第四章静定拱 §4-1概述 1、拱式结构的特征及应用: 应用:门、窗、桥、巷道、窑洞 特征 杆轴是曲线,竖向荷载作用下有水平推力。和曲梁比较 三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结,并各自与支座用铰相联结而成。 优点:在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用,导致其所受的弯矩远比梁小,压力也比 较均匀;若合理选择拱轴,弯矩为0,主要承受压力。 缺点:需要坚固而强大的地基基础来支承 2、拱的形式 静定结构:三铰拱。有两种形式:无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、 做成折线即为三铰刚架 超静定结构:无铰拱、两铰拱 3、名称 跨度L 拱高:拱顶到两支承边线距离,f 拱脚铰、拱顶铰 对称拱、斜拱(不对称拱) 纽:矢跨比、髙跨比。高跨比对拱的主要性能有比较大的影响(1-1/10。若f-0,三 铰共线或接近共线,瞬变体系 4、计算方法: 数解法、图解法 §4-2三铰拱的数解法 竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式,并和同跨同荷载的相应简 支梁比较。 支座反力的计算 三铰拱 三铰拱相当梁: 图4-4、45
第四章 静定拱 §4-1 概述 1、拱式结构的特征及应用： 应用：门、窗、桥、巷道、窑洞 特征： 杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。和曲梁比较 三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。 优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比 较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为 0，主要承受压力。 缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承； 2、 拱的形式： 静定结构：三铰拱。 有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、 做成折线即为三铰刚架 超静定结构：无铰拱、两铰拱 3、名称： 跨度 L、 拱高：拱顶到两支承边线距离，f 拱脚铰、拱顶铰 对称拱、斜拱（不对称拱） f/l：矢跨比、高跨比。高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。若 f－0，三 铰共线或接近共线，瞬变体系。 4、计算方法： 数解法、图解法 §4-2 三铰拱的数解法 竖向荷载作用下三铰平拱的支座反力和内力的计算公式，并和同跨同荷载的相应简 支梁比较。 一、 支座反力的计算 ： 三铰拱 三铰拱相当梁： 图 4-4、4-5
对三铰拱:∑M1=02=22 对相当梁结构 Pb MR=O, ∑X=0.H4=HB=H =0.H=14-P(-a) 得出 VA=VA=∑Pv VB=VB=∑Pa/1 H=Mf→荷载大小及位置一定,1一定,M0一定,给定f→H 结论:(1)三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同; (2)水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关,(即只与拱的矢跨比n有关,fn↑ H↓;fn↓,H↑)和拱轴形状无关。当荷载及l不变时,f↑,H↓,f↓,H↑,f→0 H→∞,f=0三拱共线瞬变体系 (3)竖向向下荷载作用时推力为正,推力向内 2、内力的计算 任一横截面K:位置由坐标ⅹ、y及该处拱轴切线的倾角φ确定, 取隔离体: >Mr=,Mk=[r-R(x-a)]Hy=MR-Hty >r=0, Q=V,cos p-P coso-Hsin p =O cos - p ∑X=0.N=sng+ Hcos o 得出 i MK=MK -H'yK Qk= QKcos中k-Hsin中k NK= QKsin中x+Hcos中k l}规定正负问题; 2}截面法求内力 3)比较出公式适用范围(适用范围:竖向荷载(包括竖向均布荷载和集中力)作 用下的三铰平拱、带拉杆的拱)。 结论:(1)三铰拱的弯矩小于相当梁的弯矩 (2)N较大,Q较小
对三铰拱： = = l Pa M V i i A B 0, 对相当梁结构： = = l Pb M V i i B A 0, X = 0,HA = HB = H ( ) − − = = f V l P l a M H A C 1 1 1 1 0, 得出： { VA=VA 0=∑PivB 0 VB=VB 0=∑Piai/l H=MC 0 /f → 荷载大小及位置一定，l 一定，MC 0 一定，给定 f → H 结论：（1）三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同； （2）水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比 f/l 有关，f/l↑， H↓；f/l↓，H↑）和拱轴形状无关。当荷载及 l不变时，f↑，H↓，f↓，H↑，f→0， H→∞，f=0 三拱共线瞬变体系。 （3）竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内 2、内力的计算 任一横截面 K：位置由坐标 x、y 及该处拱轴切线的倾角φ确定。 取隔离体： M = M = V x − P (x − a )− Hy = M − Hy K K A K 0 1 1 0, 0, cos cos sin cos sin 0 1 ' Y = Q =VA − P − H = QK − H 0, sin cos ' 0 X = N == QK + H 得出： { MK=MK 0 -H•yK QK=QK 0cosψK- HsinψK NK=QK 0 sinψK+ HcosψK 1}规定正负问题； 2}截面法求内力； 3）比较出公式适用范围（适用范围：竖向荷载（包括竖向均布荷载和集中力）作 用下的三铰平拱、带拉杆的拱）。 结论：（1）三铰拱的弯矩小于相当梁的弯矩； （2）N 较大，Q 较小
3、受力特点(比较法,由公式) 1)竖向荷载下,梁没有水平反力,拱则有水平推力,所以拱要求比梁更为坚固的 基础或支承结构。 2)由于水平推力的存在,三铰拱截面上的M比简支梁小,所以拱比梁能更有效地 发挥材料作用,适用于较大跨度或较重荷载。 3)在竖向荷载作用下,梁内无N,而拱内N较大,且一般为压力,所以拱可以用 抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造,例如:砖、石、砼,便宜,造价低。 总之,拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。抗压更有利于抗压性能好的材料,但 三铰拱的基础比梁大;因此屋架中三铰拱常带拉杆,减少对墙或柱的推力 4、拱内力图的绘制 曲线,沿拱轴逐点计算和描绘 (1)沿拱轴将拱截成为若干相等的小段 (2)计算各截面处的ytan, SIn coS (3)利用公式逐一计算各截面的M、Q、N值 (4)逐点描绘 理论上讲,只要用截面法求出拱截面的内力方程,就能作出内力图(内力图的特性 改变和梁、刚架不同),但由于拱轴线B曲线,一般为二次方程,则求出的内力方程为 高阶方程,且沿轴线作图比较困难。 因此通常用近似法作拱的内力图:用水平线代替拱轴线,用截面法求出一系列截面的内 力,在水平线上用描点法作出(按比例定位,用曲线板相连)。 微分关系复杂 区段叠加法不适用 也可采用叠加法绘制。 例1:求支座反力及拉杆拉力 例2:求某指定拱横截面的内力。 例3:作拱的内力图 例题:见P45页例4-1。 5、内力的计算公式推算三铰拱内力图的一些特点: 1)}Mk= MKo-HyK集中力偶作用处,M图发生突变; 2)集中力作用处,三铰拱的N、Q图将发生突变; Qk= QKcos中x-Hsin巾k NK= KOSin中x+Hcos中k 3)}由dMk_g可知,在Q=0的截面上M将出现极值,在集中力作用处由 coS p
3、受力特点（比较法，由公式） 1）竖向荷载下，梁没有水平反力，拱则有水平推力，所以拱要求比梁更为坚固的 基础或支承结构。 2）由于水平推力的存在，三铰拱截面上的 M 比简支梁小，所以拱比梁能更有效地 发挥材料作用，适用于较大跨度或较重荷载。 3）在竖向荷载作用下，梁内无 N，而拱内 N 较大，且一般为压力，所以拱可以用 抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造，例如：砖、石、砼，便宜，造价低。 总之，拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。抗压更有利于抗压性能好的材料，但 三铰拱的基础比梁大；因此屋架中三铰拱常带拉杆，减少对墙或柱的推力。 4、拱内力图的绘制 曲线，沿拱轴逐点计算和描绘。 （1） 沿拱轴将拱截成为若干相等的小段； （2） 计算各截面处的 y,tan,sin,cos （3） 利用公式逐一计算各截面的 M、Q、N 值； （4） 逐点描绘 理论上讲，只要用截面法求出拱截面的内力方程，就能作出内力图（内力图的特性 改变和梁、刚架不同），但由于拱轴线 B 曲线，一般为二次方程，则求出的内力方程为 高阶方程，且沿轴线作图比较困难。 因此通常用近似法作拱的内力图：用水平线代替拱轴线，用截面法求出一系列截面的内 力，在水平线上用描点法作出（按比例定位，用曲线板相连）。 微分关系复杂 区段叠加法不适用 也可采用叠加法绘制。 例 1：求支座反力及拉杆拉力。 例 2：求某指定拱横截面的内力。 例 3：作拱的内力图 例题：见 P45 页例 4-1。 5、 内力的计算公式推算三铰拱内力图的一些特点： 1）}MK=MK 0 -H•yK 集中力偶作用处，M 图发生突变； 2）集中力作用处，三铰拱的 N、Q 图将发生突变； { QK=QK 0cosψK- HsinψK NK=QK 0 sinψK+ HcosψK 3）}由 k k Qk dx dM cos = 可知，在 Q k=0 的截面上 M 将出现极值，在集中力作用处由
于Qk发生突变,M图将出现尖角 §4-3三铰拱的合理拱轴线 压力线 般情况下,三铰拱任一截面上的内力有三个,这三个内力可以合成为一个合力(用图 表示),可以确定合力作用点,可能在截面上,也可能在截面的延伸面上。 实体三铰拱上每一截面上总压力在该截面(或其延伸面)上的作用点(合力的作用点的 连线)所连成的一条折线或曲线 三铰拱的压力线可以用作图法作出,随荷载而变化,和荷载及三铰拱的三个铰位置有关 和拱的轴线形状无关。 已知压力线可以求出(完全确定)任一截面上的内力:力多边形和相应的压力多边形。 二、合理拱轴 当拱的轴线和压力线重合时,各截面形心到合力作用线的距离为0,则各截面上只有轴 向压力,正应力沿截面均匀分布,拱处于无弯矩状态,这时候材料的使用最经济,这样 的拱轴为合理拱轴。 在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。对于竖向荷载作用下的三铰平拱的合理拱 轴,可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。M=0, M/H 在竖向荷载作用下,三铰拱的合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比,与H成反比。 例1
于 QK 发生突变，M 图将出现尖角。 §4-3 三铰拱的合理拱轴线 一、压力线 一般情况下，三铰拱任一截面上的内力有三个，这三个内力可以合成为一个合力（用图 表示），可以确定合力作用点，可能在截面上，也可能在截面的延伸面上。 实体三铰拱上每一截面上总压力在该截面（或其延伸面）上的作用点（合力的作用点的 连线）所连成的一条折线或曲线。 三铰拱的压力线可以用作图法作出，随荷载而变化，和荷载及三铰拱的三个铰位置有关。 和拱的轴线形状无关。 已知压力线可以求出（完全确定）任一截面上的内力：力多边形和相应的压力多边形。 二、合理拱轴 当拱的轴线和压力线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为 0，则各截面上只有轴 向压力，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态，这时候材料的使用最经济，这样 的拱轴为合理拱轴。 在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。对于竖向荷载作用下的三铰平拱的合理拱 轴，可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。M=0， 在竖向荷载作用下，三铰拱的合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比，与 H 成反比。 例 1： y M / H 0 =