第11章位移法 学习目的和要求 位移法是超静定结构计算的基本方法之一,许多工程中使用的实用计算方法都是 由位移法演变出来的,是本课程的重点内容之一。 本章的基本要求: 1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程 的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、 最终弯矩图的绘制。 2.熟记一些常用的形常数和载常数。 3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法 4.掌握利用对称性简化计算。 5.重点掌握荷载荷载作用下的计算,了解其它因素下的计算。 位移法方程有两种建立方法,写典型方程法和写平衡方程法。要 求熟练掌握一种,另一种了解即可 学习內容 位移法的基本概念。 跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程 位移法基本未知量和位移法基本结构的确定, 用位移法计算刚架和排架 利用对称性简化位移法计算。 直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程
第11章 位移法 学习目的和要求 位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是 由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。 本章的基本要求： 1. 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程 的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、 最终弯矩图的绘制。 2. 熟记一些常用的形常数和载常数。 3. 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 4. 掌握利用对称性简化计算。 5. 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。 6. 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。要 求熟练掌握一种，另一种了解即可。 学习内容 位移法的基本概念。 跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。 位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。 用位移法计算刚架和排架。 利用对称性简化位移法计算。 直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程
§11.1位移法基本概念 1、位移法的特点: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与 原结构完全一样。 超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。 力法的特点:基本未知量一一多余未知力 基本体系一一静定结构 基本方程一一位移条件(变形协调条件)。 位移法的特点:基本未知量—独立结点位移:(例子86) 基本体系——一组单跨超静定梁;(例子87) 基本方程—平衡条件 (例子88) 因此,位移法分析中应解决的问题是: ①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力 ②确定结构独立的结点位移。 ③建立求解结点位移的位移法方程。 下面先看第一个问题:确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。 2、杆端力和杆端位移的正负规定: 杆端转角θ、θ。,弦转角B /都以顺时针为正 杆端弯矩对杆端以顺时针为正,对 结点或支座以逆时针为正。 RA 剪力使分离体有顺时针转动趋势 M,>0 时为正,否则为负。(与材料力学 M.<0 相同) 3、等截面直杆的形常数:
§11.1 位移法基本概念 1、位移法的特点： 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与 原结构完全一样。 超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。 力法的特点：基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件（变形协调条件）。 位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子 86） 基本体系——一组单跨超静定梁；（例子 87） 基本方程——平衡条件。 （例子 88） 因此，位移法分析中应解决的问题是： ①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。 ②确定结构独立的结点位移。 ③建立求解结点位移的位移法方程。 下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。 2、杆端力和杆端位移的正负规定： 杆端转角θA、θB ，弦转角β＝Δ /l都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对 结点或支座以逆时针为正。 剪力使分离体有顺时针转动趋势 时为正，否则为负。（与材料力学 相同） 3、等截面直杆的形常数：
由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆 端力。 如右图两端固定梁,由右端单位转角作用下 产生的杆端力,可用力法求解,并令 2 得到杆端弯矩(即形常数 M 为: Mn=43 Ma4=2 各种情形的形常数都可有力法求出如下表 单跨超静定梁简图 OaB= OBA 2i 6i 0 4、等截面直杆的载常数 仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杄端力称为载常熟,也叫固端力。载常数可按力法计算岀来 单跨超静定梁简图 mAB h↓↓↓ A B 8 8 A A 16 2
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA θ 4i 2i =1 A B A B 1 2 12 l i l −6i l −6i l −6i A B 1 0 l A −3i θ=1 B 3i 0 2 3 l i A θ=1 B i －i 0 l −3i 单跨超静定梁简图 单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA θ 4i 2i =1 A B A B 1 2 12 l i l −6i l −6i l −6i A B 1 0 l A −3i θ=1 B 3i 0 2 3 l i A θ=1 B i －i 0 l −3i 单跨超静定梁简图 mAB mBA A B A B ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ q 2 12 ql − 2 12 ql P 8 Pl − 8 Pl A ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ B q 2 8 ql − A B l/2 l/2 P 3 16 Pl − 0 0 单跨超静定梁简图 mAB mBA A B A B ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ q A B ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ q 2 12 ql − 2 12 ql P 8 Pl − 8 Pl A ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ B q A ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓ B q 2 8 ql − A B l/2 l/2 P A B l/2 l/2 P 3 16 Pl − 0 0 由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆 端力。 如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下 产生的杆端力，可用力法求解，并令： 得到杆端弯矩（即形常数） 为： 各种情形的形常数都可有力法求出如下表： 4、等截面直杆的载常数: 仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。 载常数可按力法计算出来
5、剪力计 算 4=-4+l 已知杆端弯矩,可由杆件的矩平衡方程求出剪力 其中是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力,MB,Mb的正负按位移法规定, §11.2位移法计算——典型方程法 位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩:典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方 程法的解题思路和解题步骤 1、位移法典型方程的建立:(例子89) 欲用位移法求解图a所示结构,先选图b为基本体系。然后,使基本体系发生与原结构相同 的结点位移,受相同的荷载,又因原结构中无附加约束,故基本体系的附加约束中的约束反力(矩) 必须为零,即:R1=0,R2=0 而R1是基本体系在结点位移Z1,Z2和荷载共同作用下产生的第i个附加约束中的反力(矩),按 叠加原理R;也等于各个因素分别作用时(如图c,d,e所示)产生的第i个附加约束中的反力 (矩)之和。于是得到位移法典型方程: 足1=n121+122+R1P=0R2=n121+122+R2P= 注 R=0 R=0 R2 位移法 意: 原结构 基本体系 XZ 十 X Z 1.位移法方程的物理意义:基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中 的反力(矩)等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。 2.位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力(矩)。其中:Ri表示基本体系在 荷载作用下产生的第i个附加约束中的反力(矩):称为自由项。riZ;表示基本体系在Z作用下 产生的第i个附加约束中的反力(矩)
Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 R1 Z2 R2 R1=0 R2=0 R1P R2P r Z 21 1=1 Z1 × Z1 × Z2 r11 Z2=1 r22 r12 位移法 基本体系 原结构 Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 R1 Z2 R2 R1=0 R2=0 R1P R2P r Z 21 1=1 Z1 × Z1 × Z2 r11 Z2=1 r22 r12 位移法 基本体系 原结构 5、剪力计 算： 已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力： 。 其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA 的正负按位移法规定。 §11.2 位移法计算——典型方程法 位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方 程法的解题思路和解题步骤。 1、位移法典型方程的建立：（例子 89） 欲用位移法求解图 a 所示结构，先选图 b 为基本体系。然后，使基本体系发生与原结构相同 的结点位移，受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩） 必须为零，即：R1=0，R2=0。 而 Ri 是基本体系在结点位移 Z1，Z2 和荷载共同作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩），按 叠加原理 Ri 也等于各个因素分别作用时（如图 c，d，e 所示）产生的第 i 个附加约束中的反力 （矩）之和。于是得到位移法典型方程： 注 意： 1．位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中 的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。 2．位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中：RiP 表示基本体系在 荷载作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；称为自由项。rijZj 表示基本体系在 Zj 作用下 产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；
3.主系数r表示基本体系在Z=1作用下产生的第i个附加约束中的反力(矩);r恒大于零; 4.付系数r表示基本体系在Z=1作用下产生的第i个附加约束中的反力(矩):根据反力互 等定理有r1=r1,付系数可大于零、等于零或小于零。 5.由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程,而位移法方程是平衡条件,所以位移法校 核的重点是平衡条件(刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡)。 2、求解步骤 ①确定位移法基本未知量,加入附加约束,取位移法基本体系。 ②令附加约束发生与原结构相同的结点位移,根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作 用下产生的附加约束中的总反力(矩)=0,列位移法典型方程 ③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图,利用平衡条件求系数和自由项。 ④解方程,求出结点位移。 ⑤用公式M=∑21+M,叠加最后弯矩图。并校核平衡条件 ⑥根据M图由杆件平衡求Q,绘Q图,再根据Q图由结点投影平衡求N,绘N图 3、求解举例:(例子90,91,92) §11.3位移法计算——直接平衡法 位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩:典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法 的解题思路和解题步骤。 1、截面直杆的转角位移方程_ 各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程 ①两端固定梁转角位移方程: ↓↓↓↓↓↓ M=46,+26-6+ maB MABl MB4=264+46。-61+m Q Q MBA BA ②一端固定一端铰支梁转角位移方程 B MAB=364-37+mA3 M 4=0 6
3．主系数 rii 表示基本体系在 Zi=1 作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；rii 恒大于零； 4．付系数 rij 表示基本体系在 Zj=1 作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；根据反力互 等定理有 rij=rji，付系数可大于零、等于零或小于零。 5．由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校 核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。 2、求解步骤： ①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。 ②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作 用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。 ③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。 ④解方程，求出结点位移。 ⑤用公式 叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。 ⑥根据 M 图由杆件平衡求 Q，绘 Q 图，再根据 Q 图由结点投影平衡求 N，绘 N 图。 3、求解举例：（例子 90，91，92） §11.3 位移法计算——直接平衡法 位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法 的解题思路和解题步骤。 1、截面直杆的转角位移方程 各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。 ①两端固定梁转角位移方程： θA θ Δ B MAB QAB QBA MBA β ↓↓↓↓↓↓↓↓ MAB θA A Δ ↓↓↓↓↓↓↓↓ B MAB A B θA θB MBA ↓↓↓↓↓↓↓↓ θA θ Δ B MAB QAB QBA MBA β ↓↓↓↓↓↓↓↓ θA θ Δ B θA θB MAB QAB QBA MBA MAB QAB QBA MBA β ↓↓↓↓↓↓↓↓ MAB θA A Δ ↓↓↓↓↓↓↓↓ B MAB θA A Δ ↓↓↓↓↓↓↓↓ B MAB A B θA θB MBA ↓↓↓↓↓↓↓↓ MAB A B θA θB MBA ↓↓↓↓↓↓↓↓ ②一端固定一端铰支梁转角位移方程：
③一端固定一端定向支承梁 移 方程 M 日4-+m 48 MM4=16-164+ma ④已知杆端弯矩,可由杆件的矩平衡方 程求出剪力 其中息A是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力:MB,MmA的正负按位移法规定。 2、直接列平衡方程法: 位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移,相应的是结点的力矩平衡方程:对于 结点线位移,相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时,是借助于基本体系这个工 具,以达到分步、分项写出平衡方程的目的。 也可以不用基本体系,直接由转角位移方程,写出各杆件的杆端力表达式,在有结点角位移 处,建立结点的力矩平衡方程:在有结点线位移处,建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是 位移法的基本方程。 3、求解步骤:(例子93.94) 1)确定基本未知量; 2)由转角位移方程,写出各杆端力表达式 3)在由结点角位移处,建立结点的力矩平衡方程,在由结点线位移处,建立截面的剪力平 衡方程,得到位移法方程 4)解方程,求基本未知量 5)将已知的结点位移代入各杆端力表达式,得到杆端力: 6)按杆端力作弯矩图 4、排架计算(剪力分配法):(例子95,96) 1)设为排架柱的侧移刚度系数。J是仅使柱顶发生单位侧移时,在柱顶产生的剪力。 端固定一端铰支的杆的侧移刚度是:J=3E:两端固定杆的侧移刚度是:J=12EMh3。剪力分 配系数2=
③ 一端固定一端定向支承梁转角位移 方程： ④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方 程求出剪力： 。 其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA 的正负按位移法规定。 2、直接列平衡方程法： 位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于 结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工 具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。 也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移 处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是 位移法的基本方程。 3、求解步骤：(例子 93,94) 1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； 3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平 衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。 4、排架计算（剪力分配法）：(例子 95,96) 1）设 Ji 为排架柱的侧移刚度系数。Ji 是仅使柱顶发生单位侧移时，在柱顶产生的剪力。一 端固定一端铰支的杆的侧移刚度是：Ji=3EI/h3； 两端固定杆的侧移刚度是：Ji=12EI/h3。剪力分 配系数
2)当排架仅在柱顶受水平集中力P作用时,柱顶集中荷载P作为各柱的总剪力,按各柱的 剪力分配系数u进行比例分配,求出各柱剪力,再由反弯点开始即可作出弯矩图。 §11.4位移法计算简化 1、剪力静定杆的应用:(例子97 剪力静定杆是指剪力可由静力平衡条件求出的杆件。如图a所示结构中的AB杆。剪力静定 杆的受力和变形与一端固定一端定向支承的单跨超静定梁相同。如图b,c所示。 所以,剪力静定杆的两端相对侧移可不作为位移法基本未知量。其形常数按一端固定一端定 向支承的单跨超静定梁确定。 剪力静定杄的固端弯矩计算∵先由平衡条件求岀杄端剪力;将杄端剪力看作杄端荷载加在该 端,视该端滑动,另端固定的杆件计算固端弯矩 A (b) A (c) 2、利用对称性简化计算 用位移法计算对称结构时,在对称荷载和反对称荷载作用下,仍然可以利用对称轴上的 变形和受力特征,取等代结构进行计算,以减少基本未知量的个数。如荷载为任意荷载,可 分为对称和反对称两组,分别计算后叠加 (例子9899.100.101) 3、力法与位移法的比较 欲求解超静定结构,先选取基本体系,然后让基本体系与原结构受力一致(或变形一致), 由此建立求解基本未知量的基本方程。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同,超静 定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法。所以力法和位移法有相同之处也有不同之处, 比较如下表 位移法 力法 综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件,使基本体系 求解依据与原结构的变形和受力情况一致,从而利用基本体系建立典型方程求解原结 构
2）当排架仅在柱顶受水平集中力 P 作用时，柱顶集中荷载 P 作为各柱的总剪力，按各柱的 剪力分配系数 μi 进行比例分配，求出各柱剪力，再由反弯点开始即可作出弯矩图。 §11.4 位移法计算简化 1、 剪力静定杆的应用：(例子 97) 剪力静定杆是指剪力可由静力平衡条件求出的杆件。如图 a 所示结构中的 AB 杆。剪力静定 杆的受力和变形与一端固定一端定向支承的单跨超静定梁相同。如图 b，c 所示。 所以，剪力静定杆的两端相对侧移可不作为位移法基本未知量。其形常数按一端固定一端定 向支承的单跨超静定梁确定。 剪力静定杆的固端弯矩计算：先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载加在该 端，视该端滑动，另端固定的杆件计算固端弯矩。 2、利用对称性简化计算 用位移法计算对称结构时，在对称荷载和反对称荷载作用下，仍然可以利用对称轴上的 变形和受力特征，取等代结构进行计算，以减少基本未知量的个数。如荷载为任意荷载，可 分为对称和反对称两组，分别计算后叠加。 (例子 98.99.100,101) 3、力法与位移法的比较 欲求解超静定结构，先选取基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致（或变形一致）， 由此建立求解基本未知量的基本方程。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静 定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法。所以力法和位移法有相同之处也有不同之处， 比较如下表 位移法 力法 求解依据 综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件，使基本体系 与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本体系建立典型方程求解原结 构
独立的结点位移,基本未知量与多余未知力,基本未知量的数目 基本未知量 结构的超静定次数无关。 等于结构的超静定次数 加入附加约束后得到的一组单 去掉多余约束后得到的静定结构 基本体系跨超静定梁作为基本体系。对同一结作为基本体系,同一结构可选取多个 构,位移法基本体系是唯一的 不同的基本体系 基本体系在荷载等外因和各结 基本体系在荷载等外因和多余未 点位移共同作用下产生的附加约束|共同集用产生多余未想力方向 典型方程的 中的反力(矩)等于零。实质上是原的位移签,原结构想应的信移:实质 物理意义 结构应满足的平衡条件。方程右端项上是位移条件:方程右端项也可能不 总为零 为零。 r表示基本体系在Z=1作用下 6;表示基本体系在X;=1作用下 系数的 生的第i个附加约束中的反力 产生的第i个多余未知力方向的位 物理意义 Rp表示基本体系在荷载作用下 △iP表示基本体系在荷载作用下 自由项的 生的第i个附加约束中的反力 产生的第i个多余未知力方向的位 物理意义 (矩) 移 只要有结点位移,就有位移法基 只有超静定结构才有多余未知 方法的 本未知量,所以位移法既可求解超静|力,才有力法基本未知量,所以力法 应用范围 定结构,也可求解静定结构。 只适用于求解超静定结构
基本未知量 独立的结点位移，基本未知量与 结构的超静定次数无关。 多余未知力，基本未知量的数目 等于结构的超静定次数 基本体系 加入附加约束后得到的一组单 跨超静定梁作为基本体系。对同一结 构，位移法基本体系是唯一的。 去掉多余约束后得到的静定结构 作为基本体系，同一结构可选取多个 不同的基本体系 典型方程的 物理意义 基本体系在荷载等外因和各结 点位移共同作用下产生的附加约束 中的反力（矩）等于零。实质上是原 结构应满足的平衡条件。方程右端项 总为零。 基本体系在荷载等外因和多余未 知力共同作用下产生多余未知力方向 的位移等于原结构相应的位移。实质 上是位移条件。方程右端项也可能不 为零。 系数的 物理意义 rij 表示基本体系在 Zj=1 作用下 产生的第 i 个附加约束中的反力 （矩）； δij 表示基本体系在 Xj=1 作用下 产生的第 i 个多余未知力方向的位 移； 自由项的 物理意义 RiP 表示基本体系在荷载作用下 产生的第 i 个附加约束中的反力 （矩）； ΔiP 表示基本体系在荷载作用下 产生的第 i 个多余未知力方向的位 移； 方法的 应用范围 只要有结点位移，就有位移法基 本未知量，所以位移法既可求解超静 定结构，也可求解静定结构。 只有超静定结构才有多余未知 力，才有力法基本未知量，所以力法 只适用于求解超静定结构