第九章静定结构位移计算 学习目的和要求 静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功 原理是结构力学结构力学中的重要理论。位移计算公式就是在此原理上得到的,对 于近一学习也起到奠基性的作用。 本章基本要求 1、了解温度改变、支座移动引起的位移计算。 2、领会变形体虚功原理和互等定理 3、掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 4、熟练荷载产生的位移计算 5、熟练掌握图乘法求位移, 学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移,变形体虚功原理,功的互等定理、位移互 等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算:支座移动、温度 改变产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法 §9.1位移计算概述 1、结构的位移: 结构在荷载作用下,要产生内力和变形,结构的变形引起结构的位移,位移一般分为线位移 和角位移两种,线位移是指结构上点的移动,角位移是指杆件横截面产生的转动。 D个-- E出出以 2、计算位移的目的: 1验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值 2 为超静定结构的内力分析打基础。超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件
FP A B C C′ ΔC ΔCy ΔC ΔCx θC D D′ ΔD ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ A B θA θB 第九章 静定结构位移计算 学习目的和要求 静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功 原理是结构力学结构力学中的重要理论。位移计算公式就是在此原理上得到的，对 于近一学习也起到奠基性的作用。 本章基本要求： 1、了解温度改变、支座移动引起的位移计算。 2、领会变形体虚功原理和互等定理。 3、掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 4、熟练荷载产生的位移计算。 5、熟练掌握图乘法求位移。 学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的互等定理、位移互 等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算；支座移动、温度 改变产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。 §9.1 位移计算概述 1、 结构的位移： 结构在荷载作用下，要产生内力和变形，结构的变形引起结构的位移，位移一般分为线位移 和角位移两种，线位移是指结构上点的移动，角位移是指杆件横截面产生的转动。 2、 计算位移的目的： 1验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。 2为超静定结构的内力分析打基础。超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件
3.结构制作、施工过程中也常需先知道结构的位移 (例子52) 3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响 内力 变形 度改变或材料胀缩 √ √ 支座移动或制造误差 √ 因此产生位移的主要原因主要由上述三种:①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移 动和制造误差。 4、位移计算方法: 本章只讨论线性变形体系的位移计算,计算方法是单位荷载法,其理论基础是虚功原理 由于线性变形体系和叠加原理的使用条件都是:①材料处于弹性阶段,应力与应变之间成 正比:②结构变形微小,不影响力的作用。所以,对线性变形体系的位移计算,可以应用 叠加原理 §9.3位移计算公式—一单位荷载法 1、位移计算的一般公式 如结构在荷载、温度改变、支座移动等因素作用下而发生了图1所示变形和位移,这是结构的实 际的位移状态。要利用虚功方程求位移Δ2(状态②中i方向的位移)。应先虚拟力状态:在欲 求位移处沿着求位移的方向,加上与所求位移相应的广义单位荷载(如图2)。求出虚拟力状态 的内力和反力。由虚功方程,即得平面杆系结构位移计算的一般公式: 42=jM+M△+n-∑Rc 该式适用于:①静定结构和超静定结构 ②弹性体系和非弹性体 N 2Ap ,2,RR dd2d△2dh2 ③各种因素产生的位移计 算 图1 图2
3．结构制作、施工过程中也常需先知道结构的位移 （例子 52） 3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响 内力 变形 位移 荷载 √ √ √ 温度改变或材料胀缩 × √ √ 支座移动或制造误差 × × √ 因此产生位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移 动和制造误差。 4、位移计算方法： 本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。 由于线性变形体系和叠加原理的使用条件都是：①材料处于弹性阶段，应力与应变之间成 正比；②结构变形微小，不影响力的作用。所以，对线性变形体系的位移计算，可以应用 叠加原理。 §9.3 位移计算公式——单位荷载法 1、 位移计算的一般公式： 如结构在荷载、温度改变、支座移动等因素作用下而发生了图 1 所示变形和位移，这是结构的实 际的位移状态。要利用虚功方程求位移 Δi2（状态②中 i 方向的位移） 。应先虚拟力状态：在欲 求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载（如图 2）。求出虚拟力状态 的内力和反力。由虚功方程，即得平面杆系结构位移计算的一般公式： 该式适用于：①静定结构和超静定结构； ②弹性体系和非弹性体 系； ③各种因素产生的位移计 算
荷载产生的位移计算公式 如果弹性体系由荷载产生了内力(M,NF,Q), 而内力产生的变形可由材料力学公式得到 I: Mp a92=2ds,a△2 ds, dh2=. ds F GA EA 代入虚功方程式得 Y2 2真实 位移 p=∑ MMD NM M P状态 几点注意 该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移 该式既用于静定结构也用于超静定结构 3.第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变形、剪切变形产生的位移 结构的类型不同,三种变形对位移的影响有很大的差别,位移计算公式可简化为 梁、刚架只考虑弯曲变 桁架只有轴 组合结 向变形: 构 MM ∑ MMed A=∑A=∑∫ Np L 对于具有弹性支承和内部弹性联结的结构,在位移计算公式中应增加一项弹性力的虚功项 NNk,N1,NP分别为虚拟状态和实际状态中弹性支承和内部弹性联结的弹性力,两者方向一致 时,乘积为正,否则取负,k是弹性支承和内部弹性联结的为刚度系数。 虚拟力状态:在欲求位移处沿着求位移的方向,加上与所求位移相应的广义单位荷载。虚拟广义 单位荷载必须与拟求的广义位移相对应。最常见的几种情形如下图所示。(例子53,54) B:位移方向未知 求A点的 水平位移 求A截面 时无法直接虚 的转角 拟单位荷载 求AB两截面 求AB两点 的相对转角 的相对位移 求AB两点 连线的转角
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ NP QP MP EI M GA kQ EA N P P P = = = 2 2 2 真实 位移 状态 ΔiP ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ NP QP MP EI M GA kQ EA N P P P = = = 2 2 2 真实 位移 状态 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ NP QP MP EI M GA kQ EA N P P P = = = 2 2 2 真实 位移 状态 ΔiP P=1 m=1 m=1 m=1 P=1 P=1 l 1/l 1/l A B 求A点的 水平位移 求A截面 的转角 求AB两截面 的相对转角 求AB两点 的相对位移 求AB两点 连线的转角 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！ P=1 m=1 m=1 m=1 P=1 P=1 l 1/l 1/l A B 求A点的 水平位移 求A截面 的转角 求AB两截面 的相对转角 求AB两点 的相对位移 求AB两点 连线的转角 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！ 2、荷载产生的位移计算公式： 如果弹性体系由荷载产生了内力（MP，NP，QP）， 而内力产生的变形可由材料力学公式得到 代入虚功方程式得： 几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移； 2．该式既用于静定结构也用于超静定结构； 3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变形、剪切变形产生的位移； 4．结构的类型不同，三种变形对位移的影响有很大的差别，位移计算公式可简化为： 梁、刚架只考虑弯曲变形： 桁架只有轴 向变形： 组合结 构： 对于具有弹性支承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加一项弹性力的虚功项： NiNP/k，Ni，NP 分别为虚拟状态和实际状态中弹性支承和内部弹性联结的弹性力，两者方向一致 时，乘积为正，否则取负，k 是弹性支承和内部弹性联结的为刚度系数。 虚拟力状态：在欲求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载。虚拟广义 单位荷载必须与拟求的广义位移相对应。最常见的几种情形如 下图所示。（例子 53，54）
§9.4位移计算—图乘运算 1、图乘公式 在计算梁和刚架的位移时,可将积分式化成单位弯矩图和荷载弯矩图相乘。即 ∑」 ∑ 形心 几点注意: 1.a-为一个弯矩图的面积;yo-为另一个弯矩(b) 图中的竖标。 2.图乘法的适用条件:a)El=常数:b)直杆:c)单位 图和MP至少有一个是直线形 3.竖标y0必须取在直线图形中,对应计算面积的图形的形心 4.当单位弯矩图和荷载弯矩图在基线同侧时,oyo>0;否则,取oyo∞0 5.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法:a)曲杆或EI=EI(x)时,只能用积分法求位移 b)当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非直线时,应分段图乘再叠加: 6.几种常见图形的面积及形心位置公式 -a+s (b)三角形 (c)二次抛物线 (d)二次抛物线O= ()二次抛物线a=2 (0三次抛物线 必须注意:抛物线的顶点(Q=0点)在M图曲线的中点或端点。 当弯矩图的形心位置或面积不便于确定时,常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部 分,并将它们分别与另一图形相乘,然后再将所得结果相加。下面分两种情况讨论 ①直线图形乘直线图形:图示所示两直线图形相乘,先将第一个图形分成两个三角形,分别与第 二个图形相乘再叠加,结果为 升-4M 3+13+3
(a) MP M 形心 ω y0 (b) h (a+l)/3 (b+l)/3 2 hl = a b h l/3 2 hl (a) 三角形 = (b) 三角形 h 3 2hl = (c) 二次抛物线 l/2 l/2 顶点 顶点 3l/8 3 2hl (d) 二次抛物线 = h h l/4 3l/4 顶点 3 hl (e) 二次抛物线 = h l/5 4l/5 顶点 4 hl (f) 三次抛物线 = 2l/3 l l 5l/8 l/3 l/3 l/3 a b c d y1 y2 M ω MP 2 ω1 §9.4 位移计算——图乘运算 1、 图乘公式： 在计算梁和刚架的位移时，可将积分式化成单位弯矩图和荷载弯矩图相乘。即： 几点注意： 1．ω--为一个弯矩图的面积；y0--为另一个弯矩 图中的竖标。 2．图乘法的适用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）单位 弯 矩 图和 MP至少有一个是直线形 3．竖标 y0 必须取在直线图形中，对应计算面积的图形的形心处； 4．当单位弯矩图和荷载弯矩图在基线同侧时，ωy0>0；否则，取 ωy0<0； 5．当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积分法求位移； b）当 EI 分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非直线时，应分段图乘再叠加； 6．几种常见图形的面积及形心位置公式：。 必须注意：抛物线的顶点（Q=0 点）在 M 图曲线的中点或端点。 当弯矩图的形心位置或面积不便于确定时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部 分，并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面分两种情况讨论。 ①直线图形乘直线图形:图示所示两直线图形相乘，先将第一个图形分成两个三角形，分别与第 二个图形相乘再叠加，结果为：
S=0v+a,y2 +-C L-6 2ac+2bd +ad+bc) 注:竖标在基线同侧时乘积为正值,在基线异侧乘积为负。各种直线形与直线形相乘,都可用该 式处理 ②复杂抛物线乘直线形:当抛物线的顶点(Q=0处)不在抛物线的中点或端点时,可将其分成直 线形和简单抛物线(如图示),然后两者分别与另一图形相乘,再把乘得的结果相加 S=-(2ac+2bd+ad+bc6)+ chlcd (a) E (c) (例子55,56,57,58) §9.5温度改变、支座移动引起位移计算概述 1、温度改变引起的位移计算: 温度作用是指结构使用时与建造时温度发生改变对结构的作用。温度改变对静定结构不产生内 力,但材料会发生的自由膨胀和收缩,从而引起截面的应变(即温度应变),使结构产生变形和 位移 温度变形:假设温度改变沿杆长均匀,沿截面高度为线性分布。因此,截面发生温度变形后,仍 保持为平面。截面的变形可分解为沿轴向的拉伸变形dhu和截面的转角变形d(。 d ds 形心轴处的温度改变: =(h12+h241)历 上、下边缘的温度改变差值 4 t=t-t
a b a b h c h d (a) (c) (d) (b) D C M MP l A B E 注：竖标在基线同侧时乘积为正值，在基线异侧乘积为负。各种直线形与直线形相乘，都可用该 式处理 ②复杂抛物线乘直线形：当抛物线的顶点（Q=0 处）不在抛物线的中点或端点时，可将其分成直 线形和简单抛物线（如图示），然后两者分别与另一图形相乘，再把乘得的结果相加。 （例子 55，56，57，58） §9.5 温度改变、支座移动引起位移计算概述 1、 温度改变引起的位移计算： 温度作用是指结构使用时与建造时温度发生改变对结构的作用。温度改变对静定结构不产生内 力，但材料会发生的自由膨胀和收缩，从而引起截面的应变（即温度应变），使结构产生变形和 位移。 温度变形：假设温度改变沿杆长均匀，沿截面高度为线性分布。因此，截面发生温度变形后，仍 保持为平面。截面的变形可分解为沿轴向的拉伸变形 du 和截面的转角变形 d。 形心轴处的温度改变： t 0 =（h 1 t 2 +h 2 t 1）/h 上、下边缘的温度改变差值： Δt=t 2 -t 1
微段的变形: du=at ds, d0=a (t -.)ds/h=adds/h, dh=0 温度改变引起的位移计算公式:(例子59) 将温度变形代入位移计算一般公式:4-∑k+N+可yk-∑Rc 得到温度改变引起的位移计算公式:4网方J-+h 式中:a—一材料的线膨胀系数:b一杆件的截面高度:4t-一杆件两侧温度改变之差:t杆件轴线上 的温度改变 马+地(形心轴不是截面对称轴),有=2(形心轴是截面对称轴 h 正负号确定:N拉力为正,升温为正,M与M产生的弯曲变形是杆件同侧受拉时,它们的乘积为正,否则为负。 2、支座移动引起的位移(例子60 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形,所以ε=0,κ=0,γ=0。代入位移计算公式: △-∑Mk+N+可-∑R 得到:支座移动引起的位移计算公式:△=-∑RC 单位荷载产生的反力与支座位移同向时,虚功为正,否则为负。 4、制造误差引起的位移计算公式(例子61) 制造误差通常是杆件长度偏差λ和直杆制成微弯杆(假设曲率半径po分段为常数),将制造误 差视为初变形,制造误差引起的位移就等于单位荷载产生的内力在这些初变形上作的虚功,即 △=∑±M±∑凹 正负号确定:N,M产生的变形与初变形方向一致时,它们的乘积为正,否则为负 §9.6互等定理 1、功的互等定理: (例子62) 状态1的外力在状态2的位移上作的虚功T12,等于状态2的外力在状态1的位移上作的虚功T21 即 Mi, Fou, Emi, dg,=M ds, dh folds M2, Fox, Fx (a)状态1 (b)状态2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ (a)状态 1 (b)状态 2 ds EA F ds d GA k F ds dh EI M M F F d Q N Q N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , = , = , = ds EA F ds d GA k F ds dh EI M M F F d Q N Q N 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , = , = , = 微段的变形： du=αt0 ds， dθ =a（t 2 -t 1）ds/h = aΔtds/h， dh=0 温度改变引起的位移计算公式： （例子） 将温度变形代入位移计算一般公式： 得到温度改变引起的位移计算公式： 式中：α——材料的线膨胀系数；h——杆件的截面高度；Δt——杆件两侧温度改变之差；t0——杆件轴线上 的温度改变， 正负号确定： N t M t 拉力为正， 0升温为正， 与 产生的弯曲变形是杆件同侧受拉时，它们的乘积为正，否则为负。 2、支座移动引起的位移 （例子 60） 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以=，=，=。代入位移计算公式 ： 得到：支座移动引起的位移计算公式： 单位荷载产生的反力与支座位移同向时，虚功为正，否则为负。 4、制造误差引起的位移计算公式 （例子 61） 制造误差通常是杆件长度偏差λ0 和直杆制成微弯杆（假设曲率半径ρ0 分段为常数），将制造误 差视为初变形，制造误差引起的位移就等于单位荷载产生的内力在这些初变形上作的虚功，即： 正负号确定： N M， 产生的变形与初变形方向一致时，它们的乘积为正，否则为负。 §9.6 互等定理 1、 功的互等定理： （例子 62） 状态 1 的外力在状态 2 的位移上作的虚功 T12，等于状态 2 的外力在状态 1 的位移上作的虚功 T21。 即：T12=T21
2、位移互等定理:(例子63) 3、反力互等定理:(例子64) 由第一个单位力引起的沿第二个单 由于支座2的单位位移所引起的支座 位力方向的位移δ21,等于第二个单位 1的反力r12,等于由于支座1的单位位 力引起的沿第一个单位力方向的位移 移所引起的支座2的反力r21, 612,即:612=8 即: P=1 (a) (a) 4、互等定理适用条件(例子65) 以上各互等定理适用于线弹性体系,即:σ=EE:小变形。 功的互等定理是基本定理,其它互等定理都是由功的互等定理推出的。互等定理中的力和位移都 可以是广义力和广义位移。用两个下标来表示其含义:第一下标表示该量值发生的位置,第二下 标表示产生该量值的原因。如δ表示第j个单位力(P=1)产生的第i个单位力方向的位移
P=1 12 21 m=1 (a) (b) 1 c1=1 r21 2 1 2 c2=1 r12 (a) (b) 2、 位移互等定理：（例子 63） 3、反力互等定理：（例子 64） 由第一个单位力引起的沿第二个单 位力方向的位移δ21，等于第二个单位 力引起的沿第一个单位力方向的位移 δ12，即：δ12=δ21。 由于支座 2 的单位位移所引起的支座 1 的反力 r12，等于由于支座 1 的单位位 移所引起的支座 2 的反力 r21， 即：r12=r21。 4、互等定理适用条件（例子 65） 以上各互等定理适用于线弹性体系，即： ；小变形。 功的互等定理是基本定理，其它互等定理都是由功的互等定理推出的。互等定理中的力和位移都 可以是广义力和广义位移。用两个下标来表示其含义：第一下标表示该量值发生的位置，第二下 标表示产生该量值的原因。如δij 表示第 j 个单位力（Pj=1）产生的第 i 个单位力方向的位移