安徽建筑工业学院：《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答（1/9）

第四章平面向题的极生标解答 4-1极坐标下的平方程 极坐标与直角坐标系 平面上任一点P 直角坐标P(x2y) P 极坐标r一向径,θ一极角P(r,0) x=x cos 6 →r2=x2+y2,6= arcto y y=rsin e 求解平面问题时,对于圆,楔,扇型构件, 因为极坐标使其边界与坐标线一致,因而使 边界条件简单,使问题易于求解

第四章 平面问题的极坐标解答 4-1 极坐标下的平衡方程 一．极坐标与直角坐标系 P x y o y x r  平面上任一点 P: 直角坐标 P(x,y) 极坐标 r－向径，－极角P(r，)    = =   sin cos y r x x x y r = x + y , = arctg 2 2 2 求解平面问题时，对于圆，楔，扇型构件， 因为极坐标使其边界与坐标线一致，因而使 边界条件简单，使问题易于求解

二.极坐标中应力分量,体力分量的表示 研究构件在极坐标中的应力状态:取 微元体[用一对r坐标线和一对0坐标线] 记号:应力分量 de 径向应力:0.(正应力 e r Zn(剪应力) 环向应力(切向应力) 正应力 b 剪应力 其符号规定与直角坐标系情况类同

二．极坐标中应力分量，体力分量的表示 研究构件在极坐标中的应力状态：取一 微元体［用一对r坐标线和一对坐标线］ 记号：应力分量 径向应力 ： r （正应力）   r （剪应力） 环向应力（切向应力）   －正应力 rr  －剪应力    r    r 其符号规定与直角坐标系情况类同。 r kr k r r r  d 0 r

体力分量: K,一体力向径向投影,K 体力向切向投影 平衡微分方程 可以通过坐标变换直接由直角坐标下的平衡微分 方程(2-2)得到,为了较深对积坐标下的应力 应变的理解这里仍旧单元体的平衡推导。 0N0 der 仍取微元体研究: PB=rde r PACB AC=(r+drdo ter+ a易y b 厚度为1,体力(K,K。) poe d0 r++ 0+

三.平衡微分方程 可以通过坐标变换直接由直角坐标下的平衡微分 方程（2-2）得到，为了较深对积坐标下的应力 应变的理解这里仍旧单元体的平衡推导。 体力分量： Kr －体力向径向投影, K －体力向切向投影 k kr   r dr r r   +     r      d   +   r     d r   + 仍取微元体研究： ＰＡＣＢ     = + =   AC r dr d PB rd ( )   r r dr r r   +  r dr d 0  P A C B x y r 厚度为１，体力（Kr ，K ）

注:1)∵d0微小 do de sIn 0 X de de cos-≈1 t A B OT ter+ d ar 2)PB≠AC.PA≠BC G在方向 0+9o de Z在方向 产生附加影响 由∑F=0 de (o+dr)(r+)d9-o, rd0-(0g+e de)dr x sin 6 d d oedrsin +(te+ode)dr cos -, arcos +k xrdrd8=0

2 ） PB  AC, PA  BC  在 方向 在 方向     r r 产生附加影响 由  Fr = 0 0 2 cos 2 ( ) cos 2 sin 2 ( )( ) ( ) sin − +  =  − + +   + − − +  +                           K rdrd d dr d d dr d dr d dr r dr d rd d dr r r r r r r r r 注：１）  d  微小  sin 2 2 d d  cos 2d  1   r  r k kr        d  +   r     d r  +  r dr r r  +   r  dr r r  +     r y  P A C B d  0 x   dr r

整理,略去高一阶小量,除以rdrd,利用剪应力 互等定理0+On+0-+Kr=0 ar roe 同理:∑F=0 0r。0o2 +K。=0 ar ra8 r 平衡微分方程: 00,,17a.-69+kr=0 ar r a0 (41) + +K。=0 ar r a0 尚可利用∑M=0可证明=7(剪应力互等定理

整理，略去高一阶小量，除以 rdrd ,利用剪应力 互等定理 + = 0 − +   +   Kr r r r r r  r     同理：  = 0 F 0 2 + + =   +           K r r r r r 平衡微分方程： 0 1 + = − +   +   r r r r K r r r        0 1 2 + + =   +           K r r r r r （4—1） 尚可利用Mp =0 可证明     r = r （剪应力互等定理）

§4.2极坐标中的几何方程及 物理方程 极坐标中的应变分量与位移分量: 1、应变分量: En(r,O)-径向线段的正应变(径向正应变) En(r,O)-环向线段的正应变(环向正应变) y(,O)-径向和环向两线段之间直角的改变(剪应变) 2、位移分量 径向位移 环向位移

§4.2 极坐标中的几何方程及 物理方程 一、极坐标中的应变分量与位移分量： 1、应变分量：      − − − , ) ) , ) ( , ) （ 径向和环向两线段之间直角的改变（剪应变 （ 环向线段的正应变（环向正应变） 径向线段的正应变（径向正应变）         r r r r 2、位移分量 环向位移 径向位移 − − u ur

几何方程 欲研究平面弹性体在极坐标下的变形,选取径向线段 PA=dr,PB=rd研究。 各点坐标为P(r,O),A(+h,O),B(r,O+d0) 0N0 (1)位移分两步 de 第一步:PA,PB只有径向位移 (不考虑环向位移) B A PA→P′A,PB→PB de lL.+ dr 点 A B 各点位移列表同位稳 dr u ×、 de r06 环向位移0

二. 几何方程 （1）位移分两步 欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，选取径向线段 PA=dr, PB = rd 研究。  第一步： PA，PB 只有径向位移 （不考虑环向位移） PA P′A′ ， PB P′B′ ur A A' dr P y 0  x d r B' p' B   d r u u r r   + dr r u u r r   + 各点坐标为 P(r, ), A(r + dr, ), B(r, + d ) 各点位移列表 点 径向位移 环向位移 dr r u u r r   +   d r u u r r   + r u 0 0 0 P A B

由径向位移产生的应变分量: 0 de 径向线PA的正应变: Pi A-PA A4'-PP B A PA PA B u. tou deBi u+ r06 ar (a) 环向PB的正应变: PIBPB PB-PB PB PB (r+ur)de-rde ′(b)

ur 由径向位移产生的应变分量： 径向线PA的正应变： PA AA PP PA P A PA r ' ' '− ' = − =   r u r dr u r u u r r r r r   =  −   + =   (a) 环向PB的正应变 ： r u rd r u d rd PB P B PB PB P B PB r r = + −  = −  − =         ( ) ' ' ' 1 (b) 0 B P p' A' B'  x y d r dr A B1   d r u u r r   + dr r u u r r   +

径向PA的转角:C=0 环向线PB的转角 0 d0)-u de B BB'-PPl (u+ Ou 06 PB rde A BBB B 06 故剪应变: I a r ae

径向PA的转角：  = 0 (c) 环向线PB的转角：     rd d u u u PB BB PP r r r −   + = − = ( ) ' '     = ur r 1 (d) 故剪应变:        = = r r u r 1 (e) ur 0 B P p' A' B'  x y d r dr A B1 β

第二步:在第一步的基础上:PA,PB只有环向移 (不考虑径向位移) Pl.Pl Pn= u epr dr A.A4 I uaa da +=d A b bB'B=u+ede B A"{+-t 点 P B 径向位移0 0 环向位移ln+mb+abd Pi A-P A 径向线PA线应变:6 0 P A

第二步 ：在第一步的基础上：PA,PB只有环向移 （不考虑径向位移）        d u B B B u dr r u A A A u P P P u   = +   = + = ': ' '' ': ' '' ': ' '' 径向线P‘A‘线应变： 0 ' ' '' '' ' '  −  = P A P A P A r  (f)  P' dr A' B' d r o x y u A2 P'' A'' B'' A1 dr r u u   +        d u u   + 0 0 0 点 径向位移 环向位移 dr r u u   +       d u u   +  u P A B