由边界条件选择某 应力的函数式 积分求函数Φ 逆解法框图满足v=0吗? YES 求应力分量 满足边界条件吗? YES 结论
逆解法框图 由边界条件选择某 应力的函数式 0 ? 满足 4 = 吗 YES 求应力分量 NO 满足边界条件吗? YES 结论 NO 积分求函数Φ
53-4简支梁受均布荷裁 q 矩形截面简支梁,体 力不计,求应力分量 x解:用半逆解法 (1)根据上、下边界 处的法向分布面力,假 设O为某种函数;并 求应力函数 O.令M 由材力知:{a,分q 冷→Q
§3-4 简支梁受均布荷载 解：用半逆解法 q 0 x y L L 2 h 2 h 矩形截面简支梁，体 力不计，求应力分量 由材力知： Q q M xy y x （1）根据上、下边界 处的法向分布面力，假 设 为某种函数；并 求应力函数Φ； y
由上、下边界的面力: h O h 2 由于q沿x轴不变化,与x无关,故可假设 O=f(y)也与x无关 D 则 2=f(y) Or=t()x+fio) (D ①D=2()x2+f1(y)x+2()(a 其中:f(y),f1()f2(v)为待定函数
由上、下边界的面力： ( ) 0 2 = = h y y ( ) h q y y = − =− 2 由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设 f ( y) y = 也与x无关 则 ( ) 2 2 f y x y = = f y x f (y) x 1 = ( ) + f y x f (y)x f (y) 1 2 2 ( ) 2 1 = + + 其中：f y f (y) f (y) 1 2 ( ), , 为待定函数 （a）
o4Φ O4Φ +2 (2-24) 容 axa 4 O-g (D dif( Ox4 a4a x2(.dfi( df2() 2 d 代入(2-24)容 d4f(y)2,d4f(0) df().d2f) X十 +2 0 2d1 4
2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 0; 4 4 = x ( ) 2 2 2 2 4 dy d f y x y = ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 4 2 dy d f y dy d f y x dy x d f y y = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 4 2 4 4 1 4 2 4 4 + + + = dy d f y dy d f y x dy d f y x dy d f y （2-24）容 代入（2-24）容
(2)Φ必须满足相容方程据此求待定函数 o4Φ O4Φ +2 (2-24) 容 axa 4 O-g (D dif( Ox4 a4a x2(.dfi( df2() 2 d 代入(2-24)容 d4f(y)2,d4f(0) df().d2f) X十 +2 0 2d1 4
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数 2 0 4 4 2 2 4 4 4 = + + x x y y 0; 4 4 = x ( ) 2 2 2 2 4 dy d f y x y = ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 4 2 dy d f y dy d f y x dy x d f y y = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 4 2 4 4 1 4 2 4 4 + + + = dy d f y dy d f y x dy d f y x dy d f y （2-24）容 代入（2-24）容
上述方程为x的二次多项式,要求全梁范 围内无论x取何值均成立,只有: 二次项系数 dfly) 0 hy dff) (2) 次项系数 0 零次项df(y) 4+2 d2(U) 0 (3) 由(1)、(2)式: f(y=Ay+ By+Cy+D f(y)=Ey3+Fy2+Gy+(常数项)
上述方程为x的二次多项式，要求全梁范 围内无论x取何值均成立，只有： 二次项系数 一次项系数 零次项 ( ) 0 4 1 4 = dy d f y ( ) 0 4 4 = dy d f y ( ) ( ) 2 0 2 2 4 2 4 + = dy d f y dy d f y （1） （2） （3） 由（1）、（2）式： f y = Ay + By +Cy + D 3 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 f 1 y = Ey + Fy +Gy + 常数项
由(3)式: df2() 24 12y-4B dy B ∵.2(y)=-y y+Hy+Kl 10 +(一次项)+(常数项) 故 o(x,y) 3+By2+cv+D 2 +x(Ey'+Fy2+Gy) B Hy+K 10
由（3）式： ( ) ( ) Ay B dy d f y dy d f y 2 12 4 2 2 4 2 4 = − = − − ( ) ( ) 10 6 ( ) 5 4 3 2 2 + 一次项 + 常数项 = − − y + Hy + Ky B y A f y 故： ( ) ( ) 5 4 3 2 3 2 3 2 2 10 6 2 ( , ) y Hy K y B y A x Ey Fy G y Ay By cy D x x y − − + + + + + = + + + （b）
(3)根据(2-23)求出应力分量{o} 2 (64y+2B)+x(6By+2F) 2Ay-2By2+6小y+2k 2 Ay+ By+Cy+D (d) ax 2 a-C x(34y2+2By+c) e (3E12+2Fy+G)
（3）根据（2—23）求出应力分量{； ( ) − + + = − + + = − = + + + = − − + + = + + + = (3 2 ) 3 2 2 2 6 2 (6 2 ) (6 2 ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 Ey Fy G x Ay By c x y Ay By C y D x Ay By Hy K Ay B x Ey F x y xy y x （c） （d） （e）
(3)根据(2-23)求出应力分量{}; ÷3 (D (64y+2B)+x(Ey+2F) 2 2Ay3-2B12+61+2K (c) (D Ay+ By++ Cy+D (d) a-d x34v-+2 By+ Oxo (e) BEy+2Fy+G) 上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程,只 要选择适当的系数A、B.K常数,使所有边界条 件满足,则(c)、(d)、(e)为正确解答
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数A、B…K常数，使所有边界条 件满足，则（c） 、 （d）、（e）为正确解答。 （3）根据（2—23）求出应力分量{； ( ) − + + = − + + = − = + + + = − − + + = + + + = (3 2 ) 3 2 2 2 6 2 (6 2 ) (6 2 ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 Ey Fy G x Ay By c x y Ay By C y D x Ay By Hy K Ay B x Ey F x y xy y x （c） （d） （e）
[求待定系数前的观察与简化]—对称分析 该问题:关于y轴结 构对称、荷载对称 对称的变形 在对称位置状态 上的单元体 必具有: 对称的应力 状态 由上图可见: 由应力分量的正、负号规定可 G(xy)=a(-x,y)知,对称的应力状态,正应力 具有相同的符号,剪应力具有 o,(xy)=a,(x.y)相反的符号 z(xy)=-z1(x,y)故ax、o应是x的偶函数(对称) τ应是x的奇函数(反称)
[求待定系数前的观察与简化]——对称分析 该问题：关于y轴结 构对称、荷载对称 -x x x y o 在对称位置 上的单元体 必具有： 对称的变形 状态 对称的应力 状态 A' A 由上图可见： (x y) ( x y) x x , = − , (x y) ( x y) y y , = − , (x y) ( x y) xy xy , = − − , 由应力分量的正、负号规定可 知，对称的应力状态，正应力 具有相同的符号，剪应力具有 相反的符号。 故x、y应是x的偶函数（对称） xy应是x的奇函数（反称）