安徽建筑工业学院：《弹性力学》第二章 平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题（位移法）2.9 按应力求解平面问题相容方程 2.10 应力函数（常体积力）

§2~8按位移求解平面向题(位移法) 以位稆分量作为基本来知量 平面应力问题: EEx+us 1.由物理方程 E (e+ug) (2~16a (2-12)解出 y E Txy-2(1+) x E du 2、把几何方程(2-3) 代入(2-12a) E (2-16b) E +{) ×②

§2~8 按位移求解平面问题(位移法) 一、平面应力问题： 1. 由物理方程 （2-12）解出 2、把几何方程（2-3） 代入(2-12a） —（２～１６a） E E E xy xy y y x x x y            + = + − = + − =              2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 (2 16 ) ( ) 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 b y u x E v x u y E v y v x E u xy y x −              +   + =   +   − =   +   − = —         ---以位移分量作为基本未知量

把(2~16a)代入平衡微分方程(2~2): Ean,1+42v,1-102 )+fx=0 ox 2 Oxo (2-17) e a 1+O 1-2y22axoy2an-2)+f,=0 式(2~17)即为用位移表示的平衡微分方程,为按 位移求解平面应力问题的基本微分方程。 (表示按位移求解平面应力问题时,解出的应力必须满 足平衡微分方程) 3、应力边界条件:把(2~16a)代入应力边界条件(2~15)

把（2~16a）代入平衡微分方程（2~2）： 式（2~17）即为用位移表示的平衡微分方程，为按 位移求解平面应力问题的基本微分方程。 （表示按位移求解平面应力问题时，解出的应力必须满 足平衡微分方程） (2 17) ) 0 2 1 2 1 ( 1 ) 0 2 1 2 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −        + =  −  +   +  +   − + =  −  +   +  +   − — — y x f x v x y u y E v f y u x y v x E u       3、应力边界条件：把（2~16a）代入应力边界条件（2~15）

E av a u Ixtla)+m 2 ax a (2-18) E 2 Ox dy (2~-18)式即为用位移表示的应力边界条件,为按 位移求解平面应力问题时的应力边界条件 4、位移边界条件:仍为(2~14)式 结论:按位移求解平面应力问题,可归纳为根据(2-17 式确定位移分量,并且要求满足边界条件(218)或 (2~14),再用(2~8)式求出应变分量,用(2~16) 确定应力分量

结 论：按位移求解平面应力问题,可归纳为根据(2~17) 式确定位移分量，并且要求满足边界条件（2~18）或 （2~14），再用（2~8）式求出应变分量，用（2~16） 确定应力分量。 4、位移边界条件：仍为（2~14）式 (2~18)式即为用位移表示的应力边界条件，为按 位移求解平面应力问题时的应力边界条件。 (2 18) ( )] 2 1 [ ( ) 1 ( )] 2 1 [ ( ) 1 2 2 −        =   +  −  +   +   − =   +  −  +   +   − s y s x f y u x v l x u y v m E f y u x v m y v x u l E      

二、平面应交问题: 对平面应力方程的E、μ作如下变换后即可得到 平面应变问题的相应方程和边界条件: d-Len d-I[ EE 三、讨论: 1、为按位移求解平面应力问题,要联立求解两个 二阶偏微分方程,因此比较麻烦,但在有限元法 中较方便。 2、按位移求解,原则上可适用于任何平面问题, 无论体力是不是常量,不论是哪一种边界问题

二、平面应变问题： 对平面应力方程的E、μ作如下变换后即可得到 平面应变问题的相应方程和边界条件：     −  = − =  1 , 1 1 2 E E 1、为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个 二阶偏微分方程，因此比较麻烦，但在有限元法 中较方便。 2、按位移求解，原则上可适用于任何平面问题， 无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。 三、讨论：

§2.9接应力求解平面向题相容方程 基本未知量o(x,ya、(x,y)z(x,y) 基本方程:用应力分量表示 1.平衡微分方程 0,O +fx=0 x (2-2) 0s+ O+f,=0 2、变形相容(协调)方程(同一平面内{e}间的关系) 由几何方程

§2.9 按应力求解平面问题相容方程 2、变形相容（协调）方程（同一平面内{间的关系） 基本未知量 (x y) x y (x y) xy y x  , ; ( , ); , 基本方程：用应力分量表示 1.平衡微分方程 + = 0  +    x x yx f x y   + = 0  +    y xy y f x y   （2-2） 由几何方程：

Ou Ox (2~3) Ou 将 Oy Ox 求两阶导数 相加 对 a8 a au a xy OX OXY ax axa a8 a-e, ar x (2-19) Ooy

− − −（2 ~ 3）            +   =   =   = y u x v y v x u xy y x    将          =   = x y v y x u y x 对 对   求两阶导数 x x y v y u y x x y x y xy    =          +      =   +      2 2 2 2 2 2           =      =   x y v x y x u y y x 2 3 2 2 2 3 2 2   相加 (2 19) 2 2 2 2 2 − − − −    =   +    y x x y x y xy   

注:(2-9)用应变表示的相容方程。表示同一平面内 点处的三个应变分量必须相互协调,才能保证变形 发生开裂或相互嵌入(位移连续),位移存在且是x,y 的连续函数。 嵌入 开裂 连续

注：（2-9）用应变表示的相容方程。表示同一平面内 一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形 发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是x，y 的连续函数。 开裂 嵌入 连续

用应力分量表示相容方程: 由物理方程 1 2~12) 1 xy 代入(2-9)式得到 2 2(x-A,)+ Ox2(y-0=212y (2-20)

用应力分量表示相容方程： 由物理方程 （２～12） 1 [ ] 1 [ ] 1          = = − = −         x y x y y y x x x y G E E 代入（2-9）式得到 ( ) ( ) ( ) y x x y xy x y y x    − = +   − +         2 2 2 2 2 2 1 (2-20)

化简(2-2)和(2-20)式 由平衡方程 dodIm+f= andy +f,=0 I a 两式相加 OO axa 3 代入(2-20)式: ap2x=,)+ 2(1+PL

由平衡方程 + = 0  +    x x yx f x y   + = 0  +    y xy y f x y   x f x y x yx x x   −  = −     2 2 2   y f x y y xy y y   −  = −     2 2 2   两式相加 y f x y f x y x xy x x y y   −  −   −  = −      2 2 2 2 2 2    ( ) ( ) ( ) y x x y xy x y y x    − = +   − +         2 2 2 2 2 2 1 代入（2-20）式： 化简（2-2）和（2-20）式

整理、化简: 3,× O (2-21a) OI (2-21a)应力表示的相容方程 注:对于平面应变问题用 代换 C× of f R+O (2-21b) 1-1人axay 结论: 1、按应力求解平面应力(应变)问题,可归 结为根据(2-2)平及(2-21))求出应力分 量{σ},并要求在边界上满足应力边界条件 (2-15)边,及位移单值条件

（2-21a）应力表示的相容方程 结论： 整理、化简： 注：对于平面应变问题用    −  = 1 代换 ( )           +           − + = −           +   y f x f y x x y x y    1 1 2 2 2 2 （2—21b） 1、按应力求解平面应力（应变）问题，可归 结为根据（2-2）平及（2-21）容）求出应力分 量{，并要求在边界上满足应力边界条件 （2-15）边，及位移单值条件。 ( ) ( )           +   + = − +           +   y f x f y x x y  x  y 1  2 2 2 2 (2-21a)