安徽建筑工业学院：《弹性力学》第七章 空间问题的基本理论

第七章空间问题的基本理论 §7-1平衡微分方程 应力分量: oo 2 XY2 XZ xz sVZ 体力分量: J T yx {X}={X;Y;z} 在物体内的任意一点P,取PA=dx,PB=dy,PC=dz,割 取一平行六面体,研究应力逐点变化的规律

x y z  x  y  z  xy yx yz  zy  zx xz 第七章 空间问题的基本理论 §7-1平衡微分方程 应力分量： {}={x ;y ;z ;xy;xz ;yz} 体力分量： {X}={X;Y;Z} 在物体内的任意一点P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割 取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律

O.+ dz az +--dy A dx 根椐平衡条件:∑F=0 o +x dx dyd=-odyd=+(Tx+a dy )dxd=-tyndxdr ax +(r o1 d- )dxdy-T dxdy+ Xdxdydz=0

 xy  xz  yx  zx  yz  zy x  y z dy y y y   +   dz z z z   +   dx x x x   +   dy y yx yx   +   x y z 0 dy y yz yz   +   dz z zy zy   +   dz z zx zx   +   dx x xzx xz   +   Z X Y 根椐平衡条件： Fx = 0 ( ) 0 ( ) − + =   + + −    − + +        + dz dxdy dxdy Xdxdydz z dy dxdz dxdz x dx dydz dydz x z x z x z x yx yx x yx x x         

由∑F=0和∑F=0可得类似表达式,整理并两边除以 dxdydz,注意到剪应力互等关系,得: 00:,0Ix01+X=0 Ox av az OznOσ,Ozwo +Y=0(7-1) Ox at ot ao z 一由对三根轴的合力矩分别为零,可证明剪应力互等 (7-1)为空间问题的平衡方程 独力未知函数为6个,平衡方程数目为3个,问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系

由：Fy = 0和Fz = 0 可得类似表达式，整理并两边除以 dxdydz ，注意到剪应力互等关系，得： + = 0  +  +     X x y z  x  yx  z x + = 0  +  +     Y x y z  xy  y  z y + = 0  +  +     z x y z  xz  yz  z （7-1） 由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。 （7-1）为空间问题的平衡方程。 独力未知函数为6个，平衡方程数目为3个，问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系

§72几何及物理方程 几何方程 平面问题中,通过研究度oy平面内平行于x轴、y轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程,若用同样的方法分 析02、O不两平面内相应线元的变形,可得类似的方程 在小变形情况下,在推导过程中,忽略第一次变形在以后 ●变形过程中的影响。可得下式 ou ax Ov?/yz ayaz (7-8) 如用矩阵表示:

§7-2几何及物理方程 平面问题中，通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分 析oyz、ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。 在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后 变形过程中的影响。可得下式：          +   =   +   =   +   =   =   =   = x w z u z v y w y u x v z w y v x u xy yz xz x y z       , , , , （7-8） 如用矩阵表示： 一、几何方程

应变列阵 E E 8. yyy y 几何方程: Oy a,aa a adult Ov ax a Oy az az ox (7-8)

    T x y z xy yz xz xz yz xy z y x              =                       应变列阵： =   T x w z u z v y w y u x v z w y v x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u         +     +     +         =                                       +     +     +          = 几何方程： （7-8)

→二、变形相容方程(协调方程) 空间中,不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件 916+0=072061=(0+8=+0ym) ay- Ox axon y Yaz ae a8 a y ar a 2 dz Oxaz Oy ay Oz Ox 06+2 y 202E:007y+y=+0 axo Oxy az az ax ay 其中左边三个形式上是类似的,第一个为平面问题的 一连续性方程。(推导见§2-8) 右边三式可按第一式由x→》y→Z>x轮换字母获得

二、变形相容方程（协调方程） 空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件。 y x x y x y xy    =   +      2 2 2 2 2 z y y z yz y z    =   +      2 2 2 2 2 x z x y z x xz    =   +      2 2 2 2 2 2 ( ) 2 y z x x y z x yz xz xy   +   +   −   =        2 ( ) 2 x z y y z x y xz xy yz   +   +   −   =        2 ( ) 2 x y z z x y z xy yz xz   +   +   −   =        其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的 连续性方程。（推导见§2-8） 右边三式可按第一式由x→y → z → x轮换字母获得

三、物理方程:(广义虎克定律) Ex=[ox-(+0:)、 E 若 En=[on-(0-+0,) E E0:(o (7-10) 2(1+4) T E 2(1+4) E O.0.0.T 2(1+) E 一则:物理方程用矩阵表示:{}=[C]o (7-12A

三、物理方程：(广义虎克定律） [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 z z x y y y z x x x y z E E E                = − + = − + = − + xy xy zx zx yz yz E E E          2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) + = + = + = （7-12） 若：   T x y z xy yz xz xz yz xy z y x [      ]        =                     = 则：物理方程用矩阵表示： = C （7-12A）

式中 0 0 [C」 E0002(1+L)0 00002(1+)0 000 0 02(1+4)」 用应变表示应力=—E(-P) C F C F (1+)(1-2p E(1-1),,H E E 8) (1+1)1-2)1-1-4 E(1-p) c f C F (1+)(1-21)1-2 E E E y 2(1+) 2(1+)

式中：                     + + + − − − − − − = 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 [ ]          E C 用应变表示应力： xy xy xz xz z z x y y y x z x x y z E E E E E                                        2(1 ) ; 2(1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) ) 1 1 ( (1 )(1 2 ) (1 ) + = + = − + − + + − − = − + − + + − − = − + − + + − − = ; (1 ) yz yz E    + =

方程用矩阵表示: 式中[D为弹性矩阵表示为: 000 000 11ao LDL=E( (1-) (1+1)(1-24)0001-2100 2(1-) ( 0 2(1-) 00 000 1-2 2(1-=p 注意:[D]=[C]1

方程用矩阵表示： = D 式中[D]为弹性矩阵表示为：                                 − − − − − − − − − − − − + − − = 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 (1 )(1 2 ) (1 ) [ ]                     E  D 注意： [D]=[C]-1

四、体积应变:e=6x+E,+E2→体积应变 由(7-12A):e=Ex+E,+E 1-21, (+O,+O) E 令:σ+0+G=→体积应力 e=.+E.+E (7-13) E E 体积弹性模量 1-2

四、体积应变： 由（7-12A)： x y z e =  +  +  ( ) 1 2 x y z x y z E e        + + − = = + + 令：σx+ σy +σz=Θ  − =  = + + E e x y z     1 2 →体积应力 →体积应变 体积弹性模量 1− 2 E (7-13)