63矩阵位移法解平面刚架 离散化 6(16,17,18) 将结构离散成单元的分割点称作结点 5(13,14,15) 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 3(7,8,9) 4(10,11,12) 整体编码:单元编码、结点编码、 4 结点位移编码。 Y 坐标系:整体(结构)坐标系; (1,2,3)(4,5,6 局部(单元)坐标系 曲杆结构:以直代曲 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
6.3 矩阵位移法解平面刚架 一.离散化 将结构离散成单元的分割点称作结点. 6 3 4 5 1 2 1 3 5 6 4 2 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 （1,2,3） （4,5,6） （7,8,9） （10,11,12） （13,14,15） （16,17,18） 坐标系:整体(结构)坐标系; X Y 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
二单元分析 e 6 FFFF e El 2 F}={ 单元杆F单元杆②:单元杆端力和单元杆端位移 端力 端位移 的方向与局部坐标系一致为正 单元分析的目的:Fk1k2k3k4k5k6° 建立单元杆端力和F2k1k2k3k24k3k26‖ 单元杆端位移的关系F(1k2k3k4k3k65 41 42 45 46 Fsk k。k,k=,k.k 51 F
= e e e e e e e F F F F F F F 6 5 4 3 2 1 二.单元分析 建立单元杆端力和 单元杆端位移的关系. 单元杆 端力 单元分析的目的: 单元杆 端位移 单元杆端力和单元杆端位移 的方向与局部坐标系一致为正. x y l, A, EI e 1 2 e 1 e 2 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2 e F3 e F5 e F4 e F6 = e e e e e e e 6 5 4 3 2 1 e e e F = k = e e e e e e e e e e e e k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k F F F F F F 6 5 4 3 2 1 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 6 5 4 3 2 1
二单元分析 若令: 6 El 2 则有:(F1(k1 El EA/ EAl 4 41 Fik1 k12 ki3 K14 kis k16 6 F2k2I k22, k2s 61 26 kil=EA// K4=-EA/7 eski k32 k33 k34 K35 36/0 41 42 45 46 k2=0k51=0 FsK ks2 ks3 k4 k 0 kE=0 F
二 .单元分析 则有 : x y l , A , EI e 1 2 e 2 e 1 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2e F3 e F5 e F4e F6 1, 0 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = e e e e e e = eeeeee eeeeee k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k FFFFFF 654321 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 654321 若令 : = 61 51 41 31 21 11 654321 kkkkkk FFFFFF eeeeee EA/ l EA/l l, A, EI e 1 2 1 = 1 e k EA l e / 11 = 0 21 = e k 0 31 = e k k EA l e / 41 = − 0 51 = e k 0 61 = e k
二单元分析 若令: 6 El 2 2 则有:F1k2 e 6E12 2 AEl 2 32 cEll 12EI L 12EI/3 4 42 52 EA/l kr2 k13 K14 ks k16 0 k ks k 6 62 22 23 24 25 26O k12=0k2=0 0 k32 k33 K34 k35 k36 F k2=12i/2k2=-12/14 EA/L K2K4 46 0kk,k。kk 4 =6i/l 0k,k2kk。k
二 .单元分析 则有 : x y l , A , EI e 1 2 e 2 e 1 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2e F3 e F5 e F4e F6 1, 0 2 = 1 = 3 = 4 = 5 = 6 = e e e e e e − = eeeeee eeeeee k k k k k k k k k k EA l k k k k k k k k k k k k k k k EA l k k k k k FFFFFF 654321 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 654321 00 / 00/ 若令 : = 62 52 42 32 22 12 654321 kkkkkk FFFFFF eeeeee 3 12EI/ l l , A , EI e 1 2 0 12 = e k 2 22 k 12 i / l e = k i l e 6 / 32 = 0 42 = e k 2 =1 e 3 12EI/ l 2 6EI/ l 2 6EI/ l 2 52 k 12 i / l e = − k i l e 6 / 62 =
二单元分析 若令: 6 El 2 2 则有:(F()「k2 e 6E12 2 AEl 2 32 cEll k 12EI/Z 12EI/3 42 F 52 EA/I 0 ki3 k4 kis k168 6 62 FFF 12/2k2k24k23 26 061//k3k34k3sk e 练习: 36/0 试求单刚第 EA/l 43744745 46O 列元素 12EI/I kk ks kll& 6i/1 k63 K64 k6s k
x y l , A , EI e 1 2 e 2 e 1 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2e F3 e F5 e F4e F6 − − = eeeeee eeeeee i l k k k k EI l k k k k EA l k k k k i l k k k k i l k k k k EA l k k k k FFFFFF 654321 6 3 6 4 6 5 6 6 5 3 5 4 5 5 5 6 4 3 4 4 4 5 4 6 3 3 3 4 3 5 3 6 2 3 2 4 2 5 2 6 2 1 3 1 4 1 5 1 6 654321 0 6 / 0 12 / / 0 0 6 / 0 12 / / 0 二 .单元分析 则有 : 1, 0 2 = 1 = 3 = 4 = 5 = 6 = e e e e e e 若令 : = 62 52 42 32 22 12 654321 kkkkkk FFFFFF eeeeee 3 12EI/ l l , A , EI e 1 2 2 = 1 e 3 12EI/ l 2 6EI/ l 2 6EI/ l 练习 : 试求单刚第 三列元素
二单元分析 若令: 6 El 2 则有:(F()「3 2 1.A.EⅠ2 33 4 6/l 43 F EA/l 0-EA0 012i/26:/10-12i/126i/l 6 63 6i/1 4i 6i//2i 练习: 试求单刚第 EA/l 0 EA/L 0 列元素 0-12E/-6:/1012i/1-6i/l 6i/4i
x y l , A , EI e 1 2 e 2 e 1 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2e F3 e F5 e F4e F6 − − − − − −− − = i l i i l i EI l i l i l i l EA l EA l i l i i l i i l i l i l i l EA l EA l k e 0 6 / 2 0 6 / 4 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 0 6 / 4 0 6 / 2 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 2 2 2 二.单元分析 则有 : 1, 0 3 = 1 = 2 = 4 = 5 = 6 = e e e e e e 若令 : = 63 53 43 33 23 13 654321 kkkkkk FFFFFF eeeeee l , A , EI e 1 2 6i/ l 2i 4i 练习 : 试求单刚第 三列元素 . 3 = 1 e 6i/ l
对称矩阵时= 二单元分析 单刚的性质 El 2 2奇异矩阵时|=0 单刚的分块矩阵表示 EA/I EA/10 0 012i/126/10-12i/126i/ 4 6i/2i EA/l 0 EA/ 12EI/-6i/0 12i/l 6i/l 6i/l 2 6i/4
x y l , A , EI e 1 2 e 2 e 1 e 3 e e 5 4 e 6 e F1 e F2e F3 e F5 e F4e F6 − − − − − −− − = i l i i l i E I l i l i l i l EA l EA l i l i i l i i l i l i l i l EA l EA l k e 0 6 / 2 0 6 / 4 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 0 6 / 4 0 6 / 2 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 2 2 2 二.单元分析 单刚的性质 : 1.对称矩阵 T e e k = k 2.奇异矩阵 = 0 e k 单刚的分块矩阵表示 :
二单元分析 单刚的性质 1对称矩阵时=k 2奇异矩阵|=0园}1k]1k同 单刚的分块矩阵表示 22 EA/l EA/l FFFFF 12i/126i/l 12i/126i/1 0 4i EA/l 0 EA/ 08 2EI-6i1012i/1-6i/18 4i
− − − − − − − − = e e e e e e e e e e e e i l i i l i EI l i l i l i l EA l EA l i l i i l i i l i l i l i l EA l EA l F F F F F F 6 5 4 3 2 1 2 2 2 6 5 4 3 2 1 0 6 / 2 0 6 / 4 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 0 6 / 4 0 6 / 2 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / / 0 0 / 0 0 二.单元分析 单刚的性质: 1.对称矩阵 T e e k = k 2.奇异矩阵 = 0 e k 单刚的分块矩阵表示: = 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 e k k k k F F
坐标转换 1.问题的提出 局部坐标系下的杆端力 2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 整体坐标系下的杆端力 F F
三.坐标转换 1.问题的提出 2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 局部坐标系下的杆端力 整体坐标系下的杆端力 y e F2 e F1 e F3 e 1 2 x y x e F2 e F1 e F3
F=F"cosa+F2sina简记为:{}=[] F=-F sin a+ f cosa }=[]F cosa sin a OF ∫}_「]pFh sin a cosa OR F 0 }={ 2整体坐标系下的杆端力与其中 局部坐标系下的杆端力之 coSa Sin a0 间的关系 x-sin a cosa 0 00 00 0 cosa sin a 0 F C 0 -sin a cosa 0 F 单元(e的坐标转换矩阵
2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 x y e F2 e F1 e F3 e 1 2 x y e F2 e F1 e F3 1 1 cos 2 sin e e e F = F + F 2 1 sin 2 cos e e e F = −F + F e e F3 = F3 e e F F F F F F = − 3 2 1 3 2 1 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 简记为: e e F 1 = F 1 − − = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 e T e e F 2 = F 2 e e e F F F F = 2 1 2 1 0 0 e e e F = T F 其中 单元 e 的坐标转换矩阵
