第十章超静定拱 力图的形 加法绘制西 后!静 图
1 ❖截面内力计算 ❖内 力 图 的 形 状 特 征 ❖叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 ❖多跨静定梁 ❖静 定 刚 架 内 力 图
「§10-1两铰拱的计算方法 16m 2
2 §10-1 两铰拱的计算方法 16m 3m
场 M=M0 6,X,+△,=0 P X1=1 A M me ds M P El ds My El EA IP El 求出H后,内力的计算与三铰拱相同 即 M=M-Hy 三铰拱中:H= 0=0 coso-Hsing N=0 sino-Hcoso 两铰拱中:H lI
3 X1 d 11 1 H P D = - cos j N1 = - 1 M = - y d 11 X1 1 0 p + D = d 2 11 ds EI y = cos j 2 ds EA + 0 1 ds EI M y P D = - 2 1 ds EA N + d 2 1 11 ds EI M = EI 1 1 ds M M P p D = MP=M 0 j X1=1 x X1=1 y 由于拱是曲杆δ11Δ1P不能用图乘法 基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只 考虑弯曲变形， 计算δ11时，有时（在平拱中）还要 考虑轴向变形 sinj cosj 0 N = -Q -H cosj sinf 0 Q =Q -H 0 M = M - Hy 求出H后，内力的计算与三铰拱相同 即： 三铰拱中： f M H C 0 = 两铰拱中： d 11 1 H P D = -
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构 如果E1A1→0,则H→小H,因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0,则H*→0,这时,带拉杆的三铰拱实际上是一 简支曲梁,对拱肋的受力是很不利的。 由此可见,为了减少拱肋的弯矩,改善拱的受力状态,应适 当的加大拉杆的刚度。 ≠ N M M ds 11 ds+ El El EA EA A1 互(=d 11-011E1Au H H MM EI ds=4 P IP H
4 MP=M 0 0 0 ＝ ≠ E1A1 X1=1 H=1 N1 M1 d 11 1 H P D = - MP=M 0 D = ds EI M M P P 1 1 = + ds EA N ds EI M 2 1 2 1 d 11 落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构 如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。 由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适 当的加大拉杆的刚度。 H*=1 N1 M1 = + ds EA N ds EI M 2 1 2 * 1 d 11 E1 A1 l + 1 1 11 * 11 E A l d = d + * 11 * * 1 d P H D D = = D P = - P P ds EI M M 1 * 1 * 1 11 * * 1 d P H D = -
上例,两铰拱与三铰拱的内力相等,这不是普遍性结论。 如果在别的荷载作用下,或在计算位移时不忽略轴向变形的 影响,两者内力不一定相等。但是,在一般荷载作用下,两 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的, X El BX象 0.5l 0.5l dx El 15El glx- d E/82 q 16 elI 8 30El (0<x<O.51)MC=3qx-qx2 <x<1)M0=kq(-x) H IP Mc gl 16/f16f M=M-H 16 64
5 例：EI=常数，求H。拱轴线方程为 x(l x) l f y = - 2 4 0.5l 0.5l f q↓↓↓↓↓↓↓ y x A B ↓↓↓↓↓↓↓ q ql 8 1 ql 8 3 ql 16 2 M ql(l x) 8 0 1 ( l x l) = - 2 < < M qlx qx 2 2 1 8 0 3 = - f ql H P 16 2 11 1 = D = - d ( ) EI f l x l x dx l f EI l 15 1 4 8 2 0 2 11 2 = = - d y dx yM dx EI l p 1 l 0 0 1 0 2 11 = D = - d 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。 ∴ (0<x<0.5l) ( ) EI qfl l x dx ql y EI y qlx qx dx EI l l l p 8 30 1 2 1 8 1 3 3 2 2 0 2 1 - - =- D =- - ql 64 2 ql 64 2 M x x 上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。 如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的 影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。 M=M0 －Hy ql 16 2 M0 －Hy f ql f MC 16 0 2 = =
例:图示拱,EI=常数,求其水平推力H。拱轴线方程为 q↓↓↓ y=3x(1-x) BI 0.5l 0.5l ↓↓↓↓↑个个个个↑ 2↓↓↓↑个个 7- Mo 反对称 21 对称=0 在反对称荷载下,对称未知力X1=0 M反对称MX1+MM=MHy=M 基本体系 而H 6
6 例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为 x(l x) l f y = - 2 4 0.5l 0.5l f q↓↓↓↓↓↓↓ y x A B ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q /2 q /2 q / ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2 q / ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2 X1 对称荷载下，取三铰拱为基本体系， 其MP=0∴ Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0， 而 M= M1 X1 + MP = 0 M对称=0 基本体系 ＝ ＋ 在反对称荷载下，对称未知力X1=0 ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q /2 q /2 X1 M反对称=M1X1+MP=MP = M0 -Hy 而 H= f MC 0 =0 ＝ ↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ ql 64 2 ql 64 2 M0 = M0 M反对称 MP
例:等截面两铰拱,试求H、M的影响线。 s=Kl cy=(-)解:由力法方程得H 8f27 H r(l-x 乡H El oEI I 15El A B 0.5l 0.5l Meyde modx E El V=(1-K) Vp=K 0≤x≤M=lx=1-x 0.195 x M-K(-x) 0.18 HLL 0.139 IP K(1-K1+K-K 0.07e gEl 5/ -K)+K-K2) 由M=My作MIL 先作 MOLL 再将HIL.× G MLL
7 11 1 d d p H = - ( ) - = - = = = = - l P P l yM dx EI EI M ydx EI f l x l x dx l f EI dx EI y 0 0 1 2 0 2 2 2 1 1 1 15 1 4 8 d d 0 x 例：等截面两铰拱， x(l x) l f y = - 2 4 试求H、MC的影响线。 解：由力法方程得 M0=Vax=(1-K)x ≤x≤l M0=K（l-x） ( )( ) ( ) ( ) = - - - + - - l P x l x K l x dx l f x l x K xdx l f EI d 2 0 1 2 4 1 1 4 ( )( ) 2 2 1 1 3 K K K K EI fl = - - + - ( )( ) 2 1 1 8 5 K K K K f l H = - + - 0.5l 0.5l f y x A B ξ=Kl H H VA=（1-K） VB=K C 0.076 0.139 0.1810.195l /f H.I.L. 由M=M0 -Hy 作MC.I.L. 0.250.195 l 先作MC 0 .I.L 0.195 l 再将H.I.L.×f MCI.L
CC §102对称无铰拱的计算 ds+ 足QQ2 Is+ E GA EA X1=1引起:M1=1N1=0g=0 对称的基本体系 X2=1引起:M2=-yM2=-coso X3=1引起:M2=-xN2=no 6X+△.=0 ds 5 6.X+△=0 J EL P 6X+△.=0-2P S ds+ 33-3 3p E El Ea xM ds 8 X ds 3P lI E El
8 P1 P2 P1 P2 C C1 O O1 P1 P2 X1 X2 X3 0 0 0 33 3 3 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 +D = + +D = + +D = P P P X X X X X d d d d d X3 X2 X2 X1 X1 对称的基本体系 o y x 2 =- N =-cosj 2 M y M1 =1 N1 =0 Q1 =0 d 1 2 1 2 1 2 12 = + + ds EA N N ds GA kQQ ds EI M M X1=1引起： X2=1引起： + =0 - = ds EI ds a EI y 1 =- ds EI y 12 d - =- ds EI y a = ds EI ds EI y a 1 δ12= δ21=0 → x ’ O点的物理含义： 0 0 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 +D = +D = +D = p p p X X X d d d 2 =- N =-sinj 2 X M x 3=1引起： D =- = + ds EA ds EI y ds EI yMP P 2 2 2 22 cos j d EI EI D = ds = ds MP 1P 11 1 d D = = ds x ds xMP 2 d EI EI 3P 11 §10-2 对称无铰拱的计算
例题10-3等截面圆弧无铰拱求内力。 √/9=10kNm 4910kN/m f=2.5m X2 R R R R l=10m x=rsin p y=y+a=Rcos p 解求R和o =5.39m R=6.25m E El sin =0.8 M1=1M2=-y=a COS=0.6 E6,=Mad=1855R P=0.9273rad EⅠO2=M2as=0.027R
10 例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。 l =10m Φ0 Φ0 R R f=2.5m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ A D O q=10kN/m x ’ X2 X2 X1 X1 Φ0 Φ0 R R ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ A O q=10kN/m y x 解:求R和φ0 R=6.25m 0.9273rad cos 0.6 sin 0.8 0 0 0 = = = j j j x φ EI M ds R EI M ds R M M y a y 0.027 1.855 1 2 3 22 2 2 11 1 1 2 = = = = = = - = - d d m EI ds ds EI y a x R y y a R 5.39 sin cos = = = = + = j j
X 0.12laR=47.1kN,m E/△,=JMMA=024gR EJA Mds=-0.0223cR 2=0.827qR=51.7kN H=X,=51.7N M。=X1-X2(R-a)=2.76N.m M=MB-X+X,(a-Rcos)=6.98kNm 三铰拱的水平推力B1 _q210°10 =50kN f∫8f8·2.5 H-H51.7-50 -=3 H 50
11 三铰拱的水平推力 50 8 2.5 10 10 8 0 2 2 = • • = = = kN f ql f M H C 3 50 51.7 50 = - = - H H H % q EI M M ds qR EI M M ds qR M x P P P P P 0.0223 0.224 2 4 2 2 3 1 1 2 D = =- D = =- = M M X X a R kN m M X X R a kN m H X kN A B ( cos ) 6.98 . ( ) 2.76 . 51.7 1 2 0 0 1 2 2 = = + - = = - - = = = j X qR kN X qR kN m P P 0.827 51.7 0.121 47.1 . 22 2 2 2 11 1 1 = = D =- = = D =- d d