第七章影响线及其应用 学习目的和要求 1.掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法 2.熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线 3.掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。 4.掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 学习内容 影响线的概念,用静力法和机动法作静定梁的影响线,影响量的计算和最不利荷载 位置的确定,连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 S8.1影响线的概念 1、移动荷载作用下内力计算特点 结构反力和内力随荷载作用位置的移动而变化,为此需要研究反力和内力的变化规律及其最 大值,和产生最大值的荷载位置(即荷载的最不利位置) 2、移动荷载作用下内力计算方法 利用分解和叠加的方法,将多个移动荷载视为单位移动荷载的组合,先研究单位移动荷载作 用下的反力和内力变化规律,再根据叠加原理解决多个移动荷载作用下的反力和内力计算问题, 以及最不利荷载的位置问题。 3、影响线定义:(例子39) 当单位移动荷载P=1在结构上移动时,用来表示某一量值Z变化规律的图形,称为该量值Z 的影响线。 注意: 1.在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置 P=l 竖标表示的是量值z的值。如在右图R影响线中a 的竖标y表示的是:当P=1移动到D点时,产生RA RB 的R支座反力 R2影响线 2.Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲,而弯 矩影响线的量纲是长度。 3.绘制影响线时,正值画在基线之上,负值画在基线之下
＋ 1 RB .影响线 D a b RA A RB . B x P=1 l yD ＋ 1 RB .影响线 D a b RA A RB . B x P=1 l D a b RA A RB . B x P=1 l yD 第七章 影响线及其应用 学习目的和要求 1. 掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。 2. 熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。 3. 掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。 4. 掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 学习内容 影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响量的计算和最不利荷载 位置的确定，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。 §8.1 影响线的概念 1、 移动荷载作用下内力计算特点: 结构反力和内力随荷载作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变化规律及其最 大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。 2、移动荷载作用下内力计算方法 利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视为单位移动荷载的组合，先研究单位移动荷载作 用下的反力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷载作用下的反力和内力计算问题, 以及最不利荷载的位置问题。 3、影响线定义： （例子 39） 当单位移动荷载 P=1 在结构上移动时，用来表示某一量值 Z 变化规律的图形，称为该量值 Z 的影响线。 注意： 1. 在 Z 的影响线中, 横标表示的是 P=1 的作用位置； 竖标表示的是量值 Z 的值。如在右图 RB 影响线中 的竖标 yD 表示的是：当 P=1 移动到 D 点时，产生 的 RB 支座反力。 2. Z 的影响线与量值 Z 相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯 矩影响线的量纲是长度。 3. 绘制影响线时，正值画在基线之上，负值画在基线之下
§8.2绘制影响线静力法 用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的影响线方程,再据此绘出影响线。 其步骤如下 ①选定坐标系,将P=1置于任意位置,以自变量x表示P=1的作用位置 ②对于静定结构可直接由分离体的静力平衡条件,求出指定量值与x之间的函数关系,即影 响线方程 ③由影响线方程作出影响线。 1、简支梁的影响线:由静力法求出简支粱的影响线如图81.(例子40) R影响线 尺影响线 Q影响线 abll Q影响线 ab/|+ M影响线 影响线 图81 图82 2、伸臂梁的影响线:(例子41) ①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时,可先作出无伸臂简支梁的对应量值的影响线, 然后向伸臂上延伸即得。 ②伸臂上截面内力影响线,只在截面以外的伸臂部分有非零值,而在截面以内部分上影响线 竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如图8-2 3、多跨静定梁的影响线 作多跨梁定梁的影响线,关键在于分清基本部分和附属部分 ①基本梁上某量值影响线,布满基本梁和与其相关的附属梁,在基本梁上与相应单跨静定梁 的影响线相同,在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折,在滑动联 结处左右两支平行
§8.2 绘制影响线——静力法 用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的影响线方程，再据此绘出影响线。 其步骤如下 ①选定坐标系，将 P =1 置于任意位置，以自变量 x 表示 P =1 的作用位置。 ②对于静定结构可直接由分离体的静力平衡条件，求出指定量值与 x 之间的函数关系，即影 响线方程。 ③由影响线方程作出影响线。 1、简支梁的影响线：由静力法求出简支梁的影响线如图 8-1。（例子 40） 2、伸臂梁的影响线：（例子 41） ①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁的对应量值的影响线， 然后向伸臂上延伸即得。 ②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在截面以内部分上影响线 竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如图 8-2。 3、多跨静定梁的影响线 作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。 ①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁 的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联 结处左右两支平行
②附属梁上某量值影响线,只在该附属梁上有非零值,且与相应单跨静定梁的影响线相同 如作图8-3(a)示多跨静定梁MK的影响线时,先作伸臂梁HE的MK的影响线,然后注意到 将P=1置于C,D点时产生的Mk等于零,所以Mk影响线在C,D点竖标为零,最后在附属梁上依 结点E,F为界连成直线。影响线如图8-3(b)所示 作R影响线时,在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制,在与其相关的基本梁H范围内R影 响线竖标为零,与其相关的附属梁FG范围Rc影响线按直线规律变化,Rc影响线在D点竖标为零。 影响线如图8-3(c)所示。 H A 3m Im+ 和mmmm b) L M,(m) 9阵4 15(c) 例子(42 §8.3绘制影响线一一机动法 机动法绘制影响线:用机动法作静定结构内力(反力)影响线的理论基础是刚体系虚功原理, 用机动法作超静定结构内力(反力)影响线的理论基础是功的互等定理,都是将作影响线的静力 问题转化为作虚位移图的几何问题。用机动法可迅速的勾画出影响线的形状,对有些结构比静力 法要方便得多。 机动法作内力(反力)影响线步骤如下: 1.去除与所求量值相应的约束,并代以正向的约束力。 2.使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移,由此得到的P=1作用点的位移 图即为该量值的影响线。 3.基线以上的竖标取正号,以下取负号
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。 如作图 8-3（a）示多跨静定梁 MK 的影响线时，先作伸臂梁 HE 的 MK 的影响线，然后注意到 将 P =1 置于 C，D 点时产生的 MK 等于零，所以 MK 影响线在 C，D 点竖标为零，最后在附属梁上依 结点 E，F 为界连成直线。影响线如图 8-3（b）所示。 作 RC 影响线时，在 EF 范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁 HE 范围内 RC 影 响线竖标为零，与其相关的附属梁 FG 范围 RC 影响线按直线规律变化，RC 影响线在 D 点竖标为零。 影响线如图 8-3（c）所示。 例子（42） §8.3 绘制影响线——机动法 机动法绘制影响线 ： 用机动法作静定结构内力（反力）影响线的理论基础是刚体系虚功原理， 用机动法作超静定结构内力（反力）影响线的理论基础是功的互等定理，都是将作影响线的静力 问题转化为作虚位移图的几何问题。用机动法可迅速的勾画出影响线的形状，对有些结构比静力 法要方便得多。 机动法作内力（反力）影响线步骤如下： 1. 去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。 2. 使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的 P =1 作用点的位移 图即为该量值的影响线。 3. 基线以上的竖标取正号，以下取负号
P= P=1 P=1 b P-l abl b/ TIITIEIT LL2c LL.M 注意 (例子44) 1.所作虚位移图要满足支承连接条件!有竖向支承处,不应有竖向位移。定向连接处左右 杆段位移后要互相平行等 2.用机动法作静定结构和超静定结构内力(反力)影响线的步骤是类似的。所不同的是, 静定结构去掉一个约束后成为几何可变体系,其虚位移图是直线形或折线形:而超静定 结构去掉一个约束后仍为几何不变体系,其位移图一般是曲线图形。 3.也有例外情况,如超静定结构在结点荷载作用下其内力、反力影响线在相邻结点之间仍 是直线。基本部分为超静定的主从结构,基本部分上的内力、反力影响线在其附属部分 上按直线规律变化 §8.4结点荷载作用下的影响线 结点荷载作用下梁的影响线绘制(例子45) 结点荷载作用下梁的影响线要点 对于右图(a)所示具有纵横梁的结构系统,不论纵梁受何种荷载,主梁只在结点处受集中力(结 点荷载)作用。作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都是荷载作用位置x的线性函数(如 (b)所示),而在线性变形体中,主梁的反力、内力与这些结点荷载成正比关系,所以在结点 荷载作用下,不论主梁是静定或超静定,其反力、内力影响线均是折线图形 ①在结点处,结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同 ②相邻结点之间影响线为一直线
注意： （例子 44） 1. 所作虚位移图要满足支承连接条件！有竖向支承处，不应有竖向位移。定向连接处左右 杆段位移后要互相平行等。 2. 用机动法作静定结构和超静定结构内力（反力）影响线的步骤是类似的。所不同的是， 静定结构去掉一个约束后成为几何可变体系，其虚位移图是直线形或折线形；而超静定 结构去掉一个约束后仍为几何不变体系，其位移图一般是曲线图形。 3. 也有例外情况，如超静定结构在结点荷载作用下其内力、反力影响线在相邻结点之间仍 是直线。基本部分为超静定的主从结构，基本部分上的内力、反力影响线在其附属部分 上按直线规律变化。 §8.4 结点荷载作用下的影响线 结点荷载作用下梁的影响线绘制 （例子 45） 结点荷载作用下梁的影响线要点 对于右图（a）所示具有纵横梁的结构系统，不论纵梁受何种荷载，主梁只在结点处受集中力（结 点荷载）作用。作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都是荷载作用位置 x 的线性函数（如 （b）所示），而在线性变形体中，主梁的反力、内力与这些结点荷载成正比关系，所以在结点 荷载作用下，不论主梁是静定或超静定，其反力、内力影响线均是折线图形。 ①在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。 ②相邻结点之间影响线为一直线
P=l 横梁纵梁 主梁 RB P 2 OcE. IL 结点荷载作用下影响线作法: ①以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线 ②将结点投影到上述影响线上,得到结点处的影响线竖标 ③以实线连接相邻结点处的竖标,即得结点荷载作用下该量值的影响线 图(a)所示主梁的MD和QD影响线如图(c)(d)所示。 【例题】作图(9-14所示梁在结点荷载作用下的RB,QG左,OB左,M1,Q1右影响线 【解】先按多跨静定梁,绘制出各指定量在直接荷载作用下的影响线,如图中虚线所示,然后 再将各结点向影响线作投影,将相邻投影点竖标连成直线。RB,QG左,QG右,QB左,M1,Q1 右影响线如图所示。 注意:在作结点下左侧截面剪力影响线时,应将结点投影到右直线上,作结点下右侧截面剪力 影响线时,应将结点投影到左直线上,如本例的QG,QG右影响线
d 8 5 d 4 3 d 16 15 横梁 纵梁 主梁 A C E F B RA RB l=4d d/2 d/2 D P=1 D x P=1 d d − x d x MD.I.L ＋ QCE. I.L 1/2 1/4 ＋ － (a) (c) (d) (e) (b) d 8 5 d 4 3 d 16 15 d 8 5 d 4 3 d 16 15 d 8 5 d 4 3 d 16 15 d 8 5 d 4 3 d 16 15 横梁 纵梁 主梁 A C E F B RA RB l=4d 横梁 纵梁 主梁 A C E F B RA RB l=4d d/2 d/2 D P=1 D x P=1 d d − x d x d d − x d x MD.I.L ＋ QCE. I.L 1/2 1/4 ＋ － (a) (c) (d) (e) (b) 结点荷载作用下影响线作法： ①以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 ②将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标。 ③以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。 图（a）所示主梁的 MD 和 QD 影响线如图（c）（d）所示。 【例题 】作图(9-14)所示梁在结点荷载作用下的 RB，QG 左，QB 左，M1，Q1 右影响线。 【解】先按多跨静定梁，绘制出各指定量在直接荷载作用下的影响线，如图中虚线所示，然后 再将各结点向影响线作投影，将相邻投影点竖标连成直线。RB，QG 左，QG 右，QB 左，M1，Q1 右影响线如图所示。 注意：在作结点下左侧截面剪力影响线时，应将结点投影到右直线上，作结点下右侧截面剪力 影响线时，应将结点投影到左直线上，如本例的 QG，QG 右影响线
2.5m 2m×7=14 1尽 1/20 LL.R L 14 1阵4 3/20 CERTITETFHTIL.M( (例子46,47) §8.5影响线的应用 1、利用影响线计算影响量 (例子48,49) 根据影响线的定义和叠加原理,可利用某量值Z的影响线求得固定荷载作用下该量值Z的值为 z=∑2y+∑9+∑mtan 1.y;为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标,在基线以上y;取正。P;向下为正 2.c;为均布荷载q分布范围内Z影响线的面积,正的影响线计正面积。q向下为正 3.6为集中力偶m所在段的影响线的倾角,上升段影响线倾角取正。m;顺时针为正 44411111114!11Am
6m 3m 3m 3m 6m 6m 3m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ P1 Pi qi K m q1 I.L.Z y1 yl ωi θ ω1 6m 3m 3m 3m 6m 6m 3m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ P1 Pi qi K m q1 I.L.Z y1 yl ωi θ ω1 I.L.Z y1 yl ωi θ ω1 （例子 46，47） §8.5 影响线的应用 1、利用影响线计算影响量 （例子 48，49） 根据影响线的定义和叠加原理，可利用某量值 Z 的影响线求得固定荷载作用下该量值 Z 的值为： 1．yi 为集中荷载 Pi 作用点处 Z 影响线的竖标，在基线以上 yi 取正。Pi 向下为正； 2．ωi 为均布荷载 qi 分布范围内 Z 影响线的面积，正的影响线计正面积。qi 向下为正； 3．θi 为集中力偶 mi 所在段的影响线的倾角，上升段影响线倾角取正。mi 顺时针为正
2、临界荷载和临界位置及其判定 (例子50) 取荷载组中的某一荷载Ps位于Z影响线的某一顶点,当荷载左、右偏移时都会使量值Z的 AE=△∑ R tanas 减小(或增大),则Pr位于影响线顶点时,Z取得极大值(或极小值),称Pcr为一临界荷载, 相应的荷载位置为临界位置。α为影响线各段直线的倾角,上升段α为正,如图1所示,a1, a2为正,a3为负。R;为影响线一直线段上的荷载的合力。向下为正 7响线 图1 三角形影响线的临界位置判别式 量值Z发生极大值的临界条件:有一集中力位于影响线的某一定点。且 b RR+P 即将Psr放在影响线的哪一边,哪一边荷载的平均集度就大 临界荷载可能不止一个,至于那个荷载在影响线的那个顶点上时满足临界条件是不知道的, 需要试算。为了减少试算次数,可先按下述原则估计: 1.使较多的荷载居于影响线范围之内,且居于影响线的较大竖标处。 2.使较大的荷载位于竖标较大的影响线的顶点。 3、最不利荷载位置 移动荷载作用下,使某量达到最大值或最小值的荷载位置 1.单个集中荷载的最不利荷载位置,是将荷载作用在影响线的最大竖标或最小竖标处。如图3 所示,如荷载P作用在C左侧,产生Qc的最小值:如荷载P作用在C右侧,产生Qc的最 大值。(例子51)
2、临界荷载和临界位置及其判定 （例子 50） 取荷载组中的某一荷载 Pcr 位于 Z 影响线的某一顶点，当荷载左、右偏移时都会使量值 Z 的 增量 减小（或增大），则 Pcr 位于影响线顶点时，Z 取得极大值（或极小值），称 Pcr 为一临界荷载。 相应的荷载位置为临界位置。α 为影响线各段直线的倾角，上升段 α 为正，如图 1 所示， α1， α2 为正， α3 为负。Ri 为影响线一直线段上的荷载的合力。向下为正。 三角形影响线的临界位置判别式： 量值 Z 发生极大值的临界条件：有一集中力位于影响线的某一定点。且 即将 Pcr 放在影响线的哪一边，哪一边荷载的平均集度就大 临界荷载可能不止一个，至于那个荷载在影响线的那个顶点上时满足临界条件是不知道的， 需要试算。为了减少试算次数，可先按下述原则估计： 1． 使较多的荷载居于影响线范围之内，且居于影响线的较大竖标处。 2．使较大的荷载位于竖标较大的影响线的顶点。 3、最不利荷载位置 移动荷载作用下，使某量达到最大值或最小值的荷载位置。 1． 单个集中荷载的最不利荷载位置，是将荷载作用在影响线的最大竖标或最小竖标处。如图 3 所示，如荷载 P 作用在 C 左侧，产生 QC 的最小值；如荷载 P 作用在 C 右侧，产生 QC 的最 大值。（例子 51）
2.多个集中荷载作用下,先判定各临界位置并计算相应的Z的极值,其中与最大值对应的临界 位置就是最不利荷载位置 3.可以任意布置的均布荷载的最不利位置,是将荷载布满影响线的正号部分或负号部分,如图 4(a)所 4.一段可移动的均布荷载的最不利位置按的条件判断,当影响线为三角形时,满足下式的荷 载位置即最不利荷载位置。 RR R 式中各值的意义如图4(b)所示 R LL.Z 14+1444; 求的最大值 求z的最小值 4、内力包络图 连接各截面内力最大值和最小值的曲线称为内力包络图。绘制内力包络图的步骤 1.将梁等分为若干份,绘出各等分点截面的内力影响线,确定相应的最不利荷载位置。 2.出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值和最小值 3.将各等分点截面的最大(最小)内力值按同一比例绘于图上,连成曲线即得内力包络图。 单个移动荷载作用下的弯矩包罗图 行列荷载作用下的弯矩包罗图 3.5_1.5,3.5 P 12m (5 <(5 MC影响线 M影响线 021P02sP1M包络图 M包络图(kNm)
x=ξ P 0.21Pl 0.25Pl 0.09Pl M包络图 C ξ 12m ξ(l- ξ)/l ＋ MC影响线 x=ξ P 0.21Pl 0.25Pl 0.09Pl M包络图 C ξ 12m ξ(l- ξ)/l ＋ MC影响线 ξ(l- ξ)/l ＋ MC影响线 ξ 12m ξ(l- ξ)/l ＋ M4影响线 P3 P4 P1 P2 3.5 1.5 3.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 559 M包络图（kN.m) 574 578 ξ 12m ξ(l- ξ)/l ＋ M4影响线 ξ(l- ξ)/l ＋ M4影响线 P3 P4 P1 P2 3.5 1.5 3.5 P3 P4 P1 P2 P3 P4 P1 P2 3.5 1.5 3.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 559 M包络图（kN.m) 574 578 2． 多个集中荷载作用下，先判定各临界位置并计算相应的 Z 的极值，其中与最大值对应的临界 位置就是最不利荷载位置。 3． 可以任意布置的均布荷载的最不利位置，是将荷载布满影响线的正号部分或负号部分，如图 4(a)所示。 4．一段可移动的均布荷载的最不利位置按 的条件判断，当影响线为三角形时，满足下式的荷 载位置即最不利荷载位置。 式中各值的意义如图 4(b)所示。 4、内力包络图 连接各截面内力最大值和最小值的曲线称为内力包络图。绘制内力包络图的步骤： 1．将梁等分为若干份，绘出各等分点截面的内力影响线，确定相应的最不利荷载位置。 2．出各等分点截面在恒载和活载共同作用下内力的最大值和最小值。 3．将各等分点截面的最大（最小）内力值按同一比例绘于图上，连成曲线即得内力包络图。 单个移动荷载作用下的弯矩包罗图 行列荷载作用下的弯矩包罗图
5、简支梁的绝对最大弯矩 在荷载移动过程中,简支梁中所产生的最大弯矩,称为简支梁的绝对最大弯矩。即弯矩包络图中 的最大竖标所表示的弯矩值。 由动画演示可见:在行列荷载作用下,梁中的最大弯矩总是发生在某个集中力作用的截 面内,并且发生在梁中央附近截面内。 求简支梁的绝对最大弯矩的步骤: 1.求出简支梁跨中截面产生最大弯矩时的临界荷载Par,并算出此时梁上荷载的合力R及其作用 位置 2.移动梁上荷载,使P与R的间距的中点对着梁的中点(若有荷载进入或离开梁跨内,需重新 计算R及其作用位置),此时P下的截面弯矩就是简支梁的绝对最大弯矩。 3.绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。经验表明:绝对最大弯矩常发生在,梁中央 截面弯矩取得最大值的临界荷载下面
5、简支梁的绝对最大弯矩 在荷载移动过程中，简支梁中所产生的最大弯矩，称为简支梁的绝对最大弯矩。即弯矩包络图中 的最大竖标所表示的弯矩值。 由动画演示可见：在行列荷载作用下，梁中的最大弯矩总是发生在某个集中力作用的截 面内，并且发生在梁中央附近截面内。 求简支梁的绝对最大弯矩的步骤： 1．求出简支梁跨中截面产生最大弯矩时的临界荷载 Pcr，并算出此时梁上荷载的合力 R 及其作用 位置。 2．移动梁上荷载，使 Pcr 与 R 的间距的中点对着梁的中点（若有荷载进入或离开梁跨内，需重新 计算 R 及其作用位置），此时 Pcr 下的截面弯矩就是简支梁的绝对最大弯矩。 3．绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央 截面弯矩取得最 大值的临界荷载下面