独移计 虚功虚功原理理 结构位移计算的三般公式 图乘法及“举一例 ☆温度改变产注的位移话算 座移动产的性 线弹性莉体 .HnD 理
❖虚功及虚功原理理 ❖结构位移计算的一般公式 ❖图 乘 法 及 举 例 ❖温度改变产生的位移计算 ❖支座移动产生的位移计算 ❖线弹性体 互等定理
§81结构位移计算概述 a)验算结构的刚度 1、计算位移有三个目的:{b)为超静定结构的内力分析打基础; c)建筑起拱 a)荷载作用; 2、产生位移的原因主要有三种:b)温度改变和材料胀缩 c)支座沉降和制造误差 MON 不产生内力, 不产生内力和变形 产生变形产生位移 产生刚体移动 kya △ 位移是几何量,自然可用几何法来求,如 B 但最好的方法不是几何法,而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时,常假定:1)σ=Eε;2)小变形;3)具有理想 约束的体系。即:线弹性体系。荷载与位移成正比,计算位移 可用叠加原理
§8·1 结构位移计算概述 a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。 M Q N κγε ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t 不产生内力， 产生变形产生位移 b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差 不产生内力和变形 产生刚体移动 位移是几何量，自然可用几何法来求，如 l D b = d x d w k = 2 2 β Δ 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 a）荷载作用； 2、产生位移的原因主要有三种： 计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形；3）具有理想 约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移 可用叠加原理。 1、计算位移有三个目的：
382虚功原理荷载由零增大到P,其作用点的位移也由 零增大到Δ1,对线弹性体系P与△成正比。 P 元功dT=Pd△ △ lI TuEdT-S △OAB B dT △ 再加P2,P2在自身引起的位移△2上作的功 O △ A T2=12P2△22 在A12过程中,P1的值不变,T12=P1A12△12与P1无关 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 实功与虚功 2实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。 如T2,如力与位移同向,虚功为正,如 力与位移反向,虚功为负 产生位移的原因 位移发生的位置
§8·2虚功原理 一、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22。实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。 如T12，如力与位移同向，虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负 P1 Δ P2 11 Δ22 Δ12 荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由 零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。 Δ P Δ11 P1 元功 dT=P·dΔ T11=∫dT=SΔOAB = 1 /2P1 ·Δ11 再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功 T22 = 1 /2P2·Δ22 在Δ12过程中，P1的值不变，T12=P1Δ12 Δ12与P1无关 dT O A B ΔKj 位移发生的位置 产生位移的原因
广义力与广义位移 作功的两方面因素:力、位移。与力有关因素,称为广义力S; 与位有关的因素,称为广义位移△。广义力与广义位移的关系是: 它们的乘积是虚功。即:T=S△ 1)广义力是单个力P,则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。 2)广义力是一个力偶,则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3)若广义力是等值、反向的一对力P P A B P T=P△A+P△B=P(△A+△B)=P△ 这里△是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变,即AB两 点的相对位移。 4)若广义力是一对等值、反向的力偶m T=mpA+mB=m(A+qg)=m△ ′△ 这里△是与广义力相应的广义位移 表示AB两截面的相对转角
二、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S； 与位有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。 P Δ m β 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P P P t t A B ΔA ΔB T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m A B Δ m m A B T=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角
刚体虚功匾理 静力分1)由虚位移原理建立的虚功方程,实质上是平衡 是指约束反方程。如(c)式就是力矩平衡方程ΣMC=0 上所作虚功 )虛位移与实际力系是彼此独立无关的,为了方 设在具便,可以随意虚设,如设6X=1, 体系发生3)虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 所作的虚静力平衡问题 虚功原理的应用1)需设位移求未知力(虚位移原理) 2)需设力系求位移(虚力原理) 1)需设位移求未知力(虚位移原理) 求杠杆在图示位置平衡时X的值。 Ⅹ△x-P△p=0 A B P=0(c)X=2P ble Xo1-P8,=0 X=PSp=bp
刚体虚功原理 静力分析的方法 基本方法：选分离体，列平衡方程。 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。 1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 又设 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上 所作的虚功总和恒为零。 是指约束反力在可能位移 上所作虚功恒等于零的约束 作功的双方（平衡力系、 可能位移）彼此独立无关 虚功原理的应用 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）需设力系求位移（虚力原理） a b A C B 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 求杠杆在图示位置平衡时 X P X的值。 ΔP ΔX X ΔX －P ΔP=0 （X－ P） X P D D δP 1 δX =1，δP =b/a P a X P b P X P = d = P •1- d = 0 刚体内力在可能的位 移上所作虚功恒为零 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 方程。如（c）式就是力矩平衡方程∑MC＝0 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 便，可以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 静力平衡问题。 Δ=0 X=0（c） P a b X = δP 1 a b
例6-3各段杆长为a,求该机构在图示位置平衡时,P与X的关系 动画演示T1 1、虚设位移,建立位移之间的关系 P sine b=2acos0, y=basin 虚功法的特点: 1、将平衡问题归结为几何问题求解 2、直接建立荷载与未知力之间的关系, 而不需求其它未知力。 p 3acosvuv 2、建立虚功方程,求未知力 A,-P△n=0 >P P=ctgp
例6-3 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，P与X的关系。 Δ P Δx b y P X θ 1、虚设位移，建立位移之间的关系 , 2 ctgq P 3 = XDX -PDP =0 DP =3acosqdq a dq , X D =2 sinq dy=3acosqdq db=-2asinqdq , b=2acosq y=3asinq X = P X P D D 2、建立虚功方程，求未知力 虚功法的特点： 1、将平衡问题归结为几何问题求解； 2、直接建立荷载与未知力之间的关系， 而不需求其它未知力。 动画演示T1
2、应用虚功原理求静定结构的约束力 P 0
b y P X θ b y P θ 2、应用虚功原理求静定结构的约束力
应虐趣生的甘二么声V的方 虚功方程为 Yc×1+qa×0.75-qa2×0.75/a-q×1.5×3a/2=0 Y=2.25ga 3)建立虚功方程,求未知力 ga q E B a 2a a 2a a ga qa 0.75/a 0.75
作出机构可能发生的刚体虚 位移图； 2、应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。 利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。 a 2a a 2a a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 q F E D C B A δX=1 1.5 0.75 YC q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 虚功方程为: YC×1 0.75/a +qa×0.75 －qa2×0.75/a －q×1.5×3a/2＝0 YC=2.25qa
qa qa' q ↓↓小!↓ B a多 Qa a 2a a ga qa Qc 0.25/a 0.25缓 0.5 虚功方程为 Qc×1+qa×0.25-qa2×0.25/a-q×(1×2a/2+05×a/2)=0 Qc=. 25ga
a 2a a 2a a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 q F E D C B A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 QC QC 1 0.5 0.25 虚功方程为: QC×1 0.25/a +qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0 QC=1.25qa
ga qas B a ∠a a 2a a qa q 小小小小小↓ 米 多 0.25 0.25am 0.5a层 a 虚功方程为 MA×1+qa×0.25a-qa2×0.25+q×(a×2a/2-0.5a×a/2)=0 MA=-0.75qa2(上拉)
a 2a a 2a a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 q F E D C B A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa qa2 0.5a 0.25a 虚功方程为: MA×1 0.25 MA 1 a (上拉) +qa×0.25a －qa2×0.25 +q×(a×2a/2 － 0.5a ×a/2 MA= － 0.75qa2 )＝0