安徽建筑工业学院：《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答（7/9）

§4-7压力隧洞(圆筒在无限大弹性体内) 设圆筒埋在无限大弹性体中,受 人 E 均布内压力q 应力分布为轴对称,(4-11) () 仍适用,且仍有位移单值条件 使:B=0 分别对圆筒、无限大弹性体列出应力分量与位移 表达式,注意到其材料的不同,E、μ,A、C均不同 1、圆筒 2+2C O 2+2C

§4-7压力隧洞（圆筒在无限大弹性体内） 设圆筒埋在无限大弹性体中，受 均布内压力q 应力分布为轴对称，（4-11） 仍适用，且仍有位移单值条件 使：B=0 一、分别对圆筒、无限大弹性体列出应力分量与位移 表达式，注意到其材料的不同，E、，A、C均不同 1、圆筒： C r A C r A r 2 2 2 2 = − + = +     r = r = 0 q E'   E

由于是平面应变问题:(4-12)改为 1+ [2(1-2u)cr-]+I cos 0+k sin 0 E 2、无限大弹性体 2+2C re =Te=o +2C 2 1+ [2 (1-2u'c'r-=]+I' 0+k'sin 0 E 二、确定常数 1、应力边界条件:

由于是平面应变问题：（4-12）改为 ( )    [2 1 2 ] cos sin 1 I k r A cr E ur − − + + + = 2、无限大弹性体 C r A C r A r +    = − +    = 2 2 2 2     r   =   r = 0 (  )    [2 1 2 ] cos sin 1 I k r A c r E ur +  +   −   −  +   = 二、确定常数 1、应力边界条件：

圆筒:a=a=-2+2C=-q 无限大弹性体:a′|2=0+2C=0 =0+2C′=0 →) E 2)接触条件:接触处 径向应力等值: b r Ir=b b2+2C、 +2C (2) 径向位移等值

圆筒： C q a A r | r=a = + 2 = − 2  无限大弹性体： | 0 2 0 | 0 2 0  = +  =  = +  = → → C C r r r   C'=0 2）接触条件： r r=b r r=b  | = | C b A C b A +   + 2 = 2 2 2 径向位移等值： 接触处 径向应力等值： ur r=b ur r=b | =  | （1） （2） q E'   E

1+ b [2(1-2)kb-2]+cos+ksn E 1+ [2(1 u)c'6 1+Icos+k'sin 6 E b 代入 1+ [2 (1-2u)cb-1+ cos0+ksin 0 E b 1+p I+Icos 0+k'sin 6 E b 在接触面上,无论θ取何值,上式均要求成立,则必 各系数相等,即: 1+H[2(1-2)kb 1+2(1-2 eu'c'b E b E Zk

( )    [2 1 2 ] cos sin 1 | I k b A cb E ur r b − − + + + = = (  )    [2 1 2 ] cos sin 1 | I k b A c b E ur r b +  +   −   −  +   = = 代入： ( )    [2 1 2 ] cos sin 1 I k b A cb E − − + + + (  )    [2 1 2 ] cos sin 1 I k b A c b E +  +   −   −  +  = 在接触面上，无论取何值，上式均要求成立，则必 各系数相等，即： [2(1 2 ) ] 1 b A cb E − − +   [2(1 2 ) ] 1 b A c b E  −   −  +  =   I = I ,k = k

由第一式整理: E(1+2[2(1-24k、、1 0 (3) E(1+4) 6 b 令 E'(+ E(1+A 联立(1)、(2)、(3)求出A、C、A并代 回应力分量表达式: 1+(1 b +(1-21n]

由第一式整理： ( ) ( ) [2(1 2 ) ] 0 1 1 2 2 =  − − + +   + b A b A Cb E E    ( ) (  )  +   + = 1 1 E E 令 n （3） 联立（1）、（2）、（3）求出A、C、A'并代 回应力分量表达式： ( ) [1 (1 2 ) ] (1 ) [1 1 2 ] (1 ) 2 2 2 2 n a b n n r b n r q + − − − + − − − = −   

[1+(1-2)n]2+(1 1+(1-2)m]2-(1-n) 2(1-)n b 1+(1 ∠)b (1-n) 2(1-∠)2b q [1+(1-2)n b (1-n)

( ) [1 (1 2 ) ] (1 ) [1 1 2 ] (1 ) 2 2 2 2 n a b n n r b n q + − − − + − + − =    ( ) [1 (1 2 ) ] (1 ) 2 1 2 2 2 2 n a b n r b n r q + − − − −  = −    ( ) [1 (1 2 ) ] (1 ) 2 1 2 2 2 2 n a b n r b n q + − − − −  =   

当n<1时,应力分布大致如图 接触条件 E 1)完全接触 两弹性体既无脱离也 不相互滑动。 接触面上: 应力接触条件:正应力相等 剪应力相等 位移接触条件:径向u相等 环向u相等

q E'   E 当n1时，应力分布大致如图 a b  r  r     接触条件： 1）完全接触 r 两弹性体既无脱离也 不相互滑动。 接触面上： 应力接触条件：正应力相等 剪应力相等 位移接触条件：径向ur相等 环向u相等

2)非完全接触(光滑接触) 接触面上 正应力相等 应力接触条件: 剪应力等于零 位移接触条件:径向u相等 环向u不相等(有相对滑动)

2）非完全接触（光滑接触） 接触面上： 应力接触条件：正应力相等 剪应力等于零 位移接触条件：径向ur相等 环向u不相等（有相对滑动）