置的独立参数，称为质点系的 广义坐标。广义坐标的数目等于自由度的数目。 16.3 虚位移 某瞬间，质点系在约束所允许的条件下，可能 实现的任何无限小的位移称为虚位移。一个非自 由质点系，由于受到约束的限制，只可能发生满 足约束条件的某些位移，而不可能有其他位移。 质点系为约束所允许的任何微小位移称为该类质 点系的虚位移
虚位移与实位移的区别 (1)实位移是在一定的力和给定的初始条件下运动而 实际发生的;虚位移是在约束所允许的条件下发生的。 (2)静止的质点系不会发生实位移,但可以有虚位移 (3)实位移具有确定的方向,可能是微小值,也可能是 有限值;虚位移是微小位移,可能有几种不同的方 (4)实位移是在一定时间内发生的,虚位移与时间无 关 (5)实位移符号为dxdy,dz,…., 虚位移符号为δx。6y8z,… 1-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 虚位移与实位移的区别: (1) 实位移是在一定的力和给定的初始条件下 运动而 实际发生的；虚位移是在约束所允许的条件下发生的。 （2）静止的质点系不会发生实位移，但可以 有虚位移。 （3）实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是 有限值；虚位移是微小位移，可能有几种不同的方 （4）实位移是在一定时间内发生的，虚位移与时间无 关。 （5）实位移符号为 dx,dy,dz，…， 虚位移符号为δx,δy,δz,…
164理想约東 设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中的元 功之和为零,则该约束称为理想约束 165虚位移原理 受理想约束的质点系在某一位置平衡的充要条件是: 作用于质点系的所有主动力在该位置处的任何虚位移 中的元功之和等于零。设用F代表作用于任意质点M1 的主动力的合力,以δr代表该点的虚位移,则该原理 可表示为:∑F8r;=0 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 16.4 理想约束 设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中的元 功之和为零，则该约束称为理想约束。 16.5 虚位移原理 受理想约束的质点系在某一位置平衡的充要条件是： 作用于质点系的所有主动力在该位置处的任何虚位移 中的元功之和等于零。设用Fi代表作用于任意质点Mi 的主动力的合力，以δri代表该点的虚位移，则该原理 可表示为：ΣFi ·δri＝0
【例题16-4】求多跨静定梁在荷载P,Q作用下D支座的约 束反力。P=10KN,Q=20KN,长度单位为m AD=DB=BC=2m,P,Q分别作用在DB,BC的中点 ND P Q B A sra sra ola 解:梁的自由度为零,不存在任何为约束所允许的位移, 为了用虚位移求解支座D的反力,将支座D解除,代之 以约束反力ND,得到具有一个自由度的系统。给B点以 虚位移,主动力的虚位移为6rp,o,6b 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 6
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 【例题 16-4】求多跨静定梁在荷载P,Q作用下D支座的约 束反力。P=10KN，Q=20KN,长度单位为m。 AD=DB=BC=2m,P,Q分别作用在DB,BC的中点。 解：梁的自由度为零，不存在任何为约束所允许的位移， 为了用虚位移求解支座D的反力，将 支座D解除，代之 以约束反力 ND，得到具有一个自由度的系统。给B点以 虚位移,主动力的虚位移为δrP , δrQ , δrD ND P Q A D B C P Q δrQ δrQ δ δrQ rQ
·Prp+Q-Nnrn=0 B B Q+P-ND=0 ND=Q+P=35kN 作业:16-716-916-13 17振动理论基础 到结构力学再详细讲解,本章只简单介绍 几个基本概念。 01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-15 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 作业: 16－7 16－9 16－13 Pr P + Qr Q − NDr D = 0 Q B r r 2 1 = P B r r 4 3 = D B r r 2 1 = 0 2 1 4 3 2 1 Q + P − ND = ND Q P 35k N 2 3 = + = ∴ ∵ ∴ ∴ 17 振动理论基础 到结构力学再详细讲解，本章只简单介绍 几个基本概念