株洲工学院土木系：《理论力学》第七章 空间任意力系

7空间任意力系 7.1力对点的矩与力对轴的矩 7.1.1力对点的矩用矢量表示: 在空间问题中,力矩使物体转动的效果具有三个因素: 力作用线与矩心所决定的平面的方位;力矩的大小;力 矩矩心所决定的平面内的转向 力矩是力使物体绕点转动效果的度量,这三个因素表 明,力矩可以用矢量来表示:用矢量的方位表示力矩作 用面法线的方位,用矢量的长度按一定的比例表示力矩 的大小,矢量的指向按右手螺旋法则表示力矩的转向。 此矢量称为力对点的矩矢 当矩心的位置发生变化时,力矩矢量的大小和方向也 随之发生变化。因此,规定将矩心作为力矩矢量的起点 力矩矢量是定位矢量,与力偶矩不同,不能自由移动 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 7 空间任意力系 7.1 力对点的矩与力对轴的矩 7.1.1 力对点的矩用矢量表示: 在空间问题中，力矩使物体转动的效果具有三个因素： 力作用线与矩心所决定的平面的方位；力矩的大小；力 矩矩心所决定的平面内的转向。 力矩是力使物体绕点转动效果的度量，这三个因素表 明，力矩可以用矢量来表示：用矢量的方位表示力矩作 用面法线的方位，用矢量的长度按一定的比例表示力矩 的大小，矢量的指向按右手螺旋法则表示力矩的转向。 此矢量称为力对点的矩矢。 当矩心的位置发生变化时，力矩矢量的大小和方向也 随之发生变化。因此，规定将矩心作为力矩矢量的起点。 力矩矢量是定位矢量,与力偶矩不同，不能自由移动

Z MO(F) B 力对点的矩矢等于由矩心引 向力的作用点的矢径与该力 A 的矢量积,即 ●●● (F) F 7.1.2力对轴的矩 力对轴的矩是力使该刚体绕轴转动效果的度量,它 是一个代数量,其绝对值等于力在与轴垂直的平面上的 投影对轴与平面交点的矩,其正负号代表力使刚体绕轴 转动的转向。根据力对轴的矩的定义,在力与轴平行或 力与轴相交时,力对轴的矩为零力对轴的矩并非只对 固定轴才能计算力对轴的矩,可以用力对轴的矩来度量 力使物体绕任意轴的转动效果。 01-1l-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 力对点的矩矢等于由矩心引 向力的作用点的矢径与该力 的矢量积，即： X Y Z M0(F) A B O h r m0 (F) = r  F 7. 1. 2 力对轴的矩 力对轴的矩是力使该刚体绕轴转动效果的度量，它 是一个代数量，其绝对值等于力在与轴垂直的平面上的 投影对轴与平面交点的矩，其正负号代表力使刚体绕轴 转动的转向。根据力对轴的矩的定义，在力与轴平行或 力与轴相交时，力对轴的矩为零.力对轴的矩并非只对 固定轴才能计算力对轴的矩，可以用力对轴的矩来度量 力使物体绕任意轴的转动效果

7.1.3力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 设力F作用于刚体的A点,任取一点O为矩心,则力F 对点O的矩矢的大小为m0(F)=2△OAB面积,力矩矢的 方位与三角形OAB垂直,其指向按右手法则给定 过矩心O作任一轴Z,该轴与力F对O点矩矢的夹角为y 过O点作平面xy使其与轴Z垂直,将力投影到XY平面上 按力对轴的矩的定义,力F对轴Z的矩为 m(F)=m0(Fx)=+2△0b面积 根据几何关系有:m2(F)=m0(F) 即力对任意点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影 等于力对该轴的矩。 0l-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 7.1.3 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 设力F作用于刚体的A点，任取一点O为矩心，则力F 对点O的矩矢的大小为m0 (F)=2△OAB面积，力矩矢的 方位与三角形OAB垂直，其指向按右手法则给定。 过矩心O作任一轴Z，该轴与力F对O点矩矢的夹角为γ， 过O点作平面xy,使其与轴Z垂直，将力投影到XY平面上 Fxy = ab 按力对轴的矩的定义，力F对轴Z的矩为 mz (F) = m0 (Fxy ) = 2△oab面积 根据几何关系有 :   z z m (F) m (F) = 0 即力对任意点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影 等于力对该轴的矩

7.2空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩 空间任意力系向一点的简化方法与平面任意力系向 点的简化方法基本相同。将各力等效地平移到简化中 心O点,得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。此 力系可以合成为作用于简化中心的一个合力,它的力矢 称为空间任意力系的主矢,它等于各力矢的矢量和。 附加的空间力偶系中的力偶矩矢为: m=mh+m2+m3=m0(F1)+m0(F2)+m(3) 它称为空间任意力系相对于简化中心O的主矩,它等 于力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 7.2 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩 空间任意力系向一点的简化方法与平面任意力系向 一点的简化方法基本相同。将各力等效地平移到简化中 心O点，得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。此 力系可以合成为作用于简化中心的一个合力，它的力矢 称为空间任意力系的主矢，它等于各力矢的矢量和。 附加的空间力偶系中的力偶矩矢为： ( ) ( ) ( ) m = m1 + m2 + m3 = m0 F1 + m0 F2 + m0 F3 它称为空间任意力系相对于简化中心O的主矩，它等 于力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和

般情况下,空间任意力系由n个力组成,该力系 向任意点O简化的主矢和主矩应为 R 所以,空间任意力系向一点简化,可得到一力和一力偶。 主矢的投影:R1=∑Xk=∑R=∑2 主矢的大小:R=R2+R2+R2 R R R 主矢的方向:cosa COs R B cos r R R 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 一般情况下，空间任意力系由n个力组成，该力系 向任意点O简化的主矢和主矩应为 = = n i R Fi 1 ' ( ) 1 0 0 i n i M m F = = 所以，空间任意力系向一点简化，可得到一力和一力偶。 主矢的投影： 主矢的大小： 主矢的方向： = = n i Rx Xi 1 ' = = n i Ry Yi 1 ' = = n i Rz Zi 1 ' ' '2 '2 '2 R = Rx + Ry + Rz R Rx ' cos = R Ry ' cos  = R Rz ' cos =

主矩的大小: M0=√M6x+M6y+M6z 主矩的方向: COSa=0X M OY COS B= M M OZ cosY 其中α,βy是主矩矢与xy,z的正向夹角。 【例题7-3】可按教材详细讲解 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 6

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 其中α,β,γ是主矩矢与x,y,z的正向夹角。 【例题 7-3】可按教材详细讲解 主矩的大小： 2 0 2 0 2 M0 = M0X + M Y + M Z 主矩的方向： M ' M0X cos = M ' M0Y cos  = M ' M0Z cos =

7.3空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件是: 力系的主矢和主矩分别等于零。 R=∑F m(7)=0 ∑X1=0∑H=0 ∑4=0 mx(F7)=0 m(F7)=0 i=1 i=1 空间平行力系的平衡方程为三个 ∑4=0∑m(F)=0∑m(F) 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 7．3 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和主矩分别等于零。 空间平行力系的平衡方程为三个： 0 1 ' = = = n i R Fi ( ) 0 1 0 = 0 = = i n i M m F 0 1  = = n i Xi 0 1  = = n i Yi 0 1  = = n i Zi ( ) 0 1  = = i n i mx F ( ) 0 1  = = i n i my F ( ) 0 1  = = i n i mz F 0 1  = = n i Zi ( ) 0 1  = = i n i mx F ( ) 0 1  = = i n i my F

74空间力系的平衡问题 【习题7-11】有一均质等厚的板,重为200N,角A为球铰 B点用铰链与墙壁相连,再用一索EC维持于水平位置 ∠FCA=∠BAC=30,求索内的拉力及A,B处的反力 解:设球铰A及B的反力均沿坐标正向,索EC受拉 X=O, NCE.cOS 30.sin 30=XA+XB >Y=O, NCE. COS 30-C0s30=Y Z Z=O, NCE.Sin 30+ZA+ZB=200 E Mx=O, NCE.Sin 30+ZB=200x B Y ∑My=0 NCE.SIn30=002 Mz=0,XB=0 Ncr=200 XD=0 ZD=0 XA=86 6KN YA=150KN ZA-1OOKN 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 8

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 【习题 7-11】有一均质等厚的板，重为200N，角A为球铰， B点用铰链与墙壁相连，再用一索EC维持于水平位置。 ∠ECA=∠BAC=30,求索内的拉力及A，B处的反力。 解:设球铰A及B的反力均沿坐标正向，索EC受拉 NCE=200 XB=0 ZB=0 XA=86.6KN YA=150KN ZA=100KN X NCE = XA + XB  = 0,  cos30sin30 Y NCE = YA  = 0,  cos30 cos30 Z = 0,NCE sin30 + ZA + ZB = 200 2 1 M X = 0,NCE sin30 + ZB = 200 2 1 MY = 0,NCE sin30 = 200 MZ = 0, XB = 0 Z Y X A C B D E 30 30 ∴ 7.4 空间力系的平衡问题

7.5物体的重心 751平行力系的中心与重心 空间平行力系的合力作用点称为空间平行力系的中 物体的重心于物体本身是一确定的几何点,不随物 体位置的移动而变化。 752重心与形心的坐标公式: x yiP 匀质物体的重心位置与物体的重力无关,完全取决于 物体的大小和形状,所以匀质物体的重心又称为形心 匀质物体的重心位置与物体的重力无关,完全取决于物 体的大小和形状,所以匀质物体的重心又称为形心 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 7.5 物体的重心 7.5.1 平行力系的中心与重心 空间平行力系的合力作用点称为空间平行力系的中 心，物体的重心于物体本身是一确定的几何点，不随物 体位置的移动而变化。 7.5.2 重心与形心的坐标公式：  =  i i i c P x P x  =  i i i c P y P y  =  i i i c P z P z 匀质物体的重心位置与物体的重力无关，完全取决于 物体的大小和形状，所以匀质物体的重心又称为形心. 匀质物体的重心位置与物体的重力无关，完全取决于物 体的大小和形状，所以匀质物体的重心又称为形心

753确定物体重心的几种方法 【例题7-7】用积分法计算扇的形心坐标。 (半径为r,角度为α) 解:取坐标如图所示,由于图形对称,Yc=0,取一微分 面积为底边ds=rd0,高为r的三角形面积 dA=-r-de 重心距原点2 2 x=23r. cos e y d e a=dA=2 de C 2 x·ax -r: cos0.r-de irsina r 30 01-11-08 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 10

01－11－08 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 7.5.3 确定物体重心的几种方法 【例题 7-7】用积分法计算扇的形心坐标。 （半径为r,角度为α） 解：取坐标如图所示，由于图形对称，Yc=0,取一微分 面积为底边ds=rdθ ,高为r的三角形面积 : dA r d 2 2 1 = 3 2r 重心距原点 dθ y o r cos 3 x = 2 r  = =  =    2 2 0 2 1 A dA 2 r d r a       3 2 2 sin 1 cos 3 2 2 2 0 2 r r r r d dx x dx xc =    =  =   