第12章渐进法 学习目的和要求 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和 求解基本方程,直接得到杆端弯矩。运算简单,方法机械,便于掌握。 本章的基本要求 1.熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。 2.掌握无剪力分配法的计算,了解用力矩分配法计算有侧移刚架 3.了解超静结构影响线的绘制和内力包络图的绘制。 学习内容 转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定 力矩分配法的概念,用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图 利用对称性简化力矩分配法计算。 §12.1基本概念 1、力矩分配法概述 理论基础:位移法 计算对象:杆端弯矩 计算方法:增量调整修正的方法 适用范围:连续梁和无侧移刚架 2、杆端弯矩正负号规定: 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、 固端弯矩的正负号规定与位移法相同,即都 假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点 上的外力偶荷载,约束力矩,也假定顺时针 M,>0 转动为正号,而杆端弯矩作用于结点上时逆 M。<0
第12章 渐进法 学习目的和要求 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和 求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。 本章的基本要求： 1. 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。 2. 掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。 3. 了解超静结构影响线的绘制和内力包络图的绘制。 学习内容 转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。 利用对称性简化力矩分配法计算。 §12.1 基本概念 1、力矩分配法概述： 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：增量调整修正的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 2、杆端弯矩正负号规定： 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、 固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都 假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点 上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆
时针转动为正号。 3、转动刚度S 转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力,在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB杆A端的转动刚度S与AB杆的线刚度i(材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆 长)及远端支承有关,而与近端支承无关。当远端是不同支承时,等截面杆的转动刚度如右图: (x4( 如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动(但不能移动)的刚结点转动刚度SAB的数值 4、传递系数G:(例子102) 传递系数指的是杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即 利用传递系数的概念,远端弯矩可表达为:MBA℃ CABMAB 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表 远端支承 转动刚度 传递系数 固定 42 1/2 铰支 3i 定向支座 §12.2单结点力矩分配法——基本运算 力矩分配法的基本运算指的是,单结点结构的力矩分配法计算 1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算 如下图所示结构,在结点集中力偶m作用下,使结点转动,从而带动各杆端转动,杆端转动产 生的近端弯称为分配弯矩,产生远端弯矩称为传递弯矩。分配弯矩:My=μym C),传递弯矩:M1=CuM(=A,B,C) 注意 1.结点集中力偶m顺时针为正,产生正的分配弯矩
时针转动为正号。 3、转动刚度 S： 转动刚度 S 表示杆端对转动的抵抗能力, 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆 A 端的转动刚度 SAB与 AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆 长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如右图： 如果把 A 端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度 SAB 的数值 不变。 4、传递系数 C： (例子 102) 传递系数指的是杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即： 利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表： §12.2 单结点力矩分配法——基本运算 力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算。 1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算： 如下图所示结构，在结点集中力偶 m 作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产 生的近端弯称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩。分配弯矩：M1j=μ1jm （j=A，B， C），传递弯矩：Mj1=C1jM1j （j=A，B，C） 注意： 1. 结点集中力偶 m 顺时针为正，产生正的分配弯矩
2.分配系数表示1杆1端承担结点外力偶的比率,它等于该杆1端的转动刚度S1;与交与 结点1的各杆转动刚度之和的比值,即 ∑ 只有分配弯矩才能向远端传递 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩,传递弯矩是杄端转动时产生的C 欢远端弯矩 (例子103) 2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算: DOkN 20k/m 将整个变形过程分为两步 ↓↓↓↓↓44 1.在刚结点加刚臂阻止结点转动,将连续梁分解为 3限 3m 6m 两根单跨超静定梁,求出各杆端的固端弯矩。结点B 各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩,称为 200 20kN/m 结点不平衡力矩MB 150 2.去掉约束,相当于在结点B加上负的不平衡力矩 MB,并将它分给各个杆端及传递到远端。 m 60 3.叠加以上两步的杆端弯,得到最后杆端弯矩 例子104,105) 0-30 §12.3多结点力矩分配法一一渐进运算 1.锁住:加入刚臂,锁住刚结点,将体系化成一组单跨超静定梁,计算各杆固端弯矩m,由结点 力矩平衡求刚臂内的约束力矩(称为结点的不平衡力矩),如图b,图b与原结构的差别是:在 受力上,结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC:在变形上结点B、C不能转动 2.放松B:为了取消结点B的刚臂,放松结点B(结点C仍锁住),在结点B加上(一MB),如 图c,此时ABC部分只有一个角位移,并且受结点集中力偶作用,可按基本运算进行力矩分配和 传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点的不平衡力矩是M+M 24kN/m 50kN 2EI n8m日4m2I-m M=-128 24kN/m M=5350kN 128 MC=786 768512—256 AC=-78.6 7 314-47.2 9463
B 1 C A M ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 24kN/m 50kN －128 128 －75 MB=－128 MC=53 －MB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 24kN/m 50kN 8m 8m 4m 4m A B C D 2EI EI 2EI i=2 i=2 i=1 76.8 51.2 25.6 MC=78.6 －MC=－78.6 －15.7 －31.4 －47.2 －15.7 15.7 9.4 6.3 3.2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 24kN/m 50kN －128 128 －75 MB=－128 MC=53 －MB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 24kN/m 50kN 8m 8m 4m 4m A B C D 2EI EI 2EI ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 24kN/m 50kN 8m 8m 4m 4m A B C D 2EI EI 2EI i=2 i=2 i=1 i=2 i=2 i=1 76.8 51.2 25.6 MC=78.6 －MC=－78.6 －15.7 －31.4 －47.2 －15.7 15.7 9.4 6.3 3.2 2. 分配系数 μ1j 表示 1j 杆 1 端承担结点外力偶的比率，它等于该杆 1 端的转动刚度 S1j与交与 结点 1 的各杆转动刚度之和的比值，即： , 1 ij ij S S = = 只有分配弯矩才能向远端传递。 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的 远端弯矩。 (例子 103) 2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算： 将整个变形过程分为两步： 1. 在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为 两根单跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点 B 各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩，称为 结点不平衡力矩 MB。 2. 去掉约束，相当于在结点 B 加上负的不平衡力矩 MB，并将它分给各个杆端及传递到远端。 3. 叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩。 (例子 104,105) §12.3 多结点力矩分配法——渐进运算 1.锁住：加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩 m，由结点 力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图 b，图 b 与原结构的差别是： 在 受力上，结点 B、C 上多了不平衡力矩 MB、MC；在变形上结点 B、C 不能转动。 2. 放松 B：为了取消结点 B 的刚臂，放松结点 B（结点 C 仍锁住），在结点 B 加上（－MB），如 图 c,此时 ABC 部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和 传递。结点 B 处于暂时的平衡。此时 C 点的不平衡力矩是 MC+ M 传
3.放松C:为了取消结点C的刚臂,放松结点C,在结点C加上(一(M+M)),如图d,为了 使BCD部分只有一个角位移,结点B再锁住,按基本运算进行力矩分配和传递。结点C处于暂 时的平衡 传递弯矩的到来,又打破了B点的平衡,B点又有了新的约束力矩M件,重复2、3两步,经多次 循环后各结点的约束力矩都趋于零,恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般2~3个循环 就可获得足够的精度 4.叠加:最后杆端弯矩:M=∑M分配+∑M传递+M 例子106) 注意: ①多结点结构的力矩分配法得的是渐近解 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始,以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点(因为两相邻结点同时放松时,它们之间的杆的转动刚度和传递 系数定不出来):但是,可以同时放松所有不相邻的结点,这样可以加速收敛 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点i的不平衡力矩M总等于附加刚臂上的约束力矩,可由结点平衡来求 在第一轮第一个分配结点:M=∑M-m(结点力偶荷载顺时针为正) 在第一轮其它分配结点:M=∑M+M传-m(结点力偶荷载顺时针为正) 以后各轮的各分配结点:M=M传 (例子10 §124无剪力分配法
3.放松 C：为了取消结点 C 的刚臂，放松结点 C，在结点 C 加上（－(MC+ M 传)），如图 d，为了 使 BCD 部分只有一个角位移，结点 B 再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点 C 处于暂 时的平衡。 传递弯矩的到来，又打破了 B 点的平衡，B 点又有了新的约束力矩 M 传，重复 2、3 两步，经多次 循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般 2～3 个循环 就可获得足够的精度。 4. 叠加：最后杆端弯矩： M=∑M 分配＋∑M 传递＋MF (例子 106) 注意： ①多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递 系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点 i 的不平衡力矩 Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡来求。 在第一轮第一个分配结点：Mi=∑MF－m （结点力偶荷载顺时针为正） 在第一轮其它分配结点：Mi=∑MF＋M 传－m （结点力偶荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：Mi=M 传 (例子 107,108) §12.4 无剪力分配法
力矩分配法适用连续梁和无侧移刚架,一般不能直接用于有侧移刚架。但对有些特 殊的有侧移刚架,可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算 (1)无剪力分配法的使用 OkN 10%N 条件:结构中除了无侧移的杆 外,其余的杆均为剪力静定杆 b SkNn 无侧移杆:如果杆件两端线 位移平行并且不于轴线垂 15 直,则该杆为两端无相对线 位移的杆即无侧移杆。如图 l(a)中EC、CF、DB杆均为 无侧移杆。 剪力静定杆指的是剪力可由 截面投影平衡求出来的杆。 如图1(a)中AB、BC杆均为 剪力静定杆。 两端无相对线位移的杆转动 刚度、传递系数和固端弯矩 确定,前面已经讨论过,下 面这种讨论剪力静定杆的转 动刚度、传递系数和固端弯 矩确定 (2)剪力静定杆的固端弯矩计算 先由截面投影平衡求出杆端剪力,然后将杄端剪力看作杄端荷载加在杄端,按该端滑动 另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图1(b)c)所示。 (3)剪力静定杆的转动刚度:S=i,传递系数:C=-1 例子109,110,11)
力矩分配法适用连续梁和无侧移刚架，一般不能直接用于有侧移刚架。但对有些特 殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。 ⑴无剪力分配法的使用 条件：结构中除了无侧移的杆 外，其余的杆均为剪力静定杆。 无侧移杆：如果杆件两端线 位移平行并且不于轴线垂 直，则该杆为两端无相对线 位移的杆即无侧移杆。如图 1(a)中 EC、CF、DB 杆均为 无侧移杆。 剪力静定杆指的是剪力可由 截面投影平衡求出来的杆。 如图 1(a)中 AB、BC 杆均为 剪力静定杆。 两端无相对线位移的杆转动 刚度、传递系数和固端弯矩 确定，前面已经讨论过，下 面这种讨论剪力静定杆的转 动刚度、传递系数和固端弯 矩确定。 ⑵剪力静定杆的固端弯矩计算 先由截面投影平衡求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动， 另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图 1(b)(c)所示。 ⑶剪力静定杆的转动刚度：S=i，传递系数：C=－1。 (例子 109,110,111)