4平面任意力系 4.1平面任意力系向平面内一点的简化 41.1力线平移定理 力线平移定理作用于刚体上的力,可平移至刚体内任 意一点,但同时必须附加一力偶,力偶的矩等于原来的 力对此点之矩 41.2平面任意力系向平面内一点的简化·主矢与主矩 4.1.2.1主矢与主矩 F F F R m1 m O F 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 4 平面任意力系 4.1 平面任意力系向平面内一点的简化 4.1.1 力线平移定理 力线平移定理 作用于刚体上的力，可平移至刚体内任 意一点，但同时必须附加一力偶，力偶的矩等于原来的 力对此点之矩。 4.1.2 平面任意力系向平面内一点的简化 · 主矢与主矩 4.1.2.1 主矢与主矩 O F1 F2 F3 F1 m1 F2 m2 F3 m3 R O Y X m0 α β
设刚体受平面任意力系作用,为求合成结果,先将力 系向任一简化中心O简化,由力线平移定理,原力系 等效于作用在O点的平面汇交力系和在此平面的附加 力偶系,现将两个力系进行合成: MI-MO(FI) M2=MO(F2) M3=MO(F3) 则平面汇交力系的合力矢R称为主矢 R=F1+F2+F3=∑(F)它等于原力系的矢量和 附加力偶系的合力偶矩M0称为主矩 M。=M1+M2+M3MF1)+M(F2)+MF3)=∑M6F) 它等于原力系各力对简化中心之矩的代数和。由于主矢 等于各力的矢量和,所以,它与简化中心的选择无关。 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 设刚体受平面任意力系作用,为求合成结果，先将力 系向任一简化中心O简化，由力线平移定理，原力系 等效于作用在O点的平面汇交力系和在此平面的附加 力偶系，现将两个力系进行合成： ∵M1=M0(F1) M2=M0(F2) M3=M0(F3) 则平面汇交力系的合力矢R称为主矢 R = F1 + F2 + F3 = ∑(F) 它等于原力系的矢量和。 附加力偶系的合力偶矩M0称为主矩 M0=M1+M2+M3=M0 (F1 )+M0 (F2 )+M0 (F3 ) =∑M0 (Fi ) 它等于原力系各力对简化中心之矩的代数和。由于主矢 等于各力的矢量和，所以，它与简化中心的选择无关
而主矩等于原力系各力对简化中心O点之矩的代数和, 当取不同的简化中心时,各力的力臂将会改变,则各 力对简化中心O点之矩就会改变,所以在一般情况下 主矩与简化中心的选择有关。 因此,主矩必须标明简化中心 用解析法求主矢的大小和方向,方法与前一章相同。 4.1.2.2固定端支座:既限制物体移动,又限制物体 转动的约束。 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 而主矩等于原力系各力对简化中心O点之矩的代数和， 当取不同的简化中心时，各力的力臂将会改变，则各 力对简化中心O点之矩就会改变，所以在一般情况下 主矩与简化中心的选择有关。 因此，主矩必须标明简化中心。 用解析法求主矢的大小和方向，方法与前一章相同。 4.1.2.2 固定端支座：既限制物体移动，又限制物体 转动的约束
4.2平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系向作用面内任一点简化,可能有四种情况 (1)主矢R≠0,主矩M=0。原力系简化为一个作用于简 化中心O的力R,R就是原力系的合力 (2)主矢R=0,主矩M≠0。原力系简化为一个力偶,此 力偶就是与原力系等效的合力偶,力偶矩为主矩Mo (3)主矢R0,主矩M0。力系可进一步简化为一个 合力。根据力线平移定理的逆过程,将矩为M的力偶用 两个力表示,再去掉平衡力系,则主矢和主矩简化成了不 过O点的力R,此力就是原力系的合力,合力矢就是主矢 合力作用线的位置与简化中心的距离为d=MR 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 4．2 平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系向作用面内任一点简化，可能有四种情况 （1）主矢R≠0，主矩M0=0。原力系简化为一个作用于简 化中心O的力R，R就是原力系的合力。 （2）主矢R=0，主矩M0≠0。原力系简化为一个力偶，此 力偶就是与原力系等效的合力偶，力偶矩为主矩M0。 （3）主矢R≠0，主矩M0≠0。 力系可进一步简化为一个 合力。根据力线平移定理的逆过程，将矩为M0的力偶用 两个力表示，再去掉平衡力系，则主矢和主矩简化成了不 过O点的力R, 此力就是原力系的合力，合力矢就是主矢。 合力作用线的位置与简化中心的距离为d = M0 /R
合力矩定理:平面任意力系的合力对作用面内任一点 之矩,等于力系中各力对同一点之矩的代数和 (4)主矢R=0,主矩M=0。 即主矢和主矩同时为零,则原力系平衡。 4.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是力系中各力在平 面内任意两个坐标轴上的投影的代数和等于零,以 及这些力对该平面内任意点的矩等于零 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点 之矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 （4）主矢R=0，主矩M0=0。 即主矢和主矩同时为零，则原力系平衡。 4．3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系平衡的解析条件是力系中各力在平 面内任意两个坐标轴上的投影的代数和等于零，以 及这些力对该平面内任意点的矩等于零
∑x ∑MA(F)=0∑M1(F)=0 ∑ ∑MB(F ∑MB(F ∑M(F)=0(∑x ∑ (F1)=0 i=1 基本方程力矩方程三力矩方程 平面任意力系的三个方程中,重点掌握它们的限制条件 (1)二力矩方程中,x轴不得垂直于AB两点连线 (2)三力矩方程中,ABC三点不可共线 三个方程的选用完全取决于计算是否简便。尽量一个方程 解一个未知 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 6
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 6 0 1 = = n i Xi 0 1 = = n i Yi ( ) 0 1 0 = = i n i M F ( ) 0 1 = = i n i M A F ( ) 0 1 = = i n i MB F 0 1 = = n i Xi ( ) 0 1 = = i n i M A F ( ) 0 1 = = i n i MB F ( ) 0 1 = = i n i Mc F 基本方程 二力矩方程 三力矩方程 平面任意力系的三个方程中，重点掌握它们的限制条件： （1） 二力矩方程中，x轴不得垂直于A,B两点连线 （2） 三力矩方程中，A,B,C三点不可共线 三个方程的选用完全取决于计算是否简便。尽量一个方程 解一个未知量
【例题4-3】梁AB的A处为固定端约束,其上作用集中力 偶M及均布荷载q,求A处的约束反力。 解:以AB为研究对象,分布荷载用两个合力R1,R2表 示:R1=qaR2=1/2qb由平衡方程 ∑X=0,ⅩA=0 Y=0,YA-R1-R,=0 MA=O,MA+M-RI R2·(a+)=0 T: XA YA=RI+r2=q(a+b/2) M+=q(a2+ab+-b2) R Ro A打 X A a b A 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 7 【例题 4-3】梁AB的A处为固定端约束，其上作用集中力 偶M及均布荷载q，求A处的约束反力。 解：以AB为研究对象，分布荷载用两个合力R1 , R2表 示： R1 = qa R2 = 1/2 qb 由平衡方程 ∑X = 0， XA = 0 ∑Y = 0, YA-R1 -R2=0 A m a b YA XA R1 R2 m q mA ) 0 3 ) ( 2 0, ( = + − 1 − 2 + = b R a a M A M A M R 得 : X A= 0 YA = R1 + R2 = q(a +b/2) ) 3 1 ( 2 1 2 2 M A = −M + q a + ab + b
4.4平面平行力系的平衡 设物体受平面平行力系作用,选取x轴与各力垂直,则每 个力在x轴上的投影均为零,于是,独立的平衡方程 只有两个: MA(F1)=0 ∑ M0(F2)=0 MB(F)=0 l 其中,二力矩的平衡方程的附加条件是AB两点连线 不得与各力平行。 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 8 4. 4 平面平行力系的平衡 设物体受平面平行力系作用，选取x轴与各力垂直，则每 一个力在x轴上的投影均为零，于是，独立的平衡方程 只有两个： 0 1 = = n i Yi ( ) 0 1 0 = = i n i M F ( ) 0 1 = = i n i M A F ( ) 0 1 = = i n i MB F 其中，二力矩的平衡方程的附加条件是A,B两点连线 不得与各力平行
4.5静定与静不定问题物体系统的平衡 所有未知量都可由平衡方程全部求出,这样的 问题称为静定问题。 未知量不可由平衡方程全部求出,这样的问题 则称为静不定问题。 【例题46】静定刚架的荷载和尺寸如图所示, 其中P=qa,求支座反力及中间铰处压力。 ,P9 Y C B 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 9 4．5 静定与静不定问题 物体系统的平衡 所有未知量都可由平衡方程全部求出，这样的 问题称为静定问题。 未知量不可由平衡方程全部求出，这样的问题 则称为静不定问题。 【例题 4-6】静定刚架的荷载和尺寸如图所示， 其中P=qa, 求支座反力及中间铰处压力。 a a a P A B C q P XA YA q XB YB YC XC P XA YA
解:取整体静定刚架为研究对象 ∑MA=0,-P×a-qa×3a/2+YB×2a=0 ∑MB=0,-P×a+qa×a2-YAx2a=0 ∑Ⅹ=0,XA+XB=0 5 先求出部分反力:Y 4 B 再取左半部分为研究对象 Y=0 Y+Ya=0 MC=0 X YA·a=0 ∑ X=0 XA+Xc=0 c=,x1 关键是脱离体 4 4 01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-06 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 10 解： 取整体静定刚架为研究对象 ∑MA= 0, - P×a - qa×3a/2 + YB×2a=0 ∑MB=0, - P×a + qa×a/2 - YA×2a=0 ∑X=0, XA+XB=0 先求出部分反力： 4 qa YA = − 4 5qa YB = 再取左半部分为研究对象: Y = 0 YA +YC = 0 MC = 0 XA a −YA a = 0 X = 0 XA + XC = 0 4 , 4 , 4 qa X qa X qa YC = A = − C = 4 qa XB = 关键是脱离体