第十五章虚位移原理 §15-1约束虚位移虚功 §152虚位移原理 例题 返回 动力学
1 § 15-1 约束 ·虚位移·虚功 § 15-2 虚位移原理 例题 返回 第十五章 虚位移原理 动力学
§15-1约束虚位移虚功 约束的分类 (1)约束的定义 当质点或质点系中的某些质点运动时受到某些事先 给定的几何上或运动学上的限制条件这些限制条件称 为质点或质点系的约束 例18-1.圆盘C在粗糙的平面上作 纯滚动 y=R表示圆盘C受到几何上的 限制 V=Ro表示圆盘C受到运动学上的限制 约束是指事先给定的限制条件它与作用力,起始条件 以 及运动的其他条件无关
2 一. 约束的分类 (1) 约束的定义 当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先 给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称 为质点或质点系的约束. 例18-1. 圆盘C在粗糙的平面上作 纯滚动 . 约束是指事先给定的限制条件 . 它与作用力, 起始条件 以 及运动的其他条件无关. C y = R表示圆盘C受到几何上的 限制 . vc = R表示圆盘C受到运动学上的限制. § 15-1 约束 ·虚位移·虚功
不受任何约束的质点系为自由质点系它可以在 主动力作用下作空间任意运动 受有约束的质点系为非自由质点系 约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何 学和运动学知识写成具体的数学表达式,这样的数 学表达式称为约束方程 例15-2.曲柄连杆机构的 A(x1,y1) 6x20)约束方程为 x12+y2= (x1-x2)2+y12=12 y2=0
3 受有约束的质点系为非自由质点系. 约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何 学和运动学知识,写成具体的数学表达式 , 这样的数 学表达式称为约束方程. 例15-2. 曲柄连杆机构的 约束方程为: x1 2 + y1 2 = r 2 (x1 - x2) 2 + y1 2 = l 2 y2 = 0 y O A(x1,y1) r B(x2,0) x l 不受任何约束的质点系为自由质点系,它可以在 主动力作用下作空间任意运动
(2)双面约束与单面约束 右图中摆锤A的约束方程为 在约束方程中用严格的等号表示的约束为 双面约束这种约束如能限制物体向某一方向 A(x,y) 运动,则必能限制向相反方向运动 左图中摆锤A的约束方程为 J x2+y2= 0 在约束方程中用不等号表示的约束为单 面约束这种约束只能限制物体某个方向的 运动而不能限制相反方向的运动
4 右图中摆锤A的约束方程为 x 2+y 2 = l 2 在约束方程中用严格的等号表示的约束为 双面约束.这种约束如能限制物体向某一方向 运动,则必能限制向相反方向运动. 在约束方程中用不等号表示的约束为单 面约束.这种约束只能限制物体某个方向的 运动,而不能限制相反方向的运动. 左图中摆锤A的约束方程为 l 2 x 2 + y 2 x O y A(x,y) l O y x A(x,y) l (2) 双面约束与单面约束
(3)定常约束与非定常约束 如果在约束方程中不显含时间t,既约束不随时间而改 变这种约束称为定常约束如上面所举二例 如左图圆周的半径随时间改变,约束方程 为x2+y2=(r+a)2 如果在约束方程中显含时间t,既约束随 时间而改变,这种约束称为非定常约束如上 面举例. (4)完整约束与非完整约束 如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的,或包含坐标 对时间的导数但能积分成有限形式的,则这种约束称为完整 约束如上面所举各例完整约束方程的一般形式为 fa(1, v1, 21,.m,, En, 4=0 (0=1,2,,s)
5 如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的 , 或包含坐标 对时间的导数但能积分成有限形式的 , 则这种约束称为完整 约束. 如上面所举各例.完整约束方程的一般形式为 ƒ (x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0 ( =1,2,…,s) 如果在约束方程中不显含时间 t ,既约束不随时间而改 变 ,这种约束称为定常约束.如上面所举二例. 如左图圆周的半径随时间改变 , 约束方程 为x 2 + y 2 = (r + at) 2 如果在约束方程中显含时间t , 既约束随 时间而改变 ,这种约束称为非定常约束.如上 面举例. (4)完整约束与非完整约束 O (3) 定常约束与非定常约束
如果约束方程中不仅含有坐标,还含有坐标对时间的导数 且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约 束称为非完整约束其一般形式为 12y121 n2 nsn 1)=0 11 (β=1,2…,s) 因为完整约束方程中仅含坐标,它表现为对质点系的几 何位置起限制作用,所以这种约束又称为几何约束 因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为 对质点速度所加的限制,所以这种约束又称为运动约束 本单元内容只涉及定常的双面的完整约束 6
6 如果约束方程中不仅含有坐标 , 还含有坐标对时间的导数 , 且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式 , 则这种约 束称为非完整约束.其一般形式为 因为完整约束方程中仅含坐标 , 它表现为对质点系的几 何位置起限制作用 , 所以这种约束又称为几何约束. 因为非完整约束方程中包含有速度投影量 , 它仅表现为 对质点速度所加的限制 , 所以这种约束又称为运动约束. ƒ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; t) = 0 ( = 1,2,…,s) , , ,..., , , ; 1 1 1 n n n x y z x y z 本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束
例题15-3.平面上两个质点M和M2 质量相等由一长为l不计质量的网 M1(x12y1) 性杆连接,运动中杆中点C的速度 只可以沿着杆的方向如图所示写出 质点M和M2及中点C的约束方程 解由质点距离不变的条件写出M 和M2的约束方程 M2(x2y2) (x1-x2)2+(1-y2=12 图1-6 由点C的速度v必须沿杆的方向的条件写出约束方程 Atx 或 V1+y 037= X1-x2y1-y2 7
7 解: 由质点距离不变的条件写出M1 和M2的约束方程 (x1 - x2) 2+(y1 - y2) 2 = l 2 由点C的速度vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程 tg = x y c c 或 1 2 1 2 1 2 1 2 y y y y x x x x − + − + = o x y c M1(x1,y1) M2(x2,y2) vc 图1-6 例题15-3. 平面上两个质点M1和M2 质量相等.由一长为 l 不计质量的刚 性杆连接 , 运动中杆中点 C 的速度 只可以沿着杆的方向如图所示.写出 质点M1和M2及中点C的约束方程
二自由度与广义坐标 (1)自由度 在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所 需独立坐标的个数,称为质点的自由度或自由度 个由n个质点组成的质点系在平面内的位置,在直角坐 标系中需用2n个坐标来确定如果质点系受有s个完整约束, 则质点系的2n个坐标必须满足s个约束方程因此质点系只有 k=2n-s个坐标是独立的 例题18-4确定右图所示系统的约束数 0 =0 VB 0 4(x11) x42+yA2= B(x2,0) (x-x8)2+y2=12 k=2×3-5=
8 二.自由度与广义坐标 (1)自由度 在完整约束的条件下 , 用来确定质点系在空间的位置所 需独立坐标的个数 , 称为质点的自由度或自由度. 一个由n个质点组成的质点系在平面内的位置 , 在直角坐 标系中需用2n个坐标来确定.如果质点系受有s个完整约束 , 则质点系的2n个坐标必须满足s个约束方程.因此质点系只有 k=2n - s 个坐标是独立的. 例题18-4.确定右图所示系统的约束数. y O A(x1,y1) r B(x2,0) x l xo= 0 yo= 0 yB= 0 xA 2 + yA 2 = r 2 (xA-xB) 2 + yA 2 = l 2 k = 23 - 5 = 1
例题15-5求右图乐示双摆的自由度 系统由3个质点组成 受4个约束 A(x小y4 O 0 J 0 x2+y2=12 0 (x-x1)2+(yx-y)2=l2 B(xB,yB) J k=2×3-4=2
9 例题15-5. 求右图所示双摆的自由度. 系统由3个质点组成, 受4个约束 xO= 0 yO= 0 xA 2 + yA 2 =l1 2 (xA-xB) 2+(yA-yB) 2 = l2 2 k = 23 - 4 = 2 O x y A(xA,yA) B(xB,yB) 1 2
(2)广义坐标 唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标 例题18-4确定右图的广义坐标 解可取θ1和θ2为广义坐标来确 定系统的位置这时A和B点的直 A(x小,y4) 角坐标与广义坐标的关系为 02 xA=l sine B(B, yB) VA=l1 COS 01 xB=l sin 01 t l2 sin 02 yB=l cos 01+ l2 cos 02
10 (2)广义坐标 唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标. 例题18-4. 确定右图的广义坐标. xA =l1 sin1 yA = l1 cos 1 xB = l1 sin 1 + l2 sin 2 yB =l1 cos 1 + l2 cos 2 O x y A(xA,yA) B(xB,yB) 1 2 解:可取1和 2为广义坐标来确 定系统的位置.这时A和B点的直 角坐标与广义坐标的关系为: